Gravedad como una reducción dimensional de teorías de formas diferenciales en seis y siete dimensiones

Tuesday, February 21st
Kirill Krasnov, University of Nottingham
Title: 3D/4D gravity as the dimensional reduction of a theory of differential forms in 6D/7D 
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por Jorge Pullin, Louisiana State University

Las teorías de campos ordinarias, como el electromagnetismo de Maxwell, son sistemas físicos con infinitos grados de libertad. Esencialmente los valores de los campos en todos los puntos del espacio son los grados de libertad. Existe una clase de teorías de campos que se formulan como las ordinarias en términos de campos que toman distintos valores en distintos puntos del espacio, pero sus ecuaciones de movimiento implican que el número de grados de libertad es finito. Esto las hace particularmente fáciles de cuantizar. Un buen ejemplo de esto es la relatividad general en dos dimensiones espaciales y una temporal (conocida como 2+1 dimensiones). Contrariamente a la relatividad general ordinaria en el espacio-tiempo cuadridimensional, sólo tiene un número finito de grados de libertad que corresponden a la topología del espacio-tiempo considerado. Este tipo de comportamiento tiende a ser genérico para este tipo de teorías y como consecuencia se las conoce como Teorías de Campo Topológicas (TFT en ingles). Este tipo de teorías ha encontrado aplicaciones en matemática para estudiar cuestiones de geometría y topología, como la construcción de invariantes de nudos a través del uso de técnicas de teoría cuántica de campos. Estas teorías tienen la propiedad de no requerir de ninguna estructura geométrica de fondo para su definición. Esto difiere, por ejemplo, de la teoría de Maxwell que requiere una métrica del espacio tiempo para formularla.

Sorprendentemente, se demostró hace un tiempo, primero por Plebanski en 1977 y posteriormente por Capovilla-Dell-Jacobson y Mason en 1991 que ciertas TFTs en cuatro dimensiones, si uno las suplementa con vínculos adicionales entre sus variables, son equivalentes a la relatividad general. Los vínculos adicionales tienen el efecto contra-intuitivo de agregar grados de libertad a la teoría porque modifican las variables en términos de los cuales se formula la teoría. El formular la relatividad general de esta manera lleva a nuevas perspectivas acerca de la teoría. En particular, sugiere ciertas generalizaciones de la relatividad general que en la plática fueron llamadas deformaciones de la relatividad general.

La plática considero una serie de teorías de campos en seis y siete dimensiones. Estas teorías no requieren de una estructura de fondo para su definición, pero a diferencia de las teorías topológicas que mencionamos antes, tienen infinitos grados de libertad. Luego se considero la reducción dimensional de estas teorías a cuatro dimensiones. La reducción dimensional consiste en “tomar una rebanada de dimensión mas baja” de una teoría de dimensión mas alta, usualmente imponiendo alguna simetría (por ejemplo suponiendo que los campos no dependen de ciertas coordenadas). Una de las primeras propuesta de este estilo fue hecha en 1919 por Kaluza y luego por Klein, conocida como teoría de Kaluza-Klein. Tomaron la relatividad general en cinco dimensiones y supusieron que la métrica no depende de la quinta coordenada y pudieron mostrar que la teoría se comportaba como la relatividad general en cuatro dimensiones acoplada al electromagnetismo de Maxwell y un campo escalar. La plática también mostró como ciertas teorías topológicas en cuatro dimensiones conocidas como teorías BF (porque las dos variables de la teoría son campos llamados B y F) pueden ser vista como una reducción dimensional de teorías topológica en siete dimensiones y finalmente que la relatividad general en 2+1 dimensiones puede verse como una reducción de una teoría topológica en seis dimensiones.

Hasta el momento no esta claro si estas teorías pueden describir la naturaleza, porque no es claro que el campo escalar extra que predicen sea compatible con limitaciones experimentales a teorías escalares-tensoriales. De todos modos estas teorías son útiles para iluminar las estructuras de la relatividad general y sus conexiones a otras teorías.