Derek Wise, FAU Erlangen
Title: Holographic special relativity: observer space from conformal geometry
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por Sean Gryb, Radboud University
Introducción
En la mitología romana, Jano era el dios de los pasajes, transiciones y el tiempo, cuyas dos distintas caras se suelen mostrar mirando en direcciones opuestas, como si haciendo de puente entre dos regiones (o épocas) diferentes del universo. El termino “cara de Jano” se ha convertido en la descripción de una persona o cosa que simultáneamente representa dos facetas polarizadas, y la cabeza de Jano ha venido a representar estas dos distintas facetas en una.
En este seminario (basado en el trabajo [1]), Derek Wise explora la posibilidad de que el espacio-tiempo en si mismo tenga una “cara de Jano”. Explora la intrigante relación entre la estructura del espacio-tiempo que se expande y la descripción invariante de escala de la esfera. Lo que encuentra es una relación matemática que provee un puente entre estas dos caras de Jano que representan de distinta manera el universo. El puente es notablemente parecido a la imagen de la realidad propuesta por el principio holográfico, y en particular la correspondencia AdS/CFT donde, por un lado, esta la descripción usual de espacio-tiempo de los eventos y, por otro lado, hay una manera de codificar estos eventos en la frontera tridimensional del espacio-tiempo.
Aparte de proveer una alternativa al espacio-tiempo, la descripción de Derek puede ayudar a iluminar las estructuras mas profundas que yacen detrás de una formulación reciente de la relatividad general (RG), llamada Dinámica de las Formas, a la que volveremos al final de este articulo. Para empezar, tratemos de explicar los resultados de Derek dando primero una descripción de los aspectos del espacio-tiempo de una cara de Jano y luego describamos como se puede establecer un vínculo a una cara completamente distinta, la cual veremos es una descripción de los eventos del universo que es completamente independiente de cualquier noción de escala. Los puntos centrales de la discusión están resumidos hermosamente en la descripción de Jano dada mas abajo, debida a Marc Ngui, que ha provisto las imágenes de este articulo. El diagrama muestra como los eventos vistos por los observadores en el espacio-tiempo pueden ser descriptos por información en la frontera (más sobre este punto más adelante). Sugerimos al lector revisitar esta imagen dado que sus elementos principales se explican progresivamente a lo largo del texto.
Relatividad, Observadores y Espacio-Tiempo
En 1908 Hermann Minkowski hizo un gran descubrimiento: la nueva teoría de Einstein de la relatividad especial podía ser presentada en un marco muy hermoso, uno que Minkowski reconoció como una especie de unión del espacio y el tiempo. En sus propias palabras: “el espacio por si mismo, y el tiempo por si mismo, están condenados a desaparecer en meras sombras, y solo una especie de unión entre los dos preservará una realidad independiente” [2]. Para entender lo que Minkowski quiso decir, retrotraigámonos a 1904-1905 para revisitar los descubrimientos que dieron lugar a la revolución de Minkowski.La relatividad tiene que ver con como distintos observadores organizan la información acerca de “cuándo” y “dónde” tienen lugar los eventos. Einstein se dio cuenta que este sistema de organizaciones debe tener dos propiedades: i) debe operar de la misma manera para todo observador y ii) debe involucrar un conjunto de reglas que permite a distintos operadores comparar consistentemente información acerca de los mismos eventos. Esto quiere decir que distintos observadores no necesariamente están de acuerdo sobre dónde y cuándo un particular evento tuvo lugar, pero necesitan estar de acuerdo sobre cómo comparar la información recolectada por distintos observadores. Einstein expresó este requerimiento en su principio de relatividad, al que le dio importancia primaria entre las teorías físicas. El punto central es que la relatividad es fundamentalmente una afirmación sobre observadores y cómo los mismos recolectan y comparan información acerca de eventos. La concepción de Minkowski del espacio-tiempo viene después, y lo hace a través de propiedades matemáticas específicas de las reglas usadas para recolectar y comparar la información relevante.
