Relatividad especial holográfica: geometría dependiente del observador

Derek Wise, FAU Erlangen
Title: Holographic special relativity: observer space from conformal geometry 
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por Sean Gryb, Radboud University

Introducción

En la mitología romana, Jano era el dios de los pasajes, transiciones y el tiempo, cuyas dos distintas caras se suelen mostrar mirando en direcciones opuestas, como si haciendo de puente entre dos regiones (o épocas) diferentes del universo. El termino “cara de Jano” se ha convertido en la descripción de una persona o cosa que simultáneamente representa dos facetas polarizadas, y la cabeza de Jano ha venido a representar estas dos distintas facetas en una.

En este seminario (basado en el trabajo [1]), Derek Wise explora la posibilidad de que el espacio-tiempo en si mismo tenga una “cara de Jano”. Explora la intrigante relación entre la estructura del espacio-tiempo que se expande y la descripción invariante de escala de la esfera. Lo que encuentra es una relación matemática que provee un puente entre estas dos caras de Jano que representan de distinta manera el universo. El puente es notablemente parecido a la imagen de la realidad propuesta por el principio holográfico, y en particular la correspondencia AdS/CFT donde, por un lado, esta la descripción usual de espacio-tiempo de los eventos y, por otro lado, hay una manera de codificar estos eventos en la frontera tridimensional del espacio-tiempo.

Aparte de proveer una alternativa al espacio-tiempo, la descripción de Derek puede ayudar a iluminar las estructuras mas profundas que yacen detrás de una formulación reciente de la relatividad general (RG), llamada Dinámica de las Formas, a la que volveremos al final de este articulo. Para empezar, tratemos de explicar los resultados de Derek dando primero una descripción de los aspectos del espacio-tiempo de una cara de Jano y luego describamos como se puede establecer un vínculo a una cara completamente distinta, la cual veremos es una descripción de los eventos del universo que es completamente independiente de cualquier noción de escala. Los puntos centrales de la discusión están resumidos hermosamente en la descripción de Jano dada mas abajo, debida a Marc Ngui, que ha provisto las imágenes de este articulo. El diagrama muestra como los eventos vistos por los observadores en el espacio-tiempo pueden ser descriptos por información en la frontera (más sobre este punto más adelante). Sugerimos al lector revisitar esta imagen dado que sus elementos principales se explican progresivamente a lo largo del texto.

Relatividad, Observadores y Espacio-Tiempo

En 1908 Hermann Minkowski hizo un gran descubrimiento: la nueva teoría de Einstein de la relatividad especial podía ser presentada en un marco muy hermoso, uno que Minkowski reconoció como una especie de unión del espacio y el tiempo. En sus propias palabras: “el espacio por si mismo, y el tiempo por si mismo, están condenados a desaparecer en meras sombras, y solo una especie de unión entre los dos preservará una realidad independiente” [2]. Para entender lo que Minkowski quiso decir, retrotraigámonos a 1904-1905 para revisitar los descubrimientos que dieron lugar a la revolución de Minkowski.

La relatividad tiene que ver con como distintos observadores organizan la información acerca de “cuándo” y “dónde” tienen lugar los eventos. Einstein se dio cuenta que este sistema de organizaciones debe tener dos propiedades: i) debe operar de la misma manera para todo observador y ii) debe involucrar un conjunto de reglas que permite a distintos operadores comparar consistentemente información acerca de los mismos eventos. Esto quiere decir que distintos observadores no necesariamente están de acuerdo sobre dónde y cuándo un particular evento tuvo lugar, pero necesitan estar de acuerdo sobre cómo comparar la información recolectada por distintos observadores. Einstein expresó este requerimiento en su principio de relatividad, al que le dio importancia primaria entre las teorías físicas. El punto central es que la relatividad es fundamentalmente una afirmación sobre observadores y cómo los mismos recolectan y comparan información acerca de eventos. La concepción de Minkowski del espacio-tiempo viene después, y lo hace a través de propiedades matemáticas específicas de las reglas usadas para recolectar y comparar la información relevante.

