Granulado grueso de teorías

Tuesday, Nov 27th. 2012
Bianca Dittrich, Perimeter Institute 
Title: Coarse graining: towards a cylindrically consistent dynamics
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por Frank Hellmann

El granulado grueso (coarse graining en inglés) es un procedimiento de la física estadística. En la mayoría de las situaciones no sabemos como se comportan todos los elementos que constituyen un sistema físico. En lugar de ello tenemos una imagen muy tosca. Por ejemplo, en lugar de saber como se mueven todos los átomos en el aire que nos rodea, típicamente somos conscientes de algunas propiedades que describen el sistema a grosso modo, como la presión, la temperatura y similares. De hecho es difícil imaginar una situación donde a uno le importe la posición de este o aquel átomo en un gas compuesto por 10^23 átomos. Así, cuando hablamos de tratar de encontrar una descripción de granulado grueso de un modelo, lo que queremos decir es que queremos descartar detalles irrelevantes y encontrar como un modelo particular se nos aparecería a nosotros.

La manera técnica en que se lleva a cabo esto fue desarrollada por Kadanoff y Wilson. Dado un sistema compuesto de constituyentes simples, la idea de Kadanoff fue tomar un conjunto de constituyentes cercanos entre si y combinarlos en un único constituyente, sólo que más grande. En un segundo paso, achicamos el sistema y estudiamos el comportamiento de este nuevo constituyente granulado grueso y vemos como se compara a los constituyentes originales. Si ciertos comportamientos se refuerzan con cada paso, los llamamos relevantes, si se vuelven débiles los llamamos irrelevantes. De hecho, a medida que construimos descripciones granuladas más gruesas del sistema, sólo los comportamientos relevantes sobrevivirán.

En la gravedad cuántica de espumas de espín se enfrenta precisamente dicho problema. Queremos construir una teoría de la gravedad cuántica, esto es, una teoría que describe como se comportan el espacio y el tiempo al nivel más fundamental. Sabemos precisamente como se nos presenta la gravedad, cada observación de la misma que hemos hecho esta descrita por la teoría de la relatividad general de Einstein. Así, para ser una candidata viable a teoría de la gravedad cuántica, es crucial que la teoría granulada gruesa aparezca, al menos en los casos en que la hemos comprobado experimentalmente, como la relatividad general.

El problema que enfrentamos es que usualmente estamos mirando a bloques pequeños y grandes del espacio, pero en modelos de espuma de espín el espacio-tiempo mismo es compuesto de bloques y estos no tienen un tamaño predeterminado. Pueden ser grandes o chicos. Más aun, no podemos manejar la complejidad de hacer cálculos con tantos bloques de espacio-tiempo. Las herramientas usuales, aproximaciones y conceptos del granulado grueso no se aplican directamente a espumas de espín.

Para mí esto constituye la pregunta más importante enfrentando al enfoque de espumas de espín de la gravedad cuántica. Tenemos que asegurarnos, o, como es el caso frecuentemente en estas cosas, al menos dar evidencia de que predecimos la física conocida correctamente, antes de que podamos hablar de tener una candidata plausible a teoría de la gravedad cuántica. Hasta el momento la mayor parte de la evidencia viene del estudio de bloques individuales del espacio-tiempo, y vemos que su comportamiento tiene sentido, geométricamente hablando. Pero aún no hemos visto ningún bloque de espacio-tiempo flotando en el universo, necesitamos estudiar el granulado grueso para entender como un gran número de ellos se vería colectivamente. La esperanza es que el espacio-tiempo suave que vemos emerja como la superficie suave del agua, pese a estar compuesta de bloques (atomos), como una aproximación a un gran número de bloques discretos.

El trabajo de Dittrich trata de atacar este problema. Esto requiere importar, o reinventar en el nuevo contexto, una gran cantidad de herramientas de la física estadística. La primera pregunta es: ¿cómo combina uno distintos bloques de espumas de espín para formar un bloque más grande? Dado un procedimiento para hacer esto, ¿podemos entender como se comporta efectivamente?

La herramienta que elije Dittrich se llama la renormalización de redes tensoriales. En este esquema, el granulado grueso es hecho mirando qué aspectos del conjunto original de bloques es el más relevante directamente para la dinámica y retener los mismos. Así, combina los dos pasos, de primero hacer el granulado grueso y luego buscar los operadores en un solo paso.

Para ser un poco más técnicos, la idea es considerar mapas de la frontera de la red más gruesa a la de la red más fina. El mapeo de la dinámica de la variable fina entonces provee la dinámica efectiva de la red más gruesa. Si los mapas satisfacen la llamada condición de consistencia cilíndrica, esto es, si los mismos pueden iterarse, el mapa puede usarse para definir un límite continuo también.

En el caso clásico, el comportamiento de la teoría como función de los valores de la frontera queda codificada en la llamada función principal de Hamilton. El propósito de estudiar el flujo de la teoría bajo tales mapas es primariamente el mejorar el tipo de discretizaciones de teorías continuas que puedan usarse en simulaciones numérica.

En el caso cuántico, la función principal es reemplazada por el llamado mapa de amplitud. El mapeo de dicha amplitud da una prescripción de renormalizacion de la dinámica. Dittrich propone adaptar para ello la idea obtenida en física de materia condensada llamada renormalización de redes tensoriales.

Para elegir que grados de liberta mapear de la frontera gruesa a la final, la idea es evaluar la amplitud, diagonalizarla y mantener los autoestados correspondientes a los n autovalores más grandes.

En cada paso uno obtiene una dinámica refinada que no crece en complejidad y uno puede iterar el procedimiento para obtener dinámicas efectivas para variables muy gruesas que han sido elegidas por la teoría, en lugar de una elección inicial de escala, y una descomposición en modos de alta y baja energía.

Es demasiado temprano para decir si estos métodos nos permitirán entender si los modelos de espuma de espín reproducen lo que conocemos acerca de la gravedad, pero ya han producido una serie de nuevas aproximaciones y perspectivas acerca de cómo este tipo de modelos funciona, y como se comportan para un gran número de bloques constitutivos.

Espacio tiempos de Bianchi en cosmología cuántica de lazos

Brajesh Gupt, LSU 

Title: Bianchi I LQC, Kasner transitions and inflation
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by Edward Wilson-Ewing

Los espacio-tiempos de Bianchi son una generalización de los modelos más simples de Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW). Mientras que los espacio-tiempos FLRW son homogéneos (no hay puntos preferenciales en el espacio-tiempo) e isótropos (no hay direcciones preferenciales), en los modelos Bianchi el requerimiento de isotropía es eliminado. Una de las principales consecuencias de esta generalización es que en una cosmología de Bianchi, el espacio-tiempo puede expandirse a distintos ritmos en las tres dimensiones espaciales. Dicho de otra manera, existe una tasa de expansión de Hubble en FLRW, pero hay tres en cosmologías de Bianchi, una para cada dimensión espacial.

Por ejemplo, la métrica de Bianchi más simple es la llamada Bianchi I, cuya métrica está dada por:

ds² = - dt² + a₁(t)² (dx₁)² +  a₂(t)² (dx₂)² +  a₃(t)² (dx₃)²,

Donde a_i(t) son los tres factores de escala. Esto contrasta con los modelos FLRW donde hay un solo factor de escala. Es posible encontrar la forma exacta de los factores de escala resolviendo las ecuaciones de Einstein. En vacio, o con un campo escalar sin masa, resulta ser que el factor de escala i-ésimo esta simplemente dado por el tiempo elevado a una potencia k_i: a_i(t)=t^ki, donde los k_i son constantes y se conocen como exponentes de Kasner. Existen ciertas ecuaciones relacionando los exponentes de Kasner que deben satisfacerse, así que una vez elegido el contenido de materia, uno puede elegir un exponente de Kasner entre -1 y 1 y los otros dos quedan determinados.

Además de permitir más grados de libertad que los modelos FLRW, los espacio-tiempos de Bianchi son importantes dado el rol central que juegan en la llamada conjetura de Belinsky-Khalatnikov-Lifshitz (BKL). De acuerdo a la misma, cuando uno se aproxima a una singularidad espacial genérica en relatividad general, las derivadas temporales dominan sobre las espaciales (con la excepción de algunos  “picos” que ignoraremos aquí) y los puntos del espacio se desacoplan entre si. Esencialmente, a medida que las derivadas espaciales se vuelven despreciables, las complicadas ecuaciones a derivadas parciales de la relatividad general se reducen a más simples ecuaciones diferenciales ordinarias cerca de la singularidad. Aunque esta conjetura no ha sido probada aún, existe una abundancia de evidencia numérica que la apoya.

Si la conjetura BKL es correcta, y las ecuaciones diferenciales ordinarias son confiables, entonces la solución en cada punto es un espacio-tiempo homogéneo. Dado que los espacio-tiempos homogéneos más generales están dados por los modelos Bianchi, se sigue que cuando uno se aproxima a una singularidad, la geometría de cada punto está bien aproximada por un modelo Bianchi.