Para tratar de entender como funciona el espacio-tiempo, usaremos una versión ligeramente más moderna de espacio-tiempo que la que usó Minkowski – una con todas las mismas propiedades esenciales que la original, pero que puede acomodar la observada acelerada expansión del espacio. Este tipo de espacio-tiempo fue estudiado por primera ves por Willem de Sitter, y se conoce como espacio-tiempo de de Sitter (dS). Tiene la forma básica mostrada por la grilla azul en la imagen de Jano mostrada mas arriba. Debido a que este espacio es curvo, es más conveniente describirlo poniéndolo en un espacio tiempo de mayor dimensión (así como la superficie bidimensional de una esfera descripta en un espacio tridimensional). Esto quiere decir que podemos etiquetar eventos en este espacio-tiempo por cinco números, cuatro componentes espaciales que llamamos (x, y, z, w) y una componente temporal, t, que obedecen la relación,
Esta restricción (que sirve como la definición de este espacio-tiempo) quiere decir que las cuatro componentes espaciales no son todas independientes. De hecho, el vínculo presentado más arriba elimina una componente independiente, dejando las tres direcciones espaciales que conocemos y amamos. El parámetro ℓ esta relacionado con la constante cosmológica y determina que tan rápido se expande el espacio. Ajustar su valor cambia la forma del espacio-tiempo como se ilustra en la siguiente figura.
El espacio-tiempo del medio en azul representa el típico espacio dS. Aumentando el parámetro ℓ reduce la tasa de expansión asi que si ℓ → ∞, el espacio-tiempo apenas se expande en lo absoluto y se parece mas al cilindro púrpura de la derecha. El extremo opuesto, cuando ℓ → 0 es el cono de luz amarillo, que se llama así porque el espacio esta expandiéndose a su tasa máxima: la velocidad de la luz. Este limite extremo será muy importante para nuestras consideraciones más tarde. Si bien este modelo de espacio-tiempo es dramáticamente simple, describe sorprendentemente en buena aproximación dos importantes fases de nuestro universo real: i) el período de expansión exponencial (o inflación), que se cree tuvo lugar en el universo temprano y ii) el presente y el futuro próximo. Observadores diferentes comparan las etiquetas que les atribuyen a cada evento llevado a cabo transformaciones que dejan la forma de (1), y por ende la forma del espacio-tiempo, invariante. Debido a esta propiedad, estas transformaciones constituyen simetrías del espacio-tiempo de dS. Dado que las transformaciones que observadores reales deben usar para compara información sobre eventos reales corresponde a simetrías del espacio-tiempo, no es de sorprender que la noción de espacio-tiempo tenga una influencia profunda en la percepción de la realidad de los físicos. Sin embargo, veremos en seguida que estas reglas pueden ser reformuladas de manera que cuentan una historia distinta de lo que pasa.
La cara de Jano del espacio-tiempo
Veremos ahora como las simetrías del espacio-tiempo de dS pueden ser re-escritas en términos de simetrías que preservan ángulos, pero no necesariamente distancias en el espacio. En particular toda la información acerca de la escala se elimina. En matemática se las conoce como simetrías conformes. Esto quiere decir que distintos observadores tendrán una elección cuando analizan información que recolectan acerca de eventos: o se imaginan que estos eventos tienen lugar en el espacio-tiempo de dS, y consecuentemente están relacionadas por las simetrías de dS; o pueden imaginar que estos eventos representan información que puede ser expresada en términos de ángulos (y no de longitudes), y consecuentemente están relacionadas por simetrías conformes.Para entender como puede ser esto, consideremos el futuro muy distante y el pasado muy distante: donde el espacio de dS y el cono de luz casi se encuentran. Esta región extrema es conocida como la esfera conforme porque es una esfera y también porque es donde las simetrías de dS corresponden a simetrías conformes.
De hecho cualquier sección del cono de luz formada cortándolo con un plano espacial (como se ilustra en el diagrama de más abajo) es un representante distinto de la esfera conforme dado que estas distintas secciones estarán en desacuerdo en distancias pero estarán de acuerdo en ángulos. Aunque la intersección parezca un circulo (representado en verde oscuro), es de hecho una esfera tridimensional porque hemos eliminado dos de las dimensiones espaciales (porque no las podemos dibujar en un plano bidimensional).
Para ver como eventos en esta esfera tridimensional pueden representarse en forma invariante de escala en un plano tridimensional, podemos usar una técnica conocida como proyección estereográfica. La misma se usa frecuentemente para dibujar mapas donde la Tierra redonda tiene que ser dibujada en un mapa plano. Una de sus propiedades más importantes, que preserva ángulos, implica que mapas dibujados de esta manera son útiles para navegar dado que un ángulo en el mapa corresponde al mismo ángulo en la Tierra. Es precisamente esta propiedad de la proyección estereográfica la que la hace útil para nosotros aquí.