 Para tratar de entender como funciona el espacio-tiempo, usaremos una versión ligeramente más moderna de espacio-tiempo que la que usó Minkowski – una con todas las mismas propiedades esenciales que la original, pero que puede acomodar la observada acelerada expansión del espacio. Este tipo de espacio-tiempo fue estudiado por primera ves por Willem de Sitter, y se conoce como espacio-tiempo de de Sitter (dS). Tiene la forma básica mostrada por la grilla azul en la imagen de Jano mostrada mas arriba. Debido a que este espacio es curvo, es más conveniente describirlo poniéndolo en un espacio tiempo de mayor dimensión (así como la superficie bidimensional de una esfera descripta en un espacio tridimensional). Esto quiere decir que podemos etiquetar eventos en este espacio-tiempo por cinco números, cuatro componentes espaciales que llamamos (x, y, z, w) y una componente temporal, t, que obedecen la relación,

x² + y² + z² + w² - t² = ℓ².    (1)
Esta restricción (que sirve como la definición de este espacio-tiempo) quiere decir que las cuatro componentes espaciales no son todas independientes. De hecho, el vínculo presentado más arriba elimina una componente independiente, dejando las tres direcciones espaciales que conocemos y amamos. El parámetro ℓ esta relacionado con la constante cosmológica y determina que tan rápido se expande el espacio. Ajustar su valor cambia la forma del espacio-tiempo como se ilustra en la siguiente figura.

El espacio-tiempo del medio en azul representa el típico espacio dS. Aumentando el parámetro ℓ reduce la tasa de expansión asi que si ℓ → ∞, el espacio-tiempo apenas se expande en lo absoluto y se parece mas al cilindro púrpura de la derecha. El extremo opuesto, cuando ℓ → 0 es el cono de luz amarillo, que se llama así porque el espacio esta expandiéndose a su tasa máxima: la velocidad de la luz. Este limite extremo será muy importante para nuestras consideraciones más tarde. Si bien este modelo de espacio-tiempo es dramáticamente simple, describe sorprendentemente en buena aproximación dos importantes fases de nuestro universo real: i) el período de expansión exponencial (o inflación), que se cree tuvo lugar en el universo temprano y ii) el presente y el futuro próximo. Observadores diferentes comparan las etiquetas que les atribuyen a cada evento llevado a cabo transformaciones que dejan la forma de (1), y por ende la forma del espacio-tiempo, invariante. Debido a esta propiedad, estas transformaciones constituyen simetrías del espacio-tiempo de dS. Dado que las transformaciones que observadores reales deben usar para compara información sobre eventos reales corresponde a simetrías del espacio-tiempo, no es de sorprender que la noción de espacio-tiempo tenga una influencia profunda en la percepción de la realidad de los físicos. Sin embargo, veremos en seguida que estas reglas pueden ser reformuladas de manera que cuentan una historia distinta de lo que pasa.

La cara de Jano del espacio-tiempo

Veremos ahora como las simetrías del espacio-tiempo de dS pueden ser re-escritas en términos de simetrías que preservan ángulos, pero no necesariamente distancias en el espacio. En particular toda la información acerca de la escala se elimina. En matemática se las conoce como simetrías conformes. Esto quiere decir que distintos observadores tendrán una elección cuando analizan información que recolectan acerca de eventos: o se imaginan que estos eventos tienen lugar en el espacio-tiempo de dS, y consecuentemente están relacionadas por las simetrías de dS; o pueden imaginar que estos eventos representan información que puede ser expresada en términos de ángulos (y no de longitudes), y consecuentemente están relacionadas por simetrías conformes.

Para entender como puede ser esto, consideremos el futuro muy distante y el pasado muy distante: donde el espacio de dS y el cono de luz casi se encuentran. Esta región extrema es conocida como la esfera conforme porque es una esfera y también porque es donde las simetrías de dS corresponden a simetrías conformes.