La conjetura es muy importante desde el punto de vista de la gravedad cuántica, dado que los efectos de la misma se espera que se vuelvan importantes precisamente cuando la curvatura del espacio-tiempo toma la escala de Planck. Esto quiere decir que esperamos que los efectos de la gravedad cuántica sean importantes cerca de las singularidades. Lo que la conjetura BKL nos dice es que entender los efectos de la gravedad cuántica en los modelos Bianchi, que corresponden a espacio-tiempos bastante sencillos, puede echar significativa luz acerca del problema de las singularidades en gravitación.

De hecho, estudios de la dinámica BKL muestran que para largos periodos de tiempo, la geometría de cualquier punto está dada por la métrica de Bianchi I y durante este periodo la geometría está completamente determinada por los tres exponentes de Kasner que discutimos. Ahora, la solución Bianchi I no vale eternamente, más bien ocurren transiciones entre distintas soluciones de Bianchi I llamadas transiciones de Kasner o Taub. Durante una transición de Kasner, los tres exponentes de Kasner cambian rápidamente de valor y luego se vuelven constantes por un periodo largo. Dado que el modelo de Bianchi I provee una excelente aproximación por periodos largos, entender su dinámica , especialmente a curvaturas grandes donde los efectos de la gravedad cuántica no pueden ser ignorados puede llevarnos a entender el comportamiento de singularidades genéricas cuando uno incluye efectos de la gravedad cuántica.

En la cosmología cuántica de lazos (LQC por sus siglas en ingles), para todos los espacio-tiempos estudiados hasta ahora, incluyendo Bianchi I, la singularidad del Big Bang es resuelta por efectos de la geometría cuántica. El hecho de que la singularidad inicial del modelo Bianchi I se resuelve en LQC, junto a la conjetura BKL, da cierta esperanza de que todas las singularidades del espacio tiempo sean resueltas en la gravedad cuántica de lazos. Si bien el resultado es esperanzador, existen aun preguntas sin respuesta acerca de la evolución específica del espacio tiempo de Bianchi I en LQC cuando efectos de la geometría cuántica son importantes.

Uno de los principales objetivos del seminario de Brajesh Gupt es atacar precisamente ese punto. Usando las ecuaciones efectivas, que proveen una aproximación excelente a la dinámica completa de los modelos de FLRW en LQC y se espera que hagan lo mismo para los modelos Bianchi, es posible estudiar como los efectos de la gravedad cuántica que aparecen en cosmología cuántica de lazos modifican la dinámica clásica cuando la curvatura del espacio tiempo se vuelve grande y el Big Bang se reemplaza por un rebote. En particular, Brajesh Gupt describe la manera precisa en la que los exponentes de Kasner  -que son constantes clásicamente- evolucionan determinísticamente mientras atraviesan el rebote, los detalles están en la charla.

La segunda parte del seminario considera la inflación en cosmologías cuánticas de lazos tipo Bianchi I. La inflación es un periodo de expansión exponencial del universo temprano que se introdujo para resolver los problemas del horizonte y la planitud. Uno de los resultados más importantes de la inflación es que genera pequeñas perturbaciones que son exactamente de la forma  de las que se observan en las pequeñas variaciones de temperatura del fondo de radiación de microondas cósmico. Para más información acerca de inflación, véanse los seminarios internacionales anteriores de William Nelson, Iván Agullo, Gianluca Calcagni y David Sloan, así como los artículos en el blog que los acompañan.

Si bien la inflación es comúnmente considerada en el contexto de modelos isotrópicos, es importante recordar que en presencia de campos materiales como la radiación y la materia oscura fría, espacio-tiempos anisotropicos se vuelven isotrópicos en épocas tardías. Por ende, que el universo aparezca isotrópico hoy no significa que lo fuera hace 13.800 millones de años. Debido a esto, es necesario entender como la dinámica de la inflación cambia cuando hay anisotropías presentes. Como mencionamos al principio, existe considerablemente más libertad en los modelos Bianchi que en los espacio-tiempos de FLRW, así que las expectativas provenientes de modelos isotrópicas pueden ser erróneas en la situación más general anisótropa.

Existen varios aspectos interesantes que considerar en este contexto, y en este seminario el foco fue en dos preguntas en particular. Primero, ¿es más o menos fácil obtener las condiciones iniciales necesarias para inflación? Dicho de otra manera, hace falta más o menos sintonía fina en las condiciones iniciales? Resulta que la presencia de anisotropías hace más fácil que tenga lugar una cantidad adecuada de inflación. El segundo problema es determinar cómo los efectos de la geometría cuántica de la cosmología cuántica de lazos cambian los resultados que uno esperaría a partir de la teoría clásica. La principal modificación encontrada aquí tiene que ver con la cantidad de anisotropía presente en el espacio-tiempo (la cual se puede cuantificar de un modo preciso) y la cantidad de inflación que tiene lugar. Mientras que en la teoría clásica existe una relación monótona entre ambas cantidades, esto deja de ser cierto en cosmología cuántica de lazos. En lugar de ello hay una cantidad específica de anisotropía que maximiza la cantidad de inflación que tiene lugar y más allá se ve un efecto inverso. Los detalles de ambos resultados están en el seminario. 

Gravedad cuántica de lazos reducida.

Tuesday, Mar 12th.
Emanuele Alesci, Francesco Cianfrani
Title: Quantum reduced loop gravity
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Por Emanuele Alesci, Universidad de Varsovia and  Francesco Cianfrani, Universidad de Breslau

Proponemos un nuevo paradigma para la cuantización de lazos de sectores reducidos por simetría de la relatividad general, que llamamos gravedad cuántica de lazos reducida, y aplicamos este esquema a la extensión inhomogénea de los modelos cosmológicos del tipo Bianchi I (una cosmología que es homogénea pero no isótropa). Para explicar el significado de esta frase necesitaremos varios ingredientes que presentaremos en las secciones siguientes. Enfoquémonos primero en el significado de “reducción por simetría”: este proceso simplemente significa que si un sistema físico tiene algún tipo de simetría, podemos usarla para reducir el número de variables independientes necesarias para describirlo. La simetría entonces nos permite en general reducir las variables de una teoría a los grados de libertad verdaderamente independientes. Por ejemplo, consideremos una partícula puntual sin espín que se mueve en un plano bajo la influencia de un potencial central. El sistema es invariante bajo rotaciones bidimensionales alrededor del centro del potencial. Como consecuencia de ello se conserva el momento angular. La velocidad angular alrededor del origen es una constante de movimiento y la única variable dinámica “verdadera” es la coordenada radial de la partícula. Si uno va al espacio de fases (el espacio de posiciones y momentos de la teoría), el mismo puede ser parametrizado por las coordenadas radiales y angulares con el correspondiente momento, pero la simetría fuerza al momento asociado con la coordenada angular a permanecer conservado. El espacio de fases reducido asociado a tal sistema esta parametrizado por la coordenada y el momento radial a partir de los cuales, dadas las condiciones iniciales, la trayectoria completa de la partícula en el plano puede ser reconstruida.  La cuantización del espacio de fases reducido es en general más fácil que la que se hace en el espacio completo y esta es la razón principal por la cual esta técnica se suele usar en enfoques de la gravedad cuántica, cuya formulación final todavía nos evade. Por ejemplo, el análisis canónico de modelos homogéneos (cosmología cuántica de lazos) y de sistemas esféricamente simétricos (agujeros negros cuánticos) en la gravedad cuántica de lazos se ha llevado a cabo primariamente reduciendo el espacio de fases y cuantizando el sistema resultante (lo que se conoce técnicamente como cuantización reducida). La idea básica de nuestro enfoque es invertir el orden de “reducción” y “cuantización”. La motivación viene directamente de nuestro análisis y, en particular, del fracaso de la cuantización reducida en proveer una dinámica sensata para las extensiones inhomogeneas del modelo anisotropico pero homogéneo de Bianchi I. Como consecuencia seguiremos un camino distinto definiendo una reducción “cuántica” del espacio de Hilbert de estados cuánticos de la teoría completa a un subespacio que captura los grados de libertad relevantes. Este procedimiento nos permitirá tratar el sistema Bianchi I inhomogéneo directamente a nivel cuántico en una teoría donde se pueden hacer cálculos explícitos con todos los ingredientes de la gravedad cuántica de lazos (sólo que simplificados debido a la reducción cuántica.

Para proceder, revisemos un poco las características principales de la gravedad cuántica de lazos.

