Tuesday, Mar 12th.
Emanuele Alesci, Francesco Cianfrani
Title: Quantum reduced loop gravity
PDF of the talk (4Mb) Audio [.wav 29MB] Audio [.aif 3MB]
Proponemos
un nuevo paradigma para la cuantización de lazos de sectores reducidos por simetría
de la relatividad general, que llamamos gravedad cuántica de lazos reducida, y
aplicamos este esquema a la extensión inhomogénea de los modelos cosmológicos del
tipo Bianchi I (una cosmología que es homogénea pero no isótropa). Para
explicar el significado de esta frase necesitaremos varios ingredientes que
presentaremos en las secciones siguientes. Enfoquémonos primero en el
significado de “reducción por simetría”: este proceso simplemente significa que
si un sistema físico tiene algún tipo de simetría, podemos usarla para reducir
el número de variables independientes necesarias para describirlo. La simetría entonces
nos permite en general reducir las variables de una teoría a los grados de
libertad verdaderamente independientes. Por ejemplo, consideremos una partícula
puntual sin espín que se mueve en un plano bajo la influencia de un potencial
central. El sistema es invariante bajo rotaciones bidimensionales alrededor del
centro del potencial. Como consecuencia de ello se conserva el momento angular.
La velocidad angular alrededor del origen es una constante de movimiento y la única
variable dinámica “verdadera” es la coordenada radial de la partícula. Si uno
va al espacio de fases (el espacio de posiciones y momentos de la teoría), el
mismo puede ser parametrizado por las coordenadas radiales y angulares con el
correspondiente momento, pero la simetría fuerza al momento asociado con la
coordenada angular a permanecer conservado. El espacio de fases reducido
asociado a tal sistema esta parametrizado por la coordenada y el momento radial
a partir de los cuales, dadas las condiciones iniciales, la trayectoria
completa de la partícula en el plano puede ser reconstruida. La cuantización del espacio de fases reducido
es en general más fácil que la que se hace en el espacio completo y esta es la razón
principal por la cual esta técnica se suele usar en enfoques de la gravedad cuántica,
cuya formulación final todavía nos evade. Por ejemplo, el análisis canónico de
modelos homogéneos (cosmología cuántica de lazos) y de sistemas esféricamente simétricos
(agujeros negros cuánticos) en la gravedad cuántica de lazos se ha llevado a
cabo primariamente reduciendo el espacio de fases y cuantizando el sistema
resultante (lo que se conoce técnicamente como cuantización reducida). La idea básica
de nuestro enfoque es invertir el orden de “reducción” y “cuantización”. La motivación
viene directamente de nuestro análisis y, en particular, del fracaso de la cuantización
reducida en proveer una dinámica sensata para las extensiones inhomogeneas del
modelo anisotropico pero homogéneo de Bianchi I. Como consecuencia seguiremos
un camino distinto definiendo una reducción “cuántica” del espacio de Hilbert
de estados cuánticos de la teoría completa a un subespacio que captura los
grados de libertad relevantes. Este procedimiento nos permitirá tratar el
sistema Bianchi I inhomogéneo directamente a nivel cuántico en una teoría donde
se pueden hacer cálculos explícitos con todos los ingredientes de la gravedad cuántica
de lazos (sólo que simplificados debido a la reducción cuántica.
Para
proceder, revisemos un poco las características principales de la gravedad cuántica
de lazos.
Gravedad cuántica de lazos
La gravedad
cuántica de lazos es uno de los enfoques más prometedores para la cuantización del
campo gravitatorio. Su formulación es canoníca y por ende está basada en hacer
una descomposición 3+1 del espacio-tiempo. El espacio de fases esta
parametrizado por las conexiones de Ashtekar-Barbero y sus momentos asociados,
a partir de los cuales se puede calcular la métrica del espacio. Un punto
central de esta reformulación es la existencia de una simetría de calibre
(conocida técnicamente como simetría de calibre SU(2)), que juntamente a la
independencia de estructuras geométricas preexistentes (estructuras de fondo),
llevan a los vínculos conocidos como vínculos cinematicos de la teoría (cada
vez que hay una simetría en una teoría aparece un vinculo asociado indicando
que las variables no son independientes y uno tiene que aislar los grados de
libertad genuinos). El procedimiento de cuantización está inspirado en los
enfoques desarrollados en la década del 70 para describir teorías de calibre en
el retículo en el límite de campo fuerte. En particular los estados están dados
en términos de redes de espín, que son grafos con “colores” en las líneas que
conectan intersecciones. Un ingrediente esencial de la gravedad cuántica de
lazos es la independencia de estructuras preexistentes. La manera en la que se
implementa esta simetría es un logro completamente nuevo en gravedad cuántica y
permite encontrar una expresión regularizada (sin infinitos) del operador asociado
al vinculo Hamiltoniano que dicta la dinámica de la teoría. Gracias a un
procedimiento introducido por Thiemann, el vinculo Hamiltoniano puede ser
aproximado mediante una triangulación del espacio. El límite en el que la triangulación
se vuelve cada vez más fina nos da la expresión clásica y está bien definida a
nivel cuántico sobre nudos-s (clases de redes de espín relacionadas por
deformaciones suaves). La razón es que los nudos-s son invariantes bajo
difeomorfismos y por ende no dependen de la longitud característica de la triangulación.
Esto quiere decir que el vinculo Hamiltoniano puede ser regularizado
consistentemente y, dicho sea de paso, el algebra asociada no tiene anomalías.