De hecho cualquier sección del cono de luz formada cortándolo con un plano espacial (como se ilustra en el diagrama de más abajo) es un representante distinto de la esfera conforme dado que estas distintas secciones estarán en desacuerdo en distancias pero estarán de acuerdo en ángulos. Aunque la intersección parezca un circulo (representado en verde oscuro), es de hecho una esfera tridimensional porque hemos eliminado dos de las dimensiones espaciales (porque no las podemos dibujar en un plano bidimensional).

Para ver como eventos en esta esfera tridimensional pueden representarse en forma invariante de escala en un plano tridimensional, podemos usar una técnica conocida como proyección estereográfica. La misma se usa frecuentemente para dibujar mapas donde la Tierra redonda tiene que ser dibujada en un mapa plano. Una de sus propiedades más importantes, que preserva ángulos, implica que mapas dibujados de esta manera son útiles para navegar dado que un ángulo en el mapa corresponde al mismo ángulo en la Tierra. Es precisamente esta propiedad de la proyección estereográfica la que la hace útil para nosotros aquí.

Para llevar a cabo una proyección estereográfica, imagina elegir un punto de la esfera, que podemos interpretar como la locación de un observador en la esfera (representado por un ojo en el diagrama de más abajo), y llamemos a este punto el Polo Sur. Ahora imagina que pones una luz en el Polo Norte y la dejas iluminar todo el espacio en el que la esfera ha sido dibujada. Supongamos que nuestra esfera está llena de puntos. Entonces la sombra de estos puntos formara una imagen en el plano tangente a la esfera en el Polo Sur. La figura de abajo ilustra lo que pasa. Puntos de la esfera son representados por estrellas y los rayos amarillos indican como su imagen se forma en el plano.

Es un ejercicio matemático relativamente sencillo mostrar que las simetrías del cono de luz representan transformaciones en el plano que pueden cambiar el tamaño de la imagen, pero preservaran los ángulos entre los puntos. Así, las simetrías del cono pueden entenderse en términos de las simetrías conformes de este plano.

Si ahora movemos nuestra sección más hacia el futuro o el pasado, entonces el espacio-tiempo de dS comienza a parecerse más y más al cono de luz. Así, si queremos representar eventos arbitrarios en el espacio-tiempo de dS por información impresa en dos secciones en el infinito futuro y el infinito pasado entonces estos eventos pueden ser representados en términos de las imágenes que inducen en los planos proyectados, y habremos alcanzado nuestro objetivo.

Hay una manera simple de hacer esto. Imagina que tomamos, como en la figura de abajo, un evento arbitrario del espacio-tiempo de dS y dibujamos todos los eventos en el pasado distante que puedan afectar cosas que pasan en dicho evento (esta región es una porción finita de la sección esférica porque ninguna perturbación puede viajar más rápido que la luz). El resultado es una región bidimensional esférica, llamada el horizonte de partícula indicado por las regiones rojas del diagrama de abajo, que crece sostenidamente en el tiempo. Puedes pensar esta región como la porción del espacio-tiempo de dS que es visible desde un lugar particular. De hecho, puedes usar el tamaño relativo de esta región como una indicación del tiempo en el cual ocurre el evento. Dado que esta es una noción de tiempo que existe solamente en términos de cantidades definidas en el pasado distante, transformara bajo transformaciones conformes. Para dar una idea de cómo se ve esto, el movimiento de un observador de un punto en el pasado distante a un nuevo punto en el futuro distante se representa por una serie de esferas concéntricas, comenzando en el punto inicial y expandiéndose hacia fuera hasta eventualmente cubrir la esfera completa. El diagrama de abajo muestra como funciona esto. Las diferentes regiones (a,b,c,d) representan regiones progresivamente crecientes correspondiendo a tiempos progresivamente mas tardíos.

 De esta manera puedes mapear información sobre eventos del espacio-tiempo dS a información en la esfera conforme. En otras palabras, la imagen de la realidad que uno obtiene de la teoría de la Relatividad Especial de Einstein es una historia que puede contarse en dos maneras muy distintas. En la primera, hay eventos que trazan las historias en el espacio-tiempo. “Dónde” y “cuándo” un evento particular tiene lugar depende de quien eres y la información de esto eventos puede ser transformada de un observador a otro vía las simetrías globales del espacio-tiempo. En la nueva manera de ver las cosas, es la información sobre ángulos la que es importante. “Dónde” y “qué tan grande” son las cosas depende de tu punto de vista y la información sobre eventos particulares puede ser transformada de un observador a otro usando transformaciones conformes.