Gravedad cuántica de lazos

La gravedad cuántica de lazos es uno de los enfoques más prometedores para la cuantización del campo gravitatorio. Su formulación es canoníca y por ende está basada en hacer una descomposición 3+1 del espacio-tiempo. El espacio de fases esta parametrizado por las conexiones de Ashtekar-Barbero y sus momentos asociados, a partir de los cuales se puede calcular la métrica del espacio. Un punto central de esta reformulación es la existencia de una simetría de calibre (conocida técnicamente como simetría de calibre SU(2)), que juntamente a la independencia de estructuras geométricas preexistentes (estructuras de fondo), llevan a los vínculos conocidos como vínculos cinematicos de la teoría (cada vez que hay una simetría en una teoría aparece un vinculo asociado indicando que las variables no son independientes y uno tiene que aislar los grados de libertad genuinos). El procedimiento de cuantización está inspirado en los enfoques desarrollados en la década del 70 para describir teorías de calibre en el retículo en el límite de campo fuerte. En particular los estados están dados en términos de redes de espín, que son grafos con “colores” en las líneas que conectan intersecciones. Un ingrediente esencial de la gravedad cuántica de lazos es la independencia de estructuras preexistentes. La manera en la que se implementa esta simetría es un logro completamente nuevo en gravedad cuántica y permite encontrar una expresión regularizada (sin infinitos) del operador asociado al vinculo Hamiltoniano que dicta la dinámica de la teoría. Gracias a un procedimiento introducido por Thiemann, el vinculo Hamiltoniano puede ser aproximado mediante una triangulación del espacio. El límite en el que la triangulación se vuelve cada vez más fina nos da la expresión clásica y está bien definida a nivel cuántico sobre nudos-s (clases de redes de espín relacionadas por deformaciones suaves). La razón es que los nudos-s son invariantes bajo difeomorfismos y por ende no dependen de la longitud característica de la triangulación. Esto quiere decir que el vinculo Hamiltoniano puede ser regularizado consistentemente y, dicho sea de paso, el algebra asociada no tiene anomalías. Desafortunadamente, la expresión resultante no puede ser calculada en forma analítica, debido a la presencia del operador de volumen. Este obstáculo parece ser una obstrucción técnica más que una obstrucción teórica y por esa razón nuestro objetivo es superarlo en un modelo simple, como los cosmológicos.

Cosmología cuántica de lazos

La cosmología cuántica de lazos es la mejor teoría de la que disponemos para tratar cosmologías homogéneas. Se basa en una cuantización en el espacio de fase reducido, lo que implica que la reducción asociada a la simetría ocurre a nivel enteramente clásico. Una vez hecha la reducción, uno procede a cuantizar los grados de libertad con técnicas de gravedad cuántica de lazos. Sabemos que nuestro universo experimenta una fase altamente isotrópica y homogénea a escalas de más de 100 megaparsecs. La descripción cosmológica mas simpe es la del modelo de Friedman-Robertson-Walker (FRW), en la cual uno tiene un elemento de línea homogéneo e isótropo, descripto por una sola variable, el factor de escala. Una generalización se puede hacer considerando extensiones anisotropicas, los llamados modelos de Bianchi, en los que hay tres factores de escala definidos a lo largo de tres direcciones fiduciarias. En la cosmología cuántica de lazos uno fija la geometría a FRW o a modelos Bianchi y cuantiza las variables dinámicas. A pesar de esto, una deducción directa a partir de la gravedad cuántica de lazos aun no se conoce y es difícil en este contexto acomodar inhomogeneidades porque la teoría está definida en un espacio homogéneo.

Extensiones inhomogéneas de los modelos Bianchi

Queremos definir un nuevo modelo cosmológico que retenga todos los aspectos positivos de la gravedad cuántica de lazos, en particular un tipo de independencia de estructuras preexistentes a través de la cual la regularización del vínculo Hamiltoniano se pueda llevar a cabo como en la teoría completa. Para ello consideramos el modelo Bianchi más sencillo, llamado tipo I (un espacio homogéneo pero anisotropico), y definimos una extensión inhomogénea caracterizada por factores de escala que dependen del espacio. La extensión contiene como caso limite la fase homogénea en una parametrizacion arbitraria. La virtud de estos modelos es que son invariantes bajo lo que llamamos difemorfismos reducidos, que es la invariancia bajo una clase restringida de difeomorfismos que preservan las direcciones fiduciales de las anisotropías del modelo de Bianchi I. ¡Este es precisamente el tipo de simetría que buscábamos! De hecho, una vez que uno basa estados cuánticos sobre los grafos reducidos, cuyas líneas yacen a lo largo de las direcciones fiduciarias, podemos definir nudos-s reducidos, que no dependerán de la longitud de la cubulación del espacio (hablamos de cubulacion porque los grafos reducidos admiten cubulaciones y no triangulaciones). Como consecuencia, solo tenemos que repetir la construcción de Thiemann para una cubulación en lugar de una triangulación. Pero, ¿termina dando una buena expresión para el vinculo Hamiltoniano? La respuesta es negativa y la razón es que existe una simetría adicional en el espacio de fase reducido que nos impide repetir la construcción de Thiemann para el vinculo Hamitoniano. Por ende, el problema dinámico no puede ser atendido con las técnicas usuales de gravedad cuántica de lazos en la cuantización reducida.

Gravedad cuántica de lazos reducida

¿Qué nos falta en la cuantización reducida? La idea es que hemos reducido la simetría de calibre demasiado y esto es lo que nos impide construir el Hamiltoniano. Por ende volvemos hacia atrás y no reducimos la simetría y procedemos a cuantizar primero. Entonces podemos imponer la reducción de la simetría a nivel cuántico. Así, la expresión del vinculo Hamiltoniano del modelo de Bianchi I puede ser cuantizado de acuerdo al procedimiento de Thiemann. Más aun, los elementos de matriz asociados pueden ser calculados analíticamente dado que el operador de volumen toma una forma simplificada en el nuevo espacio de Hilbert. Así, tenemos una descripción cuántica del modelo inhomogéneo de Bianchi I in la que todas las técnicas de la gravedad cuántica de lazos pueden ser aplicadas y los cálculos completados analíticamente. Esto quiere decir que por primera vez tenemos un modelo en el que podemos probar explícitamente varios aspectos de la cuantización de lazos: el Hamiltoniano original de Thiemann que cambia grafos, el programa del vínculo maestro, la cuantización algebraica o el nuevo enfoque de deparametrización con campos de materia. Todos pueden ser examinados. El modelo es un retículo cuboidal, cuyos lados tienen números cuánticos y con relaciones reducidas entre esos números en los vértices. En dos palabras tenesmo una especie de “cosmología cuántica de lazos” hibrida a lo largo de los lados con relaciones de gravedad cuántica de lazos en los vértices, pero con una estructura de grafos y ¡operador de volumen diagonal! Esto significa que tenemos un modelo tratable analíticamente más cercano a la gravedad cuántica de lazos que la cosmología cuántica de lazos y potencialmente capaz de tratar inhomogeneidades e anisotropías al mismo tiempo. ¿Es significativo este modelo? Lo que nos resta hacer es “solamente”  física: como primera prueba tratar de estudiar el limite semiclasico. Si este modelo da la relatividad general en el régimen clásico, entonces podemos pasar a comparar sus predicciones con las de la cosmología cuántica de lazos en el régimen cuántico, insertando campos de materia y analizando su rol, discutiendo el comportamiento de las inhomogeneidades y todo eso. Veremos…

Relatividad general en el espacio de observadores.

Tuesday, Oct 2nd.
Derek Wise, FAU Erlangen
Title: Lifting General Relativity to Observer Space
PDF of the talk (700k) Audio [.wav 34MB], Audio [.aif 3MB].

por Jeffrey Morton, Universidad de Hamburgo

Una versión más técnica y precisa de este artículo aparece en el blog de Jeff en inglés.


Esta plática está basada en un proyecto de Steffen Gielen y Derek Wise, que esta descripto en varios trabajos publicadoes (dos mas cortos "Spontaneously broken Lorentz symmetry for Hamiltonian gravity", "Linking Covariant and Canonical General Relativity via Local Observers", y uno reciente mas largo llamado "Lifting General Relativity to Observer Space").




La idea central detrás de este proyecto es la noción de “espacio de observadores”: un espacio constituido por todos los observadores de un universo dado. Esto se visualiza más fácilmente partiendo de un espacio-tiempo. Matemáticamente, es una variedad M con una métrica Lorentziana g, que entre otras cosas determina qué direcciones son “tipo-tiempo” en un punto dado. Un observador puede ser especificado eligiendo dos cosas. En primer lugar un punto (x0,x1,x2,x3)=x, asociado a un “evento” en el espacio-tiempo. En segundo lugar, una dirección tipo tiempo orientada hacia el futuro que es tangente a la trayectoria de un observador “físico” que pasa por el evento x. El espacio de observadores consiste de todas estas elecciones: lo que se conoce como el “haz tangente unitario a futuro de M”. Sin embargo, usando la nocion de una “geometría de Cartan”, uno puede dar una definición general de espacio de observadores que tiene sentido aun cuando no hay una variedad espacio-temporal subyacente.

 El resultado es una sorprendente nueva intuición que dice que el “espacio-tiempo” es una noción local y dependiente de observador, que en algunos casos especiales se puede extender de modo tal que todos los observadores vean el mismo espacio-tiempo. Esto aparece relacionado a la idea de relatividad de localidad. Más directamente, es geométricamente similar al hecho de que rebanar un espacio-tiempo en fetas de espacio que evolucionan en el tiempo no es un procedimiento único, y no es respetado por las simetrías completas de la teoría de la relatividad. Más bien, la división entre espacio y tiempo depende del observador.

¿Cómo se describe todo esto matemáticamente? En particular, ¿qué se quiso decir antes cuando se dijo que el espacio-tiempo en si mismo se vuelve dependiente de observador? L a respuesta usa la geometría de Cartan.

Geometría de Cartan 

En líneas generales, la geometría de Cartan es a la geometría de Klein lo que la geometría de Riemann es a la geometría Euclídea.

