Title: Spectral dimension of quantum geometries
PDF of the talk (1MB) Audio [.wav 39MB] Audio [.aif 4.1MB]
Por Francesco Caravelli, University College London
Antes de comentar sobre los resultados obtenidos por los autores del trabajo discutido en el seminario (Calcagni, Oriti, Thueringen 2013), demos primero un paso atrás por un segundo e introduzcamos el concepto de dimensión fractal, que es relevante para esta discusión.
El concepto de dimensión no entera fue introducido por el matemático Benoit Mandelbrot hace medio siglo. ¿A qué se debe todo el alboroto acerca de fractales y complejidad? ¿Cuál es su relación con los espacio-tiempos, en particular los cuánticos?
Todo comienza con una pregunta aparentemente simple que planteo el Mandelbrot: ¿Cuál es la longitud de la costa de Inglaterra (o más precisamente, Cornwall)? Resulta ser que la longitud de la costa de Inglaterra depende de la lente usada para aumentar el mapa de la costa, y dependiendo del aumento, la longitud cambia con una regla bien definida, conocida como escaleo, que explicaremos en breve.
Hay varias definiciones de dimensión fractal, pero mantengamos las cosas lo más simples posibles y veamos por que un espacio-tiempo granular pueda de hecho tener dimensiones distintas a distintas escalas (es decir, el aumento de nuestra lente). El caso más sencillo es el de un retículo regular cuadrado, que para mayor claridad consideramos infinito en cada dirección.
Imagen: Manny Lorenzo
La dimensión del retículo puede parecer bidimensional, si el retículo es plano: se lo puede embeber en una superficie bidimensional (es por ello que se la llama dimensión de embebido). Sin embargo si tomamos cualquier punto del retículo y contamos cuantos puntos están a una distancia “d” del mismo, veremos que el número de puntos crece con una ley de escaleo, dada por*:
N~ d^gamma
Si d no es muy grande, el valor de gamma cambia si la estructura subyacente no es un continuo, o si es granular, y gama puede tomar valores no enteros. Esto se puede interpretar de varias maneras. Para el caso de fractales, esto implica que la dimensión real de los mismos no es entera. Análogamente al caso del numero de puntos dentro de una distancia d, es posible definir una operación de difusión que hará el trabajo de conteo para nosotros: cómo se mueven un enjambre de partículas en el espacio-tiempo subyacente. Este es un punto crucial del procedimiento.
En el continuo, la tecnología es tal que se puede mostrar que un operador tal puede ser definido en forma precisa**. El problema es que el escaleo no es preciso: por tiempos muy largos la relación de escala no es exacta (dado que efectos de curvatura pueden contribuir). Así, el tiempo dado a las partículas para su difusión tiene que ser sintonizado apropiadamente. Esto es lo que los autores discuten en la sección 2 del trabajo discutido en el seminario., y es un procedimiento estándar en el contexto de la dimensión espectral. Por supuesto, lo discutido hasta el momento es válido para difusión clásica, pero el operador se puede definir para difusión cuántica también, la cual esta descripta en términos de una evolución de Schrödinger unitaria como en mecánica cuántica usual.
Es importante entender que la descripción combinatoria de una variedad (como las mismas son representadas en un contexto discreto), en lugar de la geometría real, juega un rol muy relevante. Si uno calcula la dimensión fractal de estos retículos, si bien a gran escala da la dimensión fractal correcta, a pequeñas escalas no lo hace. Esto muestra que de hecho la discretitud tiene un efecto en la dimensión espectral, y que los resultados dependen del numero de dimensiones. Pero más importantemente, los autores observan que la dimensión espectral, aun en el caso clásico, depende de la naturaleza precisa de la seudo variedad subyacente, esto es, de cómo esta discretizada. Si uno combina esto con el hecho de que la dimensión fractal es hasta este punto el observable global que dice en cuantas dimensiones uno vivo (concepto muy importante para otros enfoques de altas energías), el interés bien puede estar justificado.
El caso de una geometría cuántica, considerada usando gravedad cuántica de lazos (LQG por las iniciales en inglés de Loop Quantum Gravity) se discute sobre el final. La definición es distinta de una dada anteriormente (Modesto 2009, suponiendo que el escaleo esta dado por el operador de área de LQG) y lleva a resultados distintos.
Sin entrar en los detalles (descriptos muy claramente en el trabajo), probablemente es útil anticipar los resultados y explicar las dificultades encontradas en el cálculo. La primer complicación viene del cálculo en si mismo: es muy difícil calcular la dimensión fractal en el caso completamente cuántico. Sin embargo, en la aproximación semiclásica (donde la geometría es parte clásica y parte cuántica) se puede ignorar la parte “cuántica. El siguiente punto es que, para poder decir que una dimensión topológica clara emerge, la dimensión fractal debe ser constante para un amplio rango de distancias de varios órdenes de magnitud. Es importante decir que, si uno usa la dimensión fractal como definición de dimensión, no es posible asignar una dimensionalidad dada a menos que el numero de puntos en consideración sea lo suficientemente grande. Esta es una propiedad de la dimensión fractal que es muy importante para la gravedad cuántica de lazos en muchos respectos, dado que ha habido una larga discusión de cual es la descripción apropiada del espacio-tiempo clásico y cuántico. Aun así este enfoque da la posibilidad de una definición de dimensión de abajo hacia arriba (si se hiciera de arriba a bajo no habría ningún flujo dimensional).
No comments:
Post a Comment