De la Relatividad Especial a la General

 Acabamos de describir cómo relacionar dos visiones muy diferentes de cómo observadores pueden recolectar información sobre el mundo. Hasta ahora solamente hemos considerado espacios homogéneos, es decir esos que se ven igual en todos los lugares. La clase de observadores que pudimos considerar fue por consiguiente muy restrictiva. Fue la perspicacia de Einstein reconocer que la misma maquinaria matemática necesaria para describir eventos vistos por observadores arbitrarios podía ser usada para estudiar las propiedades de la gravedad. La maquinaria en cuestión es una generalización de la geometría de Minkowski, que lleva el nombre de Riemann.

Para describir la geometría Riemanniana, es más fácil primero describir una generalización de la misma (que necesitaremos más tarde de todos modos) y luego mostrar como la geometría Riemanniana es solamente un caso particular. La generalización en cuestión es llamada la geometría de Cartan en honor al gran matemático Elie Cartan. El tuvo la idea de construir geometrías curvas generales modelándolas con espacios homogéneos. Los espacios más generales se construyen moviendo estos espacios homogéneos en ciertas formas específicas. La geometría en si está definida por el conjunto de reglas que uno necesita para comparar vectores después de mover los espacios homogéneos. Estas reglas se dividen en dos tipos distintos: aquellas que cambian el punto de contacto entre el espacio homogéneo y el espacio general curvado y aquellas que no lo hacen. Estos movimientos están ilustrados para el caso donde el espacio homogéneo es una esfera bidimensional en el diagrama de abajo.

Los movimientos que no cambian el punto de contacto (en el caso de arriba, el correspondiente a girar alrededor del punto de contacto sin rodar) constituyen las simetrías locales de la geometría y pueden, por ejemplo, corresponder a lo que diferentes observadores locales ven (en este caso, observadores rotantes versus observadores estacionarios) cuando ven objetos de la geometría. Einstein exploto este tipo de estructura para implementar su principio de relatividad general descripto más arriba. Los movimientos que cambian el punto de contacto (en el caso de arriba, esto quiere decir rodar la bola sin que se deslice) dan información acerca de la geometría curva del espacio general. Einstein utilizó un caso especial de geometría de Cartan, que es la geometría Riemanniana donde el espacio homogéneo es el espacio de Minkowski. El luego explotó el análogo de la estructura recién descripta para explicar el viejo fenómeno de una manera nueva: la gravedad. En el proceso, produjo una de las más radicales y exitosas teorías de la física: la Relatividad General. La figura siguiente muestra cómo los diferentes tipos de geometría que hemos discutido se relacionan entre si.

Ahora, consideremos lo que pasa cuando sustituimos, como lo hicimos en la sección anterior, el espacio-tiempo plano de Minkowski por el curvo, pero aún homogéneo de de Sitter. Todavía podemos describir la gravedad, pero de una manera que naturalmente incluye una constante cosmológica. Aún así la esfera conforme es también un espacio homogéneo. Mas aún, como describimos antes, las simetrías de este espacio homogéneo pueden ser relacionadas a las simetrías de dS. Esto sugiere que puede ser posible describir la gravedad en términos de una geometría de Cartan modelada en la esfera conforme.

De la esfera conforme a la dinámica de las formas?

 Las geometrías de Cartan modeladas en la esfera conforme se llaman geometrías conformes porque las simetrías locales de estas geometrías preservan ángulos y no la escala. Aunque hemos descripto un procedimiento relacionando el espacio modelo de las geometrías conformes al espacio-tiempo modelo con una constante cosmológica, es una cuestión muy distinta re-escribir la gravedad en términos de la geometría conforme. Esto es, en parte, porque las leyes gobernando la geometría del espacio-tiempo son complicadas y, en parte, porque nuestra prescripción para relacionar los espacios modelos no es directa, dado que relaciona cantidades locales en el espacio-tiempo a cantidades no locales en el futuro y pasado infinito. Aun así, esta posibilidad entusiasmante provee una interesante línea de investigación futura. Más aún, hay otras indicaciones de que tal descripción es posible.