El programa de Erlangen de Klein, llevado a cabo a mediados del siglo 19, trajo sistemáticamente al algebra abstracta, y específicamente a la teoría de grupos de Lie, a la geometría, colocando la idea de simetría en un rol pivotal. Describe “espacios homogéneos” X, que son geometrías en las que cada punto es indistinguible de los otros. Esto se expresa a través de la acción de un grupo de Lie G, que consiste en todas las transformaciones de un espacio subyacente que preservan su estructura geométrica. Para un espacio Euclídeo n dimensional En, el grupo de simetrías es precisamente el que deja invariante la geometría Euclídea, es decir los ángulos y las longitudes. Este es el grupo Euclídeo, y es generado pro las rotaciones y las translaciones. Pero todo punto x será mantenido fijo por algunas simetrías y no otras, así que existe un subgrupo H, el “subgrupo estabilizador”, que consiste de todas las simetrías que dejan a x fijo.

El par (G,H) es todo lo que necesitamos para especificar un espacio homogéneo o geometría de Klein. Así, un punto será mantenido fijo por el grupo de rotaciones centradas en dicho punto. La observación de Klein es dar vuelta esto: podemos definir lo Euclídeo a partir del grupo G, esencialmente "ignorando" (lo que técnicamente se denomina "modding out" en inglés) el subgrupo H de transformaciones que dejan un punto fijo.  Resulta en todas las traslaciones que determinan los posibles puntos y a los que un punto x puede ser llevado y no más. El programa de Klein nos deja hace esto en general, dado cualquier par (G,H). La ventaja de este programa es que lleva a un número muy grande de ejemplos de geometrías (incluyendo algunas previamente no conocidas) en forma unificada. Pero las más relevantes por ahora son:

• Espacio Euclídeo n-dimensional, como describimos.
• Espacio de Minkowski n-dimensional. El grupo Euclídeo es reemplazado por el grupo de Poincaré, lo que incluye las traslaciones y rotaciones, pero también los “boosts” de la relatividad especial. Este es el grupo de todas las transformaciones que mantienen fija la geometría determinada por la métrica de Minkowski del espacio-tiempo plano.
•  Espacio de de Sitter y de anti-de Sitter, los que son relevantes para estudiar la relatividad general con una constante cosmológica.

Así como una geometría Lorentziana o Riemanniana es “localmente modelada” por un espacio de Minkowski o Euclídeo respectivamente, una geometría de Cartan es modelada localmente por una geometría de Klein. Medidas hechas cerca de un punto de la geometría de Cartan parecen ser las de una geometría de Klein.

Dado que la curvatura se mide observando el desarrollo de curvas, podemos pensar cada espacio homogéneo como una geometría de Cartan plana con si mismo como modelo local, así como el espacio de Minkowski de la relatividad especial es una solución particular de la relatividad general.

 La idea de que la curvatura de una variedad depende de la geometría modelo que se usa para medirla aparece en la manera en la que usamos dicha variedad en física.

Gravedad y la geometría de Cartan 

La teoría de la gravedad de MacDowell-Mansouri puede entenderse como una teoría en la cual la relatividad general es modelada como una geometría de Cartan. Por supuesto, la manera usual de presentar la relatividad general es en términos de una geometría de una variedad Lorentziana. El formalismo de Palatini describe a la relatividad general en lugar de a través de una métrica, a través de un conjunto de vectores gobernados por las ecuaciones de Palatini. Esto puede deducirse de una geometría de Cartan a través de la teoría de MacDowell-Mansouri, que “rompe la simetría completa” de la geometría en cada punto, generando los campos vectoriales que aparecen en el formalismo de Palatini. Así, la relatividad general puede ser escrita como la teoría de una geometría de Cartan modelada en el espacio de de Sitter.

El espacio de observadores 

La idea de definir un espacio de observadores es combinar dos reducciones de simetría en una. Uno tiene una geometría modelo de Klein, que refleja la “ruptura de simetría” que aparece cuando se elige un punto particular en el espacio-tiempo (también llamado evento). Las direcciones temporales son vectores tangentes a la línea de mundo (la trayectoria en el espacio-tiempo) de un observador “físico” en el evento elegido. Así que la geometría de Klein es el espacio de todos tales posibles observadores en un evento dado. El subgrupo estabilizador de un punto en este espacio consiste de simplemente las rotaciones del espacio-tiempo alrededor del observador dado, los “boosts” en la transformación de Lorentzt que relacionan diferentes observadores. Localmente, el elegir un observador es equivalente a dividir el espacio-tiempo en un producto de un espacio y un tiempo. Si combinamos las dos reducciones al mismo tiempo, obtenemos una geometría de Klein siete dimensional que esta relacionada al espacio de de Sitter, al que podemos pensar como un modelo homogéneo de “espacio de observadores”.

Esto puede ser intuitivamente sorprendente: da un modelo geométrico perfectamente concreto en el que el “espacio-tiempo” es relativo y dependiente de observador, y posiblemente solo significativo localmente, en el mismo sentido que la distinción de “espacio” y “tiempo” lo es en relatividad general. Esto es, puede ser imposible determinar objetivamente si dos observadores están basados en el mismo evento o no. Esto es un tipo de “relatividad de la localidad”, que es geométricamente bastantes similar a la ahora familiar relatividad de la simultaneidad. Cada observador llegara a ciertas conclusiones acerca de que observadores comparten el mismo evento base, pero distintos observadores pueden no estar de acuerdo. Los observadores coincidentes de acuerdo a un observador dado son esos alcanzados por una buena clase de geodésicas en el espacio de observadores que se mueven en direcciones que el observador ve como “boosts”.

Dada una cierta condición de integrabilidad uno puede reconstruir un espacio-tiempo del espacio de observadores: dos observadores estarán de acuerdo acerca de si están o no en el mismo evento. Este es el familiar mundo de la relatividad, donde la simultaneidad puede ser relativa, pero la localidad absoluta.

Levantando la gravedad al espacio de observadores 

Además de describir este modelo de espacio-tiempo relativo, una motivación adicional para describir el espacio de observadores es que uno puede formular la relatividad general canónica (hamiltoniana) localmente cerca de cada punto en un espacio de observadores. El objetivo es tender un puente entre las cuantizaciones canónicas y covariantes de la gravedad. La cuantización covariante trata la geometría del espacio-tiempo como un conjunto, a través de lo que se conoce como un lagrangiano. Esto es matemáticamente atractivo, dado que respeta las simetrías de la relatividad general, es decir, su invariancia bajo difeomorfismos (o, hablando más físicamente, que sus ecuaciones toman la misma forma para todos los observadores). Por otro lado, esta alejada del enfoque canónico (hamiltoniano) a la cuantización de sistemas físicos, en el que el concepto de tiempo es fundamental. En el enfoque canónico, uno cuantiza el espacio de estados de un sistema en un instante dado del tiempo, y el hamiltoniano de la teoría describe su evolución. Esto es problemático para la invariancia bajo difeomorfismos (o aun la invariancia Lorentz) dado que la coordenada temporal depende de una elección de observadores. El punto del espacio de observadores es que podemos considerar dichas elecciones todas simultáneamente. El describir la relatividad en el espacio de observadores es tanto covariante como basado en elecciones (locales) de dirección temporal. Así un “campo de observadores” es una elección, en cada evento de base M, de un observador basado en dicho evento. Un campo de observadores puede o no corresponder a una descomposición particular de un espacio-tiempo en un espacio que evoluciona en el tiempo, pero localmente, en cada punto del espacio de observadores, siempre parecerá ser uno. La teoría resultante describe la dinámica de la geometría espacial en el tiempo, como es vista por un observador dado, en términos de una geometría de Cartan.

Esta división, en las mismas líneas que la presente en la gravedad de MacDowell-Mansouri que describimos antes, sugiere que uno puede levantar a la relatividad general a una teoría en el espacio de observadores. Esto corresponde a describir campos en el espacio de observadores y una teoría para laos mismos, tal que la descomposición de los campos devuelve los campos usuales de la relatividad general en un espacio-tiempo, y las ecuaciones dan las ecuaciones usuales. Esta parte del proyecto aun esta en desarrollo, pero existe una forma de levantar las ecuaciones de Einstein al espacio de observadores. Esto nos dice que la relatividad general puede ser definida puramente en términos del espacio de todos los posibles observadores, y cuando hay un espacio-tiempo objetivo, la teoría resultante se ve idéntica a la relatividad general. En el caso en el que no hay un espacio-tiempo “objetivo”, el resultado incluye sorprendentes campos nuevos. Si esto es bueno o malo no es claro aún.

Más sobre la Dinamica de las Formas

Tim Koslowski, Perimeter Institute
Title: Effective Field Theories for Quantum Gravity form Shape Dynamics
PDF of the talk (0.5Mb) Audio [.wav 31MB], Audio [.aif 3MB].

