Tim Koslowski, Perimeter Institute
Title: Shape dynamics
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El método de Newton de definir el movimiento
El método de Newton, aun presente en la intuición de muchos físicos teóricos, considera que el espacio es real como una perfectamente plana cubierta de una mesa (ignorando una dimensión espacial) que se extiende al infinito en todas direcciones. Imaginen tres partículas que en dos instantes forman dos triángulos ligeramente distintos (1 y 2). Los tres lados de cada triangulo definen la configuración relativa. Consideremos el triangulo 1. En dinámica Newtoniana uno puede localizar y orientar el triangulo 1 como uno quiera. Dado que el espacio es homogéneo e isótropo todas las elecciones son equivalentes. Pero 2 es una configuración relativa distinta. Puede uno decir cuánto se ha movido cada partícula? De acuerdo a Newton muchos movimientos de las partículas corresponden al mismo cambio de la configuración relativa. Manteniendo la posición de 1 fija, uno puede situar el centro de masa de 2, C2, donde quiera; la orientación de 2 es también libre. En un espacio tridimensional, tres grados de libertad corresponden a los posibles cambios de los lados del triangulo (datos relativos), tres a la posición de C2, y tres a la orientación. Los tres datos relativos no se pueden cambiar, pero las elecciones para los restantes son molestamente arbitrarias. De hecho la relatividad Galileana quiere decir que la posición de C2 no es crítica. Pero los datos de orientación son cruciales. Diferentes elecciones dan diferente momento angular L al sistema, y los resultantes movimientos son muy distintos. Dos instantáneas de configuraciones relativas no contienen información sobre L; uno necesita tres para descubrir L. Ahora consideraremos la alternativa.
Dinámica basada en el Mejor Apareamiento
La definición de movimiento por Mejor Apareamiento está ilustrada en la figura. Es más restrictiva que la dinámica Newtoniana. La razón se puede “leer” de la figura. El mejor apareamiento, como se muestra en b, hace dos cosas. Trae los centros de masa de los dos triángulos a un punto común y pone su rotación relativa alrededor de dicho punto a cero. Esto último quiere decir que un sistema dinámico gobernado por Mejor Apareamiento es siempre vinculado. En términos Newtonianos, tener momento angular total L igual a cero. De hecho, las ecuaciones dinámicas son Newtonianas; el vinculo L=0 es preservado por las ecuaciones si vale en algún instante.
Figura 1: La definición de movimiento por Mejor Apareamiento. Tres partículas, en los vértices de los triángulos gris y punteado en dos instantes, en movimiento relativo. La diferencia entre los triángulos es un hecho, pero puede uno determinar el desplazamiento de las partículas? No parece. Aun si mantenemos el triangulo gris fijo en el espacio, podemos poner el triangulo punteado en una posición arbitraria, como en el panel a. Parece no haber manera de definir desplazamientos únicos. Sin embargo, podemos llevar al triangulo punteado a la posición del panel b., en la que casi “cubre” el triangulo gris. Un procedimiento de minimización natural determina cuando se alcanzo el “Apareamiento Optimo”. Los desplazamientos que llevan del triangulo gris al punteado no están definidos relativos al espacio, pero relativos al triangulo gris. El procedimiento es reciproco y puede aplicarse al sistema dinámico completo considerado.
Hasta ahora no hemos considerado el tamaño. Aquí es donde la Dinámica de las Formas comienza. El tamaño implica la existencia de una escala para medirlo. Pero si nuestras tres partículas son todo el universo, donde hay una escala para medir su tamaño? El tamaño es otro absoluto Newtoniano. El apareado óptimo puede extenderse a incluir ajustes de los tamaños relativos. Esto fue hecho para dinámica de partículas aquí. Lleva a un vínculo extra. No solo el momento angular pero algo conocido como el momento dilatacional debe anularse. La dinámica de cualquier universo gobernado por el apareamiento óptimo se vuelve aun más restrictiva que la mecánica Newtoniana.
El Apareamiento Optimo en la teoría de gravedad
El Apareamiento Optimo puede ser aplicado a la dinámica de la geometría y comparado con la relatividad general de Einstein (RG), que fue creada como una descripción de la geometría cuadridimensional del espaciotiempo. Sin embargo, puede ser reformulada como una teoría en la que una geometría tridimensional (la “3-geometria”) evoluciona. Esto fue hecho sobre el fin de la década del 50 por Dirac y Arnowitt, Deser y Misner (ADM), quienes encontraron una manera elegante de hacerlo que es ahora conocida como el formalismo ADM y está basado en la forma Hamiltoniana de la dinámica. En el formalismo ADM, el vínculo de difeomorfismos, mencionado algunas veces por Tim Koslowski, juega un rol importante. Su presencia puede ser explicada por una sofisticada generalización del Mejor Apareamiento de partículas que ya discutimos. Esto muestra que la noción de cambio fue modificada radicalmente cuando Einstein creo la RG (aunque este hecho está bastante bien oculto en la formulación de espaciotiempo usual). La noción de cambio empleada en RG implican que es una teoría independiente de fondo (background independent en ingles). En el formalismo ADM como está ahora, no hay un vinculo que corresponda al Apareo Optimo en tamaño. Sin embargo, en adición al vínculo de difeomorfismo, o más bien vínculos dado que hay infinitos de ellos, existen también infinitos vínculos Hamiltonianos. Reflejan la ausencia de un tiempo externo en la teoría de Einstein y la casi completa libertad de definir simultaneidad en puntos espacialmente separados del universo. Ha probado ser muy difícil incorporar estos vínculos en una teoría cuántica de la gravedad. Elaborando sobre trabajo previo, Tim y sus colaboradores Henrique Gomes y Sean Gryb encontraron una formulación Hamiltoniana alternativa de la geometría dinámica en la cual todos excepto uno de los vínculos Hamiltonianos pueden ser intercambiados por vínculos conformes. Estos vínculos conformes surgen de un Apareo Optimo en el cual el volumen del espacio puede ser ajustado con infinita flexibilidad. Imaginemos un globo con curvas dibujadas en el mismo que forman ciertos ángulos cuando se encuentran. Uno puede imaginar inflar o desinflar el globo. Este proceso no cambia los ángulos entre las curvas, pero las distancias entre los puntos de intersección cambia. Esto es conocido como una transformación conforme y es claramente análogo a cambiar el tamaño global de figuras en espacio Euclideo. Las transformaciones conformes que Tim discute en su plática se aplican a 3-geometrias curvas que se cierran sobre si mismas, como lo hace la superficie de la Tierra en 2 dimensiones. La representación alternativa, o dual, de la gravedad obtenida a través del Apareamiento Optimo conforme parece abrir nuevas posibilidades para la gravedad cuántica. Por el momento la más promisoria parece ser la idea de la duplicación de simetría discutida por Tim. Sin embargo, son épocas tempranas aun. Existen muchos posibles obstáculos al progreso en esta dirección, como Tim fue cuidadoso de enfatizar. Una de las cosas que más me intriga acerca de la Dinámica de la Forma es que, si vamos a explicar los hechos centrales de la cosmología por un universo espacialmente cerrado que se expande, no podemos permitir transformaciones conformes completamente irrestrictas en el Apareo Optimo pero solo las que preservan el volumen que Tim discutió. Esta es una restricción ínfima pero me huele al último vestigio del espacio absoluto de Newton. Creo que esto puede estar diciéndonos algo fundamental acerca de la mecánica cuántica del universo. En el ínterin es muy estimulante ver que emergen posibilidades técnicas en el nuevo marco conceptual.