Usando métodos muy distintos, es posible mostrar que la Relatividad General es dual a una teoría de la evolución de una geometría conforme [3]. Sin embargo, el tipo de geometría conforme usada en esta deducción no ha sido aún escrita en términos de geometrías de Cartan (que hacen uso de estructuras ligeramente distintas). Esta nueva manera de describir la gravedad, llamada la Dinámica de las Formas, quizá hace uso de la interesante relación entre las simetrías del espacio-tiempo y las simetrías conformes descriptas aquí. El entender exactamente la naturaleza de la geometría conforme en la Dinámica de las Formas y su relación al espacio-tiempo puede ser valiosa al ser capaz de entender esta nueva manera de describir la gravedad. ¿Quizá hasta pueda ser una ventana al entender cómo debe funcionar la teoría cuántica de la gravedad?

• [1] D. K. Wise, Holographic Special Relativity, arXiv:1305.3258 [hep-th].

• [2] H. Minkowski, The Principle of Relativity: A Collection of Original Memoirs on the Special and General Theory of Relativity, ch. Space and Time, pp. 75–91. New York: Dover, 1952.

• [3] H. Gomes, S. Gryb, and T. Koslowski, Einstein gravity as a 3D conformally invariant theory, Class. Quant. Grav. 28 (2011) 045005, :1010.2481 [gr-qc].

Dimension espectral de las geometrías cuánticas

Johannes Thürigen, Albert Einstein Institute 
Title: Spectral dimension of quantum geometries 
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Por Francesco Caravelli, University College London 

Uno de los objetivos fundamentales de la gravedad cuántica es entender la estructura del espacio-tiempo a distancias muy cortas, en conjunto con predecir efectos físicos observables de tener una geometría cuántica. Esto no es fácil. Desde la introducción de la dimensión fractal en la gravedad cuántica y su importancia enfatizada en el trabajo de Triangulaciones Dinámicas Causales (Loll et al. 2005) y la seguridad asintótica (Lauscher et al. 2005), se ha vuelto más y más claro que el espacio-tiempo, a nivel cuántico, puede sufrir una transformación radical: el numero de dimensiones efectivas puede cambiar con la energía del proceso involucrado. Varios enfoques a la gravedad cuántica han recolectado evidencia de flujo dimensional a energías altas, lo que Carlip (2009,2013) popularizó como Reducción Dimensional Espontánea. (El uso del termino reducción es de hecho una sugerencia de que una reducción dimensional se observa, pero la evidencia dista de ser conclusiva. Nosotros consideramos la expresión flujo dimensional como mas apropiada).

Antes de comentar sobre los resultados obtenidos por los autores del trabajo discutido en el seminario (Calcagni, Oriti, Thueringen 2013), demos primero un paso atrás por un segundo e introduzcamos el concepto de dimensión fractal, que es relevante para esta discusión.

El concepto de dimensión no entera fue introducido por el matemático Benoit Mandelbrot hace medio siglo. ¿A qué se debe todo el alboroto acerca de fractales y complejidad? ¿Cuál es su relación con los espacio-tiempos, en particular los cuánticos?

Todo comienza con una pregunta aparentemente simple que planteo el Mandelbrot: ¿Cuál es la longitud de la costa de Inglaterra (o más precisamente, Cornwall)? Resulta ser que la longitud de la costa de Inglaterra depende de la lente usada para aumentar el mapa de la costa, y dependiendo del aumento, la longitud cambia con una regla bien definida, conocida como escaleo, que explicaremos en breve.
Hay varias definiciones de dimensión fractal, pero mantengamos las cosas lo más simples posibles y veamos por que un espacio-tiempo granular pueda de hecho tener dimensiones distintas a distintas escalas (es decir, el aumento de nuestra lente). El caso más sencillo es el de un retículo regular cuadrado, que para mayor claridad consideramos infinito en cada dirección.