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Por Astrid Eichhorn, Perimeter Institute

La gravedad y la mecánica cuántica se han resistido a ser unificadas en una teoría común por varias décadas. Sabemos bastante acerca del comportamiento clásico de la gravedad, en la forma de la teoría de la Relatividad General de Einstein, que es una teoría de campos. En el último siglo, hemos aprendido a cuantizar otras teorías de campo, como las teorías de calibre del Modelo Estándar de la Física de Partículas. La diferencia crucial entre una teoría clásica y una cuántica reside en el efecto de las fluctuaciones cuánticas. Debido al principio de incerteza de Heisenberg, los campos cuánticos pueden fluctuar, y esto cambia la dinámica efectiva del campo. En una teoría de campos clásica, las ecuaciones de movimiento pueden deducirse minimizando una función , conocida como la acción clásica. En una teoría cuántica de campo, las ecuaciones cuánticas para el valor promedio del campo cuántico no pueden deducirse de la acción clásica. En lugar de ello, se siguen de algo conocido como la acción efectiva, que contiene los efectos de todas las fluctuaciones cuánticas. Para incorporar el efecto de las mismas, desde un punto de vista matemático, existe un procedimiento conocido como la integral de camino. El mismo es bastante complejo, aun si uno hace teoría de perturbaciones (donde uno supone que las soluciones difieren poco de una solución conocida). Un camino para hacer esta tarea más asequible es el llamado Grupo de Renormalización (funcional): No todas las fluctuaciones cuánticas son consideradas al mismo tiempo, sino sólo aquellas con una cantidad de movimiento específica, usualmente empezando por valores grandes. Gráficamente, esto quiere decir que “promediamos” los campos cuánticos sobre distancias cortas (inversamente proporcionales a la cantidad de movimiento). El efecto de las fluctuaciones de gran cantidad de movimiento es por ende cambiar los valores de las constantes de acoplamiento de la teoría. Las mismas no son más constantes, pero dependen de la escala de cantidad de movimiento a considerar, así que es más correcto referirse a ellas como constantes de acoplamiento deslizantes. Como ejemplo, considérese la electrodinámica cuántica: Sabemos que las ecuaciones de movimiento clásicas son lineales, así que no hay interacción entre fotones. Tan pronto como vamos a la teoría cuántica, esto cambia. Las fluctuaciones cuánticas del electrón a cantidades de movimiento grandes inducen una interacción fotón-fotón (con un acoplamiento muy débil así que el efecto es difícil de ver)

Figura 1: Fluctuaciones del electrón introducen un acoplamiento no nulo fotón-fotón en la Electrodinámica Cuántica.

La pregunta de si una teoría puede ser cuantizada, es decir si la integral de camino se puede calcular, encuentra entonces una respuesta en el comportamiento de las constantes deslizantes: Si el efecto de las fluctuaciones cuánticas a gran cantidad de movimiento es hacer los acoplamientos divergentes a algún valor finito de la cantidad de movimiento, la teoría es sólo efectiva a bajas energías, pero no una teoría fundamental. Desde un punto de vista técnico esto implica que cuando uno calcula integrales que toman en cuenta el efecto de las fluctuaciones cuánticas, uno no puede extenderlas a cantidades de movimiento arbitrarias sino que tienen que ser interrumpidas a cierta escala.
La interpretación física de tal divergencia es que la teoría nos esta diciendo que realmente estamos usando grados de libertad efectivos, no fundamentales. Como ejemplo, si construimos una teoría de la interacción débil entre fermiones sin los bosones W y Z, el acoplamiento entre los fermiones diverge a una escala que está relacionada con la masa de los nuevos bosones. De este modo la teoría nos informa que nuevos grados de libertad, los bosones W y Z, deben ser incluidos a esa escala de cantidad de movimiento. Un ejemplo de una teoría que sabemos es verdaderamente fundamental, es decir que sus grados de libertad son validos a escalas arbitrariamente altas de cantidad de movimiento, es la Cromodinámica Cuántica (QCD por quantum chromodynamics, su nombre en ingles). Su característica esencial es un punto fijo Gausiano (uno que corresponde a una teoría libre, no interactuante), que no es más que la afirmación de que la constante de acoplamiento deslizante se debilita a grandes cantidades de movimiento, lo que se conoce como libertad asintótica (dado que a grandes cantidades de movimiento la teoría se vuelve no interactuante, es decir, libre).
No hay nada malo con una teoría que no es fundamental en el sentido de arriba, simplemente significa que es una teoría efectiva, que sólo se puede usar en un rango finito de cantidad de movimiento. Este concepto es bien conocido en física y se usa exitosamente. Por ejemplo en sistemas de materia condensada los grados de libertad efectivos son, por ejemplo, los fonones, que son excitaciones colectivas de un retículo de átomos y que obviamente dejan de ser una descripción valida del sistema a distancias más cortas que la escala atómica. La gravedad cuántica existe como teoría efectiva, y se pueden calcular sus efectos tratando a la métrica del espacio-tiempo como cualquier otro campo. Sin embargo, como teoría efectiva, sólo describe la física en un cierto rango de escalas y presumiblemente dejara de ser valida a una escala conocida como escala de Planck (10^-33 centímetros). Esto implica que no entendemos los grados de libertad microscópicos de la gravedad. ¿Cuales son los grados de libertad fundamentales que describen a la gravedad a escalas más allá de la de Planck, cuál es su dinámica y cuales son las simetrías que los gobiernan?
La cuestión, si es que podemos arribar a una teoría fundamental de la gravedad dentro del marco de las teorías de campos usuales, se reduce a entender el comportamiento de las constantes de acoplamiento deslizantes de la teoría. En teoría de perturbaciones la respuesta se conoce hace tiempo: (en cuatro dimensiones espacio-temporales) en lugar de debilitarse a grandes cantidades de movimiento, la constante de Newton aumenta de valor. Más formalmente, esto quiere decir que el punto fijo (conocido técnicamente como punto fijo Gaussiano) no es atractivo ultravioleta. Debido a esto la mayor parte de los investigadores en gravedad cuántica abandono la idea de tratar de cuantizar la gravedad siguiendo las mismas líneas que las teorías de calibre del Modelo Estándar de las Partículas Elementales. Concluyeron que la métrica no contiene los grados de libertad microscópicos de una teoría continua de la gravedad cuántica, sino que es una teoría efectiva valida a bajas energías. Sin embargo, el hecho de que el punto fijo gaussiano no es atractivo ultravioleta realmente sólo quiere decir que la teoría de perturbaciones deja de funcionar. Mas allá de la teoría de perturbaciones existe la posibilidad de de obtener una teoría fundamental de la gravedad cuántica. La arena en la cual podemos entender esta posibilidad es el espacio de teorías. Este es un espacio (infinito dimensional), que esta cubierto por todas las constantes deslizantes que son compatibles con las simetrías de la teoría. Así, en el caso de la gravedad, el espacio de teorías incluye la constante de Newton, la constante cosmológica, posibles acoplamientos de términos cuadráticos en la curvatura, etc. A una cierta escala de cantidad de movimiento, todos estos acoplamientos tienen algún valor, especificado por un punto en el espacio de teorías. El cambiar la escala de momento, e incluir los efectos de las fluctuaciones cuánticas en estas escalas, implica un cambio en el valor de estos acoplamientos. Así, cuando cambiamos continuamente la escala de cantidad de movimiento, fluimos a través del espacio de teorías a lo largo de lo que se llama una trayectoria del grupo de renormalización. Para que los acoplamientos se mantengan finitos a toda escala de cantidad de movimiento, la trayectoria debe acercarse a un punto fijo a valores grandes de la cantidad de movimiento (posibilidades mas exóticas, como ciclos limites o trayectorias infinitamente extensibles podrían existir también). En un punto fijo, los valores de los acoplamientos no cambian cuando uno incluye más fluctuaciones cuánticas. En ese caso podemos tomar el límite de gran cantidad de movimiento trivialmente, dado que nada cambia si vamos a escalas más altas, es decir, la teoría es invariante de escala. La interpretación física de este proceso es que la teoría no se rompe a ninguna escala finita: los grados de libertad que hemos elegido para parametrizar el sistema físico son validos a escalas arbitrariamente altas. Un ejemplo esta dado por la QCD, que como mencionamos es asintóticamente libre. La interpretación en ese caso es que los quarks y los gluones son grados de libertad microscópicos validos. No existe una escala de cantidad de movimiento a la cual esperar nuevas partículas o una posible subestructura de los quarks y los gluones.
En el caso de la gravedad, para cuantizar necesitamos un punto fijo no-gaussiano. En tal punto, donde los acoplamientos son no nulos, la trayectoria en el grupo de renormalización se detiene y podemos tomar el límite de cantidad de movimiento arbitrariamente grande. Esta idea se remonta a Weinberg y es conocida como asymptotic safety (seguridad asintótica) en inglés. Asintóticamente, a grandes cantidades de movimiento, estamos “a salvo” de divergencias en los acoplamientos, dado que los mismos se acercan a un punto fijo, en el que toman un valor finito. Dado que acoplamientos finitos implican observables finitos (cuando las constantes se definen apropiadamente), una teoría asintóticamente segura da resultados finitos a todas las preguntas físicas. En esta construcción, el punto fijo define la teoría microscópica, es decir, la interacción de los grados de libertad microscópicos. Como comentario al margen, si al estar confrontado con un espacio infinito dimensional de acoplamientos, te preocupa como puede ser tal teoría predictiva, nótese que los puntos críticos vienen equipados con lo que se conoce como una superficie critica: solamente si el flujo del grupo de renormalización yace sobre la superficie critica de un punto fijo se aproximará al punto fijo a grandes cantidades de movimiento. La presencia de una superficie critica finito dimensional implica que la teoría sólo tendrá un numero finito de parámetros, los que definen la superficie critica. A cantidades de movimiento bajas, el valor de estos acoplamientos, que es accesible experimentalmente, no esta fijado por la teoría. Cualquier valor sirve, dado que todos ellos cubren la superficie critica. Por otro lado infinitos acoplamientos serán fijados por el requerimiento de estar en la superficie crítica. Esto automáticamente implica que obtendremos infinitas predicciones de la teoría (de hecho el valor de estos “acoplamientos irrelevantes”, como se los suele llamar), que podemos (en principio) verificar en experimentos.