Para llevar a cabo una proyección estereográfica, imagina elegir un punto de la esfera, que podemos interpretar como la locación de un observador en la esfera (representado por un ojo en el diagrama de más abajo), y llamemos a este punto el Polo Sur. Ahora imagina que pones una luz en el Polo Norte y la dejas iluminar todo el espacio en el que la esfera ha sido dibujada. Supongamos que nuestra esfera está llena de puntos. Entonces la sombra de estos puntos formara una imagen en el plano tangente a la esfera en el Polo Sur. La figura de abajo ilustra lo que pasa. Puntos de la esfera son representados por estrellas y los rayos amarillos indican como su imagen se forma en el plano.
Es un ejercicio matemático relativamente sencillo mostrar que las simetrías del cono de luz representan transformaciones en el plano que pueden cambiar el tamaño de la imagen, pero preservaran los ángulos entre los puntos. Así, las simetrías del cono pueden entenderse en términos de las simetrías conformes de este plano.
Si ahora movemos nuestra sección más hacia el futuro o el pasado, entonces el espacio-tiempo de dS comienza a parecerse más y más al cono de luz. Así, si queremos representar eventos arbitrarios en el espacio-tiempo de dS por información impresa en dos secciones en el infinito futuro y el infinito pasado entonces estos eventos pueden ser representados en términos de las imágenes que inducen en los planos proyectados, y habremos alcanzado nuestro objetivo.
Hay una manera simple de hacer esto. Imagina que tomamos, como en la figura de abajo, un evento arbitrario del espacio-tiempo de dS y dibujamos todos los eventos en el pasado distante que puedan afectar cosas que pasan en dicho evento (esta región es una porción finita de la sección esférica porque ninguna perturbación puede viajar más rápido que la luz). El resultado es una región bidimensional esférica, llamada el horizonte de partícula indicado por las regiones rojas del diagrama de abajo, que crece sostenidamente en el tiempo. Puedes pensar esta región como la porción del espacio-tiempo de dS que es visible desde un lugar particular. De hecho, puedes usar el tamaño relativo de esta región como una indicación del tiempo en el cual ocurre el evento. Dado que esta es una noción de tiempo que existe solamente en términos de cantidades definidas en el pasado distante, transformara bajo transformaciones conformes. Para dar una idea de cómo se ve esto, el movimiento de un observador de un punto en el pasado distante a un nuevo punto en el futuro distante se representa por una serie de esferas concéntricas, comenzando en el punto inicial y expandiéndose hacia fuera hasta eventualmente cubrir la esfera completa. El diagrama de abajo muestra como funciona esto. Las diferentes regiones (a,b,c,d) representan regiones progresivamente crecientes correspondiendo a tiempos progresivamente mas tardíos.
De esta manera puedes mapear información sobre eventos del espacio-tiempo dS a información en la esfera conforme. En otras palabras, la imagen de la realidad que uno obtiene de la teoría de la Relatividad Especial de Einstein es una historia que puede contarse en dos maneras muy distintas. En la primera, hay eventos que trazan las historias en el espacio-tiempo. “Dónde” y “cuándo” un evento particular tiene lugar depende de quien eres y la información de esto eventos puede ser transformada de un observador a otro vía las simetrías globales del espacio-tiempo. En la nueva manera de ver las cosas, es la información sobre ángulos la que es importante. “Dónde” y “qué tan grande” son las cosas depende de tu punto de vista y la información sobre eventos particulares puede ser transformada de un observador a otro usando transformaciones conformes.
De la Relatividad Especial a la General
Acabamos de describir cómo relacionar dos visiones muy diferentes de cómo observadores pueden recolectar información sobre el mundo. Hasta ahora solamente hemos considerado espacios homogéneos, es decir esos que se ven igual en todos los lugares. La clase de observadores que pudimos considerar fue por consiguiente muy restrictiva. Fue la perspicacia de Einstein reconocer que la misma maquinaria matemática necesaria para describir eventos vistos por observadores arbitrarios podía ser usada para estudiar las propiedades de la gravedad. La maquinaria en cuestión es una generalización de la geometría de Minkowski, que lleva el nombre de Riemann.Para describir la geometría Riemanniana, es más fácil primero describir una generalización de la misma (que necesitaremos más tarde de todos modos) y luego mostrar como la geometría Riemanniana es solamente un caso particular. La generalización en cuestión es llamada la geometría de Cartan en honor al gran matemático Elie Cartan. El tuvo la idea de construir geometrías curvas generales modelándolas con espacios homogéneos. Los espacios más generales se construyen moviendo estos espacios homogéneos en ciertas formas específicas. La geometría en si está definida por el conjunto de reglas que uno necesita para comparar vectores después de mover los espacios homogéneos. Estas reglas se dividen en dos tipos distintos: aquellas que cambian el punto de contacto entre el espacio homogéneo y el espacio general curvado y aquellas que no lo hacen. Estos movimientos están ilustrados para el caso donde el espacio homogéneo es una esfera bidimensional en el diagrama de abajo.