Imagen: Manny Lorenzo

La dimensión del retículo puede parecer bidimensional, si el retículo es plano: se lo puede embeber en una superficie bidimensional (es por ello que se la llama dimensión de embebido). Sin embargo si tomamos cualquier punto del retículo y contamos cuantos puntos están a una distancia “d” del mismo, veremos que el número de puntos crece con una ley de escaleo, dada por*:

N~ d^gamma

Si d no es muy grande, el valor de gamma cambia si la estructura subyacente no es un continuo, o si es granular, y gama puede tomar valores no enteros. Esto se puede interpretar de varias maneras. Para el caso de fractales, esto implica que la dimensión real de los mismos no es entera. Análogamente al caso del numero de puntos dentro de una distancia d, es posible definir una operación de difusión que hará el trabajo de conteo para nosotros: cómo se mueven un enjambre de partículas en el espacio-tiempo subyacente. Este es un punto crucial del procedimiento.

En el continuo, la tecnología es tal que se puede mostrar que un operador tal puede ser definido en forma precisa**. El problema es que el escaleo no es preciso: por tiempos muy largos la relación de escala no es exacta (dado que efectos de curvatura pueden contribuir). Así, el tiempo dado a las partículas para su difusión tiene que ser sintonizado apropiadamente. Esto es lo que los autores discuten en la sección 2 del trabajo discutido en el seminario., y es un procedimiento estándar en el contexto de la dimensión espectral. Por supuesto, lo discutido hasta el momento es válido para difusión clásica, pero el operador se puede definir para difusión cuántica también, la cual esta descripta en términos de una evolución de Schrödinger unitaria como en mecánica cuántica usual.

Es importante entender que la descripción combinatoria de una variedad (como las mismas son representadas en un contexto discreto), en lugar de la geometría real, juega un rol muy relevante. Si uno calcula la dimensión fractal de estos retículos, si bien a gran escala da la dimensión fractal correcta, a pequeñas escalas no lo hace. Esto muestra que de hecho la discretitud tiene un efecto en la dimensión espectral, y que los resultados dependen del numero de dimensiones. Pero más importantemente, los autores observan que la dimensión espectral, aun en el caso clásico, depende de la naturaleza precisa de la seudo variedad subyacente, esto es, de cómo esta discretizada. Si uno combina esto con el hecho de que la dimensión fractal es hasta este punto el observable global que dice en cuantas dimensiones uno vivo (concepto muy importante para otros enfoques de altas energías), el interés bien puede estar justificado.

El caso de una geometría cuántica, considerada usando gravedad cuántica de lazos (LQG por las iniciales en inglés de Loop Quantum Gravity) se discute sobre el final. La definición es distinta de una dada anteriormente (Modesto 2009, suponiendo que el escaleo esta dado por el operador de área de LQG) y lleva a resultados distintos.

Sin entrar en los detalles (descriptos muy claramente en el trabajo), probablemente es útil anticipar los resultados y explicar las dificultades encontradas en el cálculo. La primer complicación viene del cálculo en si mismo: es muy difícil calcular la dimensión fractal en el caso completamente cuántico. Sin embargo, en la aproximación semiclásica (donde la geometría es parte clásica y parte cuántica) se puede ignorar la parte “cuántica. El siguiente punto es que, para poder decir que una dimensión topológica clara emerge, la dimensión fractal debe ser constante para un amplio rango de distancias de varios órdenes de magnitud. Es importante decir que, si uno usa la dimensión fractal como definición de dimensión, no es posible asignar una dimensionalidad dada a menos que el numero de puntos en consideración sea lo suficientemente grande. Esta es una propiedad de la dimensión fractal que es muy importante para la gravedad cuántica de lazos en muchos respectos, dado que ha habido una larga discusión de cual es la descripción apropiada del espacio-tiempo clásico y cuántico. Aun así este enfoque da la posibilidad de una definición de dimensión de abajo hacia arriba (si se hiciera de arriba a bajo no habría ningún flujo dimensional).