Figura 2: Un punto fijo no gaussiano tiene una superficie crítica, cuya dimensionalidad corresponde al número de parámetros libres de la teoría.

Dos ingredientes absolutamente cruciales en la búsqueda de una teoría asintóticamente libre de la gravedad cuántica son la especificación del contenido de campos y las simetrías de la teoría. Estas determinan que constantes deslizantes son parte del espacio de teorías. Son los acoplamientos de todos los posibles operadores que se pueden construir a partir de los campos fundamentales respetando la simetría a ser incluida. Imponer cualquier simetría extra en el espacio de teorías significa que algunos de los acoplamientos desaparecerán. Más importante, la (no)existencia de un punto fijo dependerá de la elección de simetrías. Un ejemplo bien conocido es el de una simetría U(1) (presente en el electromagnetismo) versus la simetría SU(3) (presente en la cromodinámica cuántica). La última tiene libertad asintótica mientras que la primera no. Así, las simetrías de un sistema determinan crucialmente su comportamiento microscópico. En gravedad, existen varias versiones equivalentes de la teoría clásica (es decir admiten las mismas soluciones a las ecuaciones de movimiento). Una lista parcial contiene la gravedad usual de Einstein con la métrica como campo fundamental, la gravedad de Einstein-Cartan, donde la métrica es reemplazada por una tétrada de vectores, y la versión unimodular de la gravedad métrica (la discutiremos enseguida). El primer paso en la construcción de una teoría cuántica de campos de la gravedad consiste en la elección del espacio de teorías. Importantemente, esta elección existe tanto en el formalismo de integral de camino como en el Hamiltoniano. Así que en ambos casos existe un número de formulaciones clásicamente equivalentes de la teoría, que difieren a nivel cuántico, y en particular sólo algunas de ellas es posible que existan como una teoría fundamental.
Para ilustrar que esta elección de espacio de teorías es realmente una elección física, consideremos el caso de la gravedad cuántica unimodular. En ella el determinante de la métrica esta restringido a ser constante. Esto implica que el espectro de fluctuaciones cuánticas difiere crucialmente de la versión no unimodular de la gravedad cuántica, y, más importante, la diferencia es de contenido físico, no de forma. Como consecuencia, la evaluación de diagramas de Feynman de la teoría de perturbaciones en ambos casos dará resultados distintos. En otras palabras, las constantes de acoplamiento deslizantes en los dos espacios de teorías tendrán comportamiento distinto, reflejado en la existencia de puntos fijos como de exponentes críticos, que determinaran los parámetros libres de la teoría.
Es aquí donde el nuevo campo de la dinámica de la forma (shape dynamics en ingles) abre nuevas posibilidades. Como explicamos, teorías que tienen la misma dinámica clásica pueden tener simetrías distintas. En particular esto es cierto para teorías de calibre, donde la simetría no es nada mas que una redundancia en la descripción. Como consecuencia de ello sólo un espacio de configuraciones reducido (el espacio de todas las configuraciones posibles de los campos) es físico, y en ciertas direcciones, el espacio de configuración contiene configuraciones redundantes. Un ejemplo simple está dado por la electrodinámica (cuántica), donde el modo longitudinal de vibración del fotón es no-físico (en el vacío), dado que la simetría de calibre restringe al fotón a tener sólo dos polarizaciones físicas (transversales).
Uno puede imaginar como dos teorías diferentes con distintas simetrías de calibre dan la misma física. Los espacios de configuración pueden de hecho ser diferentes, pero son los valores de los observables físicos en el espacio de configuración reducido los que deben coincidir. Esto marca una diferencia crucial en la teoría cuántica, dado que implica espacios de teorías distintos, definidos por simetrías distintas, y correspondientemente comportamientos diferentes de los acoplamientos deslizantes.
La dinámica de las formas cambia parte de las simetrías espaciotemporales cuadridimensionales de la relatividad general (la llamada invariancia de re-foliación, es decir invariancia bajo distintas elecciones de las rebanadas espaciales del espacio-tiempo que llamamos “espacio”) por lo que se conoce como invariancia conforme local, lo que implica invariancia local de escala del espacio. Esto implica una diferencia crucial en la forma en que el espacio-tiempo es presentado en las dos teorías. Mientras el espacio-tiempo es una entidad unificada en la relatividad general, en la dinámica de formas uno lo construye “apilando” rebanadas espaciales (para mas detalles lea el articulo en este blog de Julian Barbour). Eligiendo un calibre particular en las dos teorías da teorías equivalentes.
Aunque las dos teorías son equivalentes a nivel clásico para cuestiones observacionales, sus versiones cuánticas diferirán. En particular, quizá sólo una de ellas admita una compleción ultravioleta como teoría cuántica de campos con un punto fijo no gaussiano.
Una segunda posibilidad es que los dos espacios de teorías admitan un punto fijo no gaussiano, pero lo que se conoce como la clase de universalidad difiera. Hablando en líneas generales, la clase de universalidad esta determinada por la velocidad de aproximación al punto fijo, lo que es capturado por los llamados exponentes críticos. Lo que es más importante, mientras los detalles de las trayectorias del grupo de renormalización dependen típicamente de los detalles del esquema de regularización (esto especifica como se integran exactamente las fluctuaciones cuánticas), los exponentes críticos son universales. La colección completa de exponentes críticos de un punto fijo determina entonces la clase de universalidad. Las clases de universalidad están determinadas por las simetrías, lo que se conoce bien de las transiciones de fase de segundo orden en termodinámica. Dado que la longitud de correlación en la vecindad de una transición de fase de segundo orden diverge, los detalles microscópicos de sistemas físicos diferentes no importan. El comportamiento de observables físicos en la vecindad de una transición de fase esta determinado completamente por el contenido de los campos, la dimensionalidad y las simetrías de un sistema.
Diferentes clases de universalidad pueden diferir en el número de acoplamientos relevantes y por ende corresponder a teorías con distinto “grado de predictividad”. Así, teorías equivalentes clásicamente, cuando se las cuantiza, pueden tener un número distinto de parámetros libres. Como consecuencia, no todas las clases de universalidad serán compatibles con observaciones experimentales, y la elección del espacio de teorías para la gravedad es por ende crucial para identificar que clase de universalidad puede “realizarse en la naturaleza”.
Claramente, la cuantización canónica de la relatividad general usualmente formulada, diferirá de la dinámica de las formas, dado que esta última tiene un Hamiltoniano no-local.
Finalmente, lo que se conoce como doble relatividad general es el último paso en la construcción. Comenzando con las simetrías de la dinámica de las formas, uno puede encontrar una simetría BRST oculta en la relatividad general. Las simetrías BRST son simetrías que existen en las teorías de calibre cuando se formulan con integrales de camino. Para hacer teoría de perturbaciones uno necesita fijar el calibre, lo que da una integral de camino que no es invariante de calibre. Los remanentes de la invariancia de calibre forman la invariancia BRST, la cual puede entenderse como una versión cuántica de la invariancia de calibre.
En el caso de la gravedad, la invariancia BRST conectada a la invariancia de calibre bajo difeomorfismos esta suplementada por la invariancia BRST conectada a la invariancia conforme local. Esto es lo que se conoce como duplicación de simetría. Dado que las simetrías de calibre restringen los flujos en el grupo de renormalización en el espacio de teorías, el descubrimiento de una nueva simetría BRST en la relatividad general es crucial para entender por completo la posible existencia de un punto fijo y su clase de universalidad. Por ello la recientemente descubierta nueva invariancia BRST puede ser un ingrediente crucial para construir una teoría cuántica de la gravedad.

Modelos Bianchi en cosmología cuántica de lazos

por Edward Wilson-Ewing, Marseille.


Parampreet Singh, LSU
Title: Physics of Bianchi models in LQC
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La palabra singularidad, en física, se usa frecuentemente para denotar una predicción de que una cantidad observable  se torna singular o infinita. Uno de los ejemplos más famosos en la historia de la física aparece en la distribución de Rayleigh-Jeans que intenta de explicar la radiación térmica de un cuerpo negro en la teoría electromagnética clásica. Mientras que la distribución de Rayleigh-Jeans describe muy bien la radiación de cuerpo negro de longitud de onda larga, no lo hace para longitudes de onda cortas. De hecho, la distribución de Rayleigh-Jeans se vuelve singular a longitudes de onda cortas dado que predice que debería haber una cantidad de energía infinita radiada en esa porción del espectro: la singularidad –que no está de acuerdo con los experimentos- fue llamada la catástrofe ultravioleta.