Desafortunadamente, la expresión resultante no puede ser calculada en forma analítica,
debido a la presencia del operador de volumen. Este obstáculo parece ser una obstrucción
técnica más que una obstrucción teórica y por esa razón nuestro objetivo es
superarlo en un modelo simple, como los cosmológicos.
Cosmología cuántica de lazos
La cosmología
cuántica de lazos es la mejor teoría de la que disponemos para tratar cosmologías
homogéneas. Se basa en una cuantización en el espacio de fase reducido, lo que
implica que la reducción asociada a la simetría ocurre a nivel enteramente clásico.
Una vez hecha la reducción, uno procede a cuantizar los grados de libertad con técnicas
de gravedad cuántica de lazos. Sabemos que nuestro universo experimenta una
fase altamente isotrópica y homogénea a escalas de más de 100 megaparsecs. La descripción
cosmológica mas simpe es la del modelo de Friedman-Robertson-Walker (FRW), en
la cual uno tiene un elemento de línea homogéneo e isótropo, descripto por una
sola variable, el factor de escala. Una generalización se puede hacer
considerando extensiones anisotropicas, los llamados modelos de Bianchi, en los
que hay tres factores de escala definidos a lo largo de tres direcciones
fiduciarias. En la cosmología cuántica de lazos uno fija la geometría a FRW o a
modelos Bianchi y cuantiza las variables dinámicas. A pesar de esto, una deducción
directa a partir de la gravedad cuántica de lazos aun no se conoce y es difícil
en este contexto acomodar inhomogeneidades porque la teoría está definida en un
espacio homogéneo.
Extensiones inhomogéneas de los modelos Bianchi
Queremos
definir un nuevo modelo cosmológico que retenga todos los aspectos positivos de
la gravedad cuántica de lazos, en particular un tipo de independencia de
estructuras preexistentes a través de la cual la regularización del vínculo
Hamiltoniano se pueda llevar a cabo como en la teoría completa. Para ello
consideramos el modelo Bianchi más sencillo, llamado tipo I (un espacio homogéneo
pero anisotropico), y definimos una extensión inhomogénea caracterizada por
factores de escala que dependen del espacio. La extensión contiene como caso
limite la fase homogénea en una parametrizacion arbitraria. La virtud de estos modelos
es que son invariantes bajo lo que llamamos difemorfismos reducidos, que es la
invariancia bajo una clase restringida de difeomorfismos que preservan las direcciones
fiduciales de las anisotropías del modelo de Bianchi I. ¡Este es precisamente
el tipo de simetría que buscábamos! De hecho, una vez que uno basa estados cuánticos
sobre los grafos reducidos, cuyas líneas yacen a lo largo de las direcciones
fiduciarias, podemos definir nudos-s reducidos, que no dependerán de la
longitud de la cubulación del espacio (hablamos de cubulacion porque los grafos
reducidos admiten cubulaciones y no triangulaciones). Como consecuencia, solo
tenemos que repetir la construcción de Thiemann para una cubulación en lugar de
una triangulación. Pero, ¿termina dando una buena expresión para el vinculo
Hamiltoniano? La respuesta es negativa y la razón es que existe una simetría adicional
en el espacio de fase reducido que nos impide repetir la construcción de
Thiemann para el vinculo Hamitoniano. Por ende, el problema dinámico no puede
ser atendido con las técnicas usuales de gravedad cuántica de lazos en la cuantización
reducida.
Gravedad cuántica de lazos reducida
¿Qué nos
falta en la cuantización reducida? La idea es que hemos reducido la simetría de
calibre demasiado y esto es lo que nos impide construir el Hamiltoniano. Por
ende volvemos hacia atrás y no reducimos la simetría y procedemos a cuantizar
primero. Entonces podemos imponer la reducción de la simetría a nivel cuántico.
Así, la expresión del vinculo Hamiltoniano del modelo de Bianchi I puede ser
cuantizado de acuerdo al procedimiento de Thiemann. Más aun, los elementos de
matriz asociados pueden ser calculados analíticamente dado que el operador de volumen
toma una forma simplificada en el nuevo espacio de Hilbert. Así, tenemos una descripción
cuántica del modelo inhomogéneo de Bianchi I in la que todas las técnicas de la
gravedad cuántica de lazos pueden ser aplicadas y los cálculos completados analíticamente.
Esto quiere decir que por primera vez tenemos un modelo en el que podemos
probar explícitamente varios aspectos de la cuantización de lazos: el
Hamiltoniano original de Thiemann que cambia grafos, el programa del vínculo
maestro, la cuantización algebraica o el nuevo enfoque de deparametrización con
campos de materia. Todos pueden ser examinados. El modelo es un retículo cuboidal,
cuyos lados tienen números cuánticos y con relaciones reducidas entre esos números
en los vértices. En dos palabras tenesmo una especie de “cosmología cuántica de
lazos” hibrida a lo largo de los lados con relaciones de gravedad cuántica de
lazos en los vértices, pero con una estructura de grafos y ¡operador de volumen
diagonal! Esto significa que tenemos un modelo tratable analíticamente más
cercano a la gravedad cuántica de lazos que la cosmología cuántica de lazos y
potencialmente capaz de tratar inhomogeneidades e anisotropías al mismo tiempo.
¿Es significativo este modelo? Lo que nos resta hacer es “solamente” física: como primera prueba tratar de
estudiar el limite semiclasico. Si este modelo da la relatividad general en el régimen
clásico, entonces podemos pasar a comparar sus predicciones con las de la cosmología
cuántica de lazos en el régimen cuántico, insertando campos de materia y
analizando su rol, discutiendo el comportamiento de las inhomogeneidades y todo
eso. Veremos…
No comments:
Post a Comment