Los sólidos Platónicos de la gravedad cuántica

Hal Haggard, CPT Marseille
Title: Dynamical chaos and the volume gap 
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por Chris Coleman-Smith, Duke University



A la escala de Planck, se espera que la geometría del espacio se comporte cuánticamente. La gravedad cuántica de lazos provee una realización especifica de dicha expectativa. Predice una granularidad del espacio con cada grano teniendo un comportamiento cuántico. En particular el volumen del grano esta cuantizado y el sus valores posibles tienen una rica estructura (lo que se conoce como su "espectro"). Las áreas también están naturalmente cuantizadas y hay un espaciado robusto en los valores posibles del área. Así como Planck mostro que debe haber una energía mínima para el fotón, existe una mínima área espacial posible. ¿Ocurre lo mismo para los volúmenes?

Estos granos del espacio pueden visualizarse como poliedros con caras de área fija. En la teoría cuántica completa estos poliedros se desdibujan y así como no podemos pensar acerca de una partícula cuántica como una pelotita que rota no podemos pensar de estos poliedros como los Sólidos Platónicos definitivos que uno podría imaginar.

[Imagen por Wenzel Jamnitzer] 

Es interesante examinar estos poliedros a nivel clásico, donde uno puede ignorar el desdibujamiento, y ver que propiedades se pueden deducir acerca de la teoría cuántica.

El tetraedro es el poliedro más simple. Bianchi y Haggard [1] exploraron la dinámica que surge de fijar el volumen del tetraedro y dejar que los bordes evolucionen en el tiempo. Esta evolución es una manera muy natural de explorar el conjunto de poliedros de volumen constante que puede ser alcanzado por deformaciones suaves de la orientación de las caras de los poliedros. Las trayectorias resultantes en el espacio de poliedros pueden ser cuantizadas con los métodos originales de cuantización de Bohr y Einstein. La idea básica aquí es mapear algunas partes de las propiedades suaves continuas de la dinámica clásica en la cuántica seleccionando solamente esas orbitas donde el área total es un múltiplo entero de la constante de Planck. El espectro discreto de volumen resultante esta excelentemente de acuerdo con el cálculo cuántico completo. Investigaciones adicionales por Bianchi, Donna y Speziale [2] extendieron este tratamiento a poliedros más complejos.

Así como una cuenta atravesada por un alambre solo se puede mover hacia adelante o atrás por el alambre, un tetraedro de volumen y área de caras fijos solo tiene una libertad: cambiar su forma. Sistemas clásicos como este son típicamente integrables lo que quiere decir que su dinámica es bastante regular y puede ser resuelta exactamente. Sistemas con dos grados de libertad como el pentaedro son típicamente no integrables. Su dinámica puede ser simulada numéricamente pero no hay una solución exacta para su movimiento. Esto implica que el pentaedro tiene una dinámica mucho más rica que el tetraedro. ¿Es esta dinámica tan compleja como para ser caótica? Y de serlo, cuales son las implicaciones para el espectro de volumen cuantizado en este caso? El sistema ha sido explorado recientemente por Coleman-Smith [3] y Haggard [4] y de hecho fue encontrado que es caótico.

 Los sistemas caóticos son muy sensibles a las condiciones iniciales, desviaciones pequeñas de alguna trayectoria de referencia divergen rápidamente de la misma. Esto hace la dinámica de sistemas caóticos muy compleja y los dota de propiedades interesantes. La rápida dispersión de cualquier haz de trayectorias iniciales significa que sistemas caóticos son poco probables de pasar mucho tiempo “pegados” en un movimiento particular sino que rápidamente exploraran todos los movimientos posibles. Tales sistemas “olvidan” sus condiciones iniciales rápidamente y se termalizan pronto. Esta termalización rápida de granos del espacio es un resultado intrigante. Se sabe que los agujeros negros son objetos térmicos y sus propiedades térmicas se cree que son de origen fundamentalmente cuántico. La compleja dinámica clásica que observamos quizá de pistas acerca del origen microscópico de estas propiedades térmicas.