Los movimientos que no cambian el punto de contacto (en el caso de arriba, el correspondiente a girar alrededor del punto de contacto sin rodar) constituyen las simetrías locales de la geometría y pueden, por ejemplo, corresponder a lo que diferentes observadores locales ven (en este caso, observadores rotantes versus observadores estacionarios) cuando ven objetos de la geometría. Einstein exploto este tipo de estructura para implementar su principio de relatividad general descripto más arriba. Los movimientos que cambian el punto de contacto (en el caso de arriba, esto quiere decir rodar la bola sin que se deslice) dan información acerca de la geometría curva del espacio general. Einstein utilizó un caso especial de geometría de Cartan, que es la geometría Riemanniana donde el espacio homogéneo es el espacio de Minkowski. El luego explotó el análogo de la estructura recién descripta para explicar el viejo fenómeno de una manera nueva: la gravedad. En el proceso, produjo una de las más radicales y exitosas teorías de la física: la Relatividad General. La figura siguiente muestra cómo los diferentes tipos de geometría que hemos discutido se relacionan entre si.
Ahora, consideremos lo que pasa cuando sustituimos, como lo hicimos en la sección anterior, el espacio-tiempo plano de Minkowski por el curvo, pero aún homogéneo de de Sitter. Todavía podemos describir la gravedad, pero de una manera que naturalmente incluye una constante cosmológica. Aún así la esfera conforme es también un espacio homogéneo. Mas aún, como describimos antes, las simetrías de este espacio homogéneo pueden ser relacionadas a las simetrías de dS. Esto sugiere que puede ser posible describir la gravedad en términos de una geometría de Cartan modelada en la esfera conforme.
De la esfera conforme a la dinámica de las formas?
Las geometrías de Cartan modeladas en la esfera conforme se llaman geometrías conformes porque las simetrías locales de estas geometrías preservan ángulos y no la escala. Aunque hemos descripto un procedimiento relacionando el espacio modelo de las geometrías conformes al espacio-tiempo modelo con una constante cosmológica, es una cuestión muy distinta re-escribir la gravedad en términos de la geometría conforme. Esto es, en parte, porque las leyes gobernando la geometría del espacio-tiempo son complicadas y, en parte, porque nuestra prescripción para relacionar los espacios modelos no es directa, dado que relaciona cantidades locales en el espacio-tiempo a cantidades no locales en el futuro y pasado infinito. Aun así, esta posibilidad entusiasmante provee una interesante línea de investigación futura. Más aún, hay otras indicaciones de que tal descripción es posible.Usando métodos muy distintos, es posible mostrar que la Relatividad General es dual a una teoría de la evolución de una geometría conforme [3]. Sin embargo, el tipo de geometría conforme usada en esta deducción no ha sido aún escrita en términos de geometrías de Cartan (que hacen uso de estructuras ligeramente distintas). Esta nueva manera de describir la gravedad, llamada la Dinámica de las Formas, quizá hace uso de la interesante relación entre las simetrías del espacio-tiempo y las simetrías conformes descriptas aquí. El entender exactamente la naturaleza de la geometría conforme en la Dinámica de las Formas y su relación al espacio-tiempo puede ser valiosa al ser capaz de entender esta nueva manera de describir la gravedad. ¿Quizá hasta pueda ser una ventana al entender cómo debe funcionar la teoría cuántica de la gravedad?
• [1] D. K. Wise, Holographic Special Relativity, arXiv:1305.3258 [hep-th].
• [2] H. Minkowski, The Principle of Relativity: A Collection of Original Memoirs on the Special and General Theory of Relativity, ch. Space and Time, pp. 75–91. New York: Dover, 1952.
• [3] H. Gomes, S. Gryb, and T. Koslowski, Einstein gravity as a 3D conformally invariant theory, Class. Quant. Grav. 28 (2011) 045005, :1010.2481 [gr-qc].
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