Esta singularidad fue resuelta por Planck cuando descubrió lo que se conoce como la ley de Planck, la que ahora entendemos proviene de la física cuántica. En esencia, la discretitud de los niveles de energía del cuerpo negro asegura que el espectro de radiación de cuerpo negro permanezca finito para todas las longitudes de onda. Una de las lecciones a sacar de este ejemplo es que las singularidades no son físicas: en la ley de Rayleigh-Jeans, la predicción que debe haber una cantidad infinita de energía radiada a longitudes de onda cortas es incorrecta e indica que la teoría que llevó a la predicción no puede ser confiable para describir el fenómeno. En este caso es la teoría del electromagnetismo clásico la que falla al describir la radiación de cuerpo negro y es necesario usar mecánica cuántica para obtener el resultado correcto.


En la figura de abajo, vemos que para un cuerpo negro a una temperatura de 5000 grados Kelvin, la fórmula de Rayleigh-Jeans funciona muy bien para longitudes de onda mayores a 3000 nanómetros, pero falla para longitudes de onda más cortas. Para ellas hace falta usar la ley de Planck donde los efectos cuánticos han sido incluidos.

 Crédito por la imagen.

También existen singularidades en otras teorías. Algunos de los ejemplos más impactantes de singularidades en la física ocurren en la relatividad general donde la curvatura del espacio-tiempo, que representa la intensidad del campo gravitatorio, diverge y se vuelve infinita. Algunos de los ejemplos más conocidos son la singularidad de la gran explosión (big bang en ingles) y la singularidad que se encuentran dentro del horizonte de evento de los agujeros negros. Mientras que algunos han argumentado que la singularidad del big bang representa el origen del espacio y tiempo, aparece como más razonable que la singularidad indique que la teoría de la relatividad general no puede ser confiable cuando la curvatura se vuelve muy grande y que los efectos cuánticos no pueden ser ignorados: es necesario usar una teoría de la gravedad cuántica para estudiar el universo muy temprano (donde la relatividad general dice que ocurre el big bang) y el centro de los agujeros negros.


En cosmología cuántica de lazos (LQC por las siglas en ingles), modelos sencillos del universo temprano se estudian usando las técnicas de la gravedad cuántica de lazos. El modelo más simple (y por ende el primero en ser estudiado) es conocido como el modelo de Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW) plano. Este espacio-tiempo es homogéneo (el universo se ve igual no importa donde estés), isótropo (el universo se expande al mismo ritmo en todas las direcciones), y espacialmente plano (las otras dos posibilidades son los modelos abiertos y cerrados que también han sido estudiados en LQC) y se considera que provee una buena aproximación a la dinámica de gran escala del universo en que vivimos. En LQC ha sido posible estudiar como efectos de la geometría cuántica se vuelve importante en el modelo FLRW cuando la curvatura del espacio-tiempo se vuelve tan grande que es comparable a uno dividido por la longitud de Planck al cuadrado. Un análisis cuidadoso muestra que los efectos de la geometría cuántica proveen una fuerza repulsiva que causa un “rebote” y asegura que la singularidad predicha por la relatividad general no ocurre en LQC. Haremos esto más preciso en los próximos párrafos.


Midiendo la tasa de expansión del universo hoy, es posible usar el modelo de FLRW para determinar el tamaño y la curvatura del espacio-tiempo del universo en el pasado. Por supuesto, estas predicciones dependerán de la teoría usada: la relatividad general y la LQC no darán siempre las mismas predicciones. La relatividad general predice que, cuando vamos hacia atrás ene l tiempo, el universo se vuelve cada vez más pequeño y la curvatura del espacio-tiempo se vuelve cada vez más grande. Esto continúa hasta que unos 13.750 millones de años atrás el universo tuvo volumen cero y una curvatura del espacio-tiempo infinita. Eso es lo que se llama el big bang.


En LQC el escenario no es el mismo. Mientras la curvatura del espacio-tiempo sea considerablemente menor a uno dividido por la longitud de Planck al cuadrado, predice lo mismo que la relatividad general. Así, cuando vamos para atrás en el tiempo, el universo se vuelve más chico y la curvatura mas grande. Sin embargo, hay diferencias importantes cuando la curvatura del espacio tiempo se acerca al valor crítico de uno dividido por la longitud de Planck al cuadrado: en este régimen hay modificaciones mayores a la evolución del universo provenientes de efectos de la geometría cuántica. En lugar de continuar contrayéndose como en relatividad general, el universo enlentece su contracción y luego comienza a agrandarse de nuevo. Esto es conocido como el rebote. Después del mismo, si continuamos hacia atrás en el tiempo el universo se vuelve cada vez más grande y la curvatura del espacio-tiempo más chica. La misma no diverge nunca, no hay una singularidad.

Crédito por la imagen. 

En la cosmología cuántica de lazos vemos que la singularidad del big bang en los modelos FLRW se evita debido a efectos cuánticos y esto es análogo a lo que pasaba en la teoría de radiación de cuerpo negro: la teoría clásica predice una singularidad que se resuelve cuando se incluyen efectos cuánticos.

Esta observación abre un interrogante importante: ¿resuelve la LQC todas las singularidades que aparecen en modelos cosmológicos en la relatividad general? Esta es una pregunta compleja dado que hay muchos tipos de modelos cosmológicos y también muchos tipos de singularidades. En este seminario, Parampreet Singh explica que pasa con muchos tipos de singularidades en una familia de modelos, llamados modelos de Bianchi, que son homogéneos pero anisótropos (cada punto del universo es equivalente, pero el mismo puede expandirse a ritmos distintos en distintas direcciones). El resultado central del seminario es que todas las singularidades “fuertes” en los modelos Bianchi son resueltas por la LQC.

Cosmología cuántica de lazos inhomogénea

por David Brizuela, Albert Einstein Institute, Golm, Germany.




William Nelson, PennState 
Title: Inhomogeneous loop quantum cosmology
PDF of the talk (500k)
Audio [.wav 32MB], Audio [.aif 3MB].

La charla de William Nelson es una continuación del trabajo presentado por Iván Agulló hace varios meses en esta serie de seminarios sobre su trabajo en común en colaboración con Abhay Ashtekar. La charla de Iván fue comentada en este blog por Edward Wilson-Ewing, por lo que referimos al lector a esa entrada por completitud. Aunque una parte sustancial del material se solapará con ese post, aquí intentaremos centrarnos en aspectos complementarios de esta investigación.

Debido a que la velocidad de la luz es finita, cuando miramos un objeto distante, como una estrella, estamos viendo el estado de ese objeto en el pasado. Este hecho apenas afecta nada a nuestras escalas cotidianas, pero si consideramos distancias más grandes el efecto es apreciable incluso para nuestros lentos sentidos humanos. Por ejemplo, el sol se encuentra a 8 minutos-luz de distancia por lo que, si de repente se apagara, aún tendríamos tiempo de hacer varias cosas hasta que nos encontráramos en la más completa oscuridad. Si vamos a distancias cosmológicas este hecho puede ser muy sorprendente: ¡podemos ver el pasado realmente lejano! Pero, ¿cómo de lejano? ¿Podemos ver el instante de la creación?

Los rayos de luz que se emitieron en los primeros instantes del universo y que llegan a la Tierra hoy en día forman nuestro horizonte de partícula, que define la frontera de nuestro universo observable. Como nota al margen, tened en cuenta que el universo completo podría ser más grande (incluso infinito) que el observable, pero no necesariamente. Podríamos estar viviendo en un universo de topología compacta (como la superficie de un globo) y la luz emitida por una galaxia distante podría llegarnos desde diferentes direcciones. Por ejemplo, una directa y otra después de dar la vuelta a todo el universo. Por lo tanto, lo que consideramos diferentes galaxias serían copias de la misma galaxia en diferentes etapas de su evolución. De hecho, ¡podríamos incluso ver el sistema solar en una época anterior!

Debido a que el universo ha existido durante un tiempo finito (alrededor del 14000 millones de años), la respuesta inmediata sería que el horizonte de partículas está a esa distancia: a 14000 millones de años luz. Pero esto no es cierto principalmente por dos razones diferentes. Por un lado, nuestro universo se
está expandiendo, por lo que las fuentes que emitieron los rayos de luz durante los momentos iniciales del universo están más lejos, a unos 46000 millones de años-luz. Por otro lado, al principio del universo la temperatura era tan alta que los átomos o incluso los protones o neutrones no podían formarse de manera estable. El estado de la materia era un plasma de partículas elementales libres, en el que los fotones tendían a interactuar con mucha facilidad. El recorrido libre medio de un fotón era muy corto, ya que inmediatamente era absorbido por alguna de las partículas. En consecuencia, el universo era opaco a la luz, por lo que ninguno de los fotones emitidos en aquella época ha podido llegar hasta nosotros. El universo se hizo transparente unos 380000 años después del Big Bang, durante la llamada época de recombinación (cuando los átomos de hidrógeno comenzaron a formarse), y los fotones emitidos en este periodo forman lo que se conoce como el Fondo Cósmico de Microondas (FCM). Este es el suceso más cercano al Big Bang que hoy podemos observar con nuestros telescopios. En principio, dependiendo de la evolución de la tecnología, en el futuro podría ser posible detectar también el fondo de neutrinos y el de ondas gravitacionales. Estos fueron emitidos antes de que los fotones del FCM ya que los neutrinos y las ondas gravitacionales podían viajar a través del mencionado plasma sin demasiada interacción. El FCM ha sido analizado mediante satélites muy sofisticados, como el WMAP, y sabemos que es muy homogéneo. Tiene un espectro de cuerpo negro casi perfecto con el máximo en una frecuencia de microondas correspondiente a una temperatura de 2.7 K. Las pequeñas inhomogeneidades que se observan en el FCM son las semillas de las grandes estructuras de nuestro universo actual.

Por otro lado, el FCM es uno de los pocos lugares donde uno podría buscar efectos de gravedad cuántica ya que las condiciones durante los primeros instantes del universo fueron muy extremas. La temperatura era tan alta que las energías de interacción entre partículas eran mucho más grandes de lo que podríamos lograr con cualquier acelerador. Pero hemos visto que los fotones del FCM fueron emitidos bastante después del Big Bang, alrededor de 380.000 años más tarde. Cosmológicamente este tiempo es insignificante. (Si hacemos una analogía y pensamos que el universo es una persona de edad media de 50 años, esto correspondería a 12 horas.) Sin embargo, en ese momento el universo ya se había enfriado y la curvatura era lo suficientemente baja de tal manera que, en principio, las ecuaciones clásicas de Einstein de la relatividad general deberían ser una muy buena aproximación para describir su evolución durante esta etapa. Por lo tanto, ¿por qué creemos que puede ser posible observar los efectos de gravedad cuántica en el FCM? En este punto, el escenario inflacionario entra en juego.

Según el modelo cosmológico estándar, alrededor de 10^(-36) segundos después del Big Bang, el universo pasó por una fase inflacionaria que produjo un enorme aumento de su tamaño. En un instante de tiempo muy corto (unos pocos 10^(-32) segundos) el volumen se multiplicó por un factor 10^78. Pensad por un momento en el increíble tamaño de este número: ¡una habitación normal pasaría a tener al tamaño del universo
observable!

En la década de los 1980 Alan Guth introdujo este mecanismo inflacionario con el fin de abordar varios aspectos conceptuales sobre los inicios del universo como, por ejemplo, por qué nuestro universo (y en particular el FCM) es tan homogéneo. Nótese que el FCM está compuesto por puntos que están muy lejos entre sí que, en un modelo sin inflación, no podrían haber tenido ningún tipo de interacción o intercambio de información durante toda la historia del universo. Por el contrario, de acuerdo con la teoría inflacionaria, todos estos puntos estuvieron juntos en algún momento en el pasado, lo que les habría permitido alcanzar este equilibrio térmico. Además, la inflación ha tenido un gran éxito y ha demostrado ser mucho más útil de lo que originalmente se esperaba. En este marco, los valores observacionales de las pequeñas inhomogeneidades de la FCM se reproducen con gran precisión. Veamos con más detalle cómo se obtiene este resultado.

En los modelos habituales de inflación se considera la existencia de una partícula escalar (llamada inflatón) en los inicios del universo. Se supone que el inflatón tiene un potencial muy grande, pero plano. Durante la época inflacionaria va perdiendo energía potencial poco a poco (o, como se suele decir, rueda lentamente por su potencial), y produce la expansión exponencial del universo. Al final de este proceso la energía potencial del inflatón es aún bastante grande. Debido a que actualmente no se observa la presencia de dicha partícula, se suele argumentar que después de la inflación, durante la época del recalentamiento, toda esta energía potencial se convirtió en partículas "normales" (del modelo estándar). Aún así todavía no se entiende muy bien
este proceso.

También se suele suponer que al comienzo de inflación las fluctuaciones cuánticas del inflatón (y de los diferentes objetos matemáticos que describen la geometría del universo) estaban en un estado de vacío. Este vacío cuántico no es un objeto estático y simple, como se podría pensar a priori. Al contrario, es una entidad muy dinámica y compleja. Debido al principio de incertidumbre de Heisenberg, las leyes de la física (como la conservación de la energía) pueden ser violadas durante pequeños instantes de tiempo. Este hecho se conoce bien en la teoría cuántica de campos y sucede fundamentalmente porque la naturaleza no permite realizar observaciones durante un tiempo tan corto. Por lo tanto, en el vacío cuántico se da una creación constante de partículas virtuales que, en condiciones normales, son aniquiladas antes de que puedan ser observadas. Sin embargo, la expansión del universo convierte estas partículas virtuales en entidades reales. Intuitivamente se puede pensar que una partícula virtual y su correspondiente antipartícula se crean pero, antes de que
puedan interactuar de nuevo para desaparecer, la expansión inflacionaria del universo las separa tanto que la interacción mutua ya no es posible. Estas pequeñas fluctuaciones cuánticas iniciales, amplificadas a través del proceso de inflación, producen las inhomogeneidades del FCM que observamos. De esta manera, la inflación es una especie de lupa que nos permite tener acceso experimental a los procesos que ocurrieron a escalas muy pequeñas y, por lo tanto energías grandes, donde los efectos de gravedad cuántica podrían haber sido significativos.

Por otro lado, la cosmología cuántica de lazos (CCL) es una teoría cuántica de la gravedad que describe la evolución de nuestro universo bajo los supuestos habituales de homogeneidad e isotropía . Las predicciones de la CCL coinciden con los de la relatividad general en las regiones de curvatura baja. Esto incluye la
totalidad de la historia del universo con excepción de los momentos iniciales. Según la relatividad general el principio del universo ocurrió en el Big Bang, lo que no es un nombre muy apropiado. El Big Bang no tiene nada que ver con una explosión, es un suceso abrupto donde repentinamente surge el continuo espacio-tiemporal. Técnicamente a este punto se le llama una singularidad, donde los diferentes objetos matemáticos que describen la curvatura del espacio-tiempo son divergentes. De esta manera, aquí no se puede aplicar la relatividad general y, como se suele afirmar, la teoría contiene las semillas de su propia destrucción. La CCL suaviza esta singularidad teniendo en cuenta los efectos de gravedad cuántica y el Big Bang es reemplazado por un rebote cuántico (el llamado Big Bounce). De acuerdo con el nuevo paradigma, el universo ya existía antes del Big Bounce como un universo clásico en colapso. Cuando la densidad de energía se hizo demasiado grande, entró en esta región altamente cuántica, donde los efectos de gravedad cuántica vienen con el signo correcto de tal manera que la gravedad pasa a ser repulsiva. Esto provocó que el universo rebotase y comenzase la expansión que actualmente observamos.

El objetivo de la charla de Will es el estudio del escenario inflacionario en el contexto de la CCL y la obtención de sus predicciones para las inhomogeneidades del FCM. De hecho, Abhay Ashtekar y David Sloan ya mostraron que la inflación es natural en la CCL. Esto significa que no es necesario elegir condiciones  niciales muy especiales para obtener una fase inflacionaria. Pero todavía hay varias cuestiones que deben
abordarse, en particular si pueden existir efectos observables debido a la evolución preinflacionaria del universo.

Como ya hemos mencionado, en los modelos cosmológicos habituales el estado inicial se toma como el denominado vacío de Bunch-Davies en el inicio de inflación. Este tiempo puede resultar muy arbitrario. El punto natural para elegir las condiciones iniciales sería el Big Bang, pero esto no es factible ya que es
un punto singular donde las ecuaciones de movimiento ya no son válidas. En cualquier caso, la visión más extendida ha sido que, incluso si hubiera algunas partículas presentes en el inicio de inflación, la enorme expansión del universo las diluiría y por lo tanto el perfil final del FCM no se vería afectado. Sin embargo, recientemente Iván Agulló y Leonard Parker demostraron que la presencia de tales partículas iniciales sí que importa para el resultado final, ya que produce la llamada emisión estimulada: las partículas iniciales producen más partículas, que a su vez producen más partículas y así sucesivamente. De hecho, este es el mismo proceso en el que se basan los ampliamente utilizados dispositivos láseres de hoy en día.

Al contrario que en los modelos habituales basados ​​en relatividad general, la CCL ofrece un punto especial donde se pueden elegir condiciones iniciales adecuadas: el Big Bounce. Por lo tanto, en esta investigación, el estado de vacío correspondiente se elige en ese momento. Los resultados preliminares presentados en la charla parecen muy prometedores. El estado inicial más simple es consistente con los datos experimentales pero, al mismo tiempo, difiere ligeramente del espectro de FCM obtenido mediante los modelos anteriores. Estos resultados se han obtenido bajo ciertas aproximaciones técnicas de modo que el siguiente paso de la investigación será entender si dicha desviación es realmente física. Si es así, esto podría proporcionar un test de observación directa para la CCL que nos enseñaría lecciones muy valiosas
acerca del régimen cuántico profundo del universo primitivo.