El borroso mundo de la mecánica cuántica no es capaz de soportar las delicadas estructuras fractales que surgen del caos clásico. Sin embargo, sus ecos pueden encontrarse en análogos cuánticos de sistemas clásicamente caóticos. Una propiedad fundamental de los sistemas cuánticos es que pueden tomar valores de la energía discretos. El conjunto de estos niveles de energía es usualmente llamado el espectro de energías del sistema. Un resultado importante del estudio de cómo el caos clásico pasa a los sistemas cuánticos es que podemos genéricamente esperar ciertas propiedades estadísticas del espectro de tales sistemas. De hecho el espaciado entre niveles adyacentes de energía en tales sistemas se puede predecir a partir de consideraciones muy general. Para un sistema cuántico no caótico uno espera que dichos espaciados estén enteramente no correlacionados y distribuidos de acuerdo a una distribución de Poisson (similar al número de autos que pasan por un peaje en una hora) resultando que la mayoría de los niveles de energía estén muy amontonados. En sistemas caóticos los espaciados se vuelven no correlacionados y de hecho se repelen entre si así que en promedio uno esperaría que los espaciados sean grandes.

Esto es sugestivo de que puede existir una brecha de volumen robusta dado que genéricamente esperamos que los niveles discretos cuantizados del volumen que se repelan entre si. De todos modos la densidad del espectro del volumen acerca del estado fundamental tiene que ser estudiada mas cuidadosamente para hacer ese argumento más concreto. ¿Existe realmente un volumen mínimo no nulo?

El comportamiento clásico de los granos fundamentales provee una ventana fascinante al comportamiento de la muy complicada dinámica cuántica del espacio que describe la gravedad cuántica de lazos. Extender este trabajo a poliedros más complejos y a redes de poliedros acoplados será muy interesante y proveerá con certeza muchos nuevos conocimientos acerca de la estructura microscópica del espacio.

[1]: "Discreteness of the volume of space from Bohr-Sommerfeld quantization", E.Bianchi & H.Haggard. PRL 107, 011301 (2011), "Bohr-Sommerfeld Quantization of Space", E.Bianchi & H.Haggard. PRD 86, 123010 (2012)

[2]: "Polyhedra in loop quantum gravity", E.Bianchi, P.Dona & S.Speziale. PRD 83, 0440305 (2011) 

[3]: "A “Helium Atom” of Space: Dynamical Instability of the Isochoric Pentahedron", C.Coleman-Smith &B.Muller, PRD 87 044047 (2013)

[4]: "Pentahedral volume, chaos, and quantum gravity", H.Haggard, PRD 87 044020 (2013)

Granulado grueso de teorías

Tuesday, Nov 27th. 2012
Bianca Dittrich, Perimeter Institute 
Title: Coarse graining: towards a cylindrically consistent dynamics
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por Frank Hellmann

El granulado grueso (coarse graining en inglés) es un procedimiento de la física estadística. En la mayoría de las situaciones no sabemos como se comportan todos los elementos que constituyen un sistema físico. En lugar de ello tenemos una imagen muy tosca. Por ejemplo, en lugar de saber como se mueven todos los átomos en el aire que nos rodea, típicamente somos conscientes de algunas propiedades que describen el sistema a grosso modo, como la presión, la temperatura y similares. De hecho es difícil imaginar una situación donde a uno le importe la posición de este o aquel átomo en un gas compuesto por 10^23 átomos. Así, cuando hablamos de tratar de encontrar una descripción de granulado grueso de un modelo, lo que queremos decir es que queremos descartar detalles irrelevantes y encontrar como un modelo particular se nos aparecería a nosotros.

La manera técnica en que se lleva a cabo esto fue desarrollada por Kadanoff y Wilson. Dado un sistema compuesto de constituyentes simples, la idea de Kadanoff fue tomar un conjunto de constituyentes cercanos entre si y combinarlos en un único constituyente, sólo que más grande. En un segundo paso, achicamos el sistema y estudiamos el comportamiento de este nuevo constituyente granulado grueso y vemos como se compara a los constituyentes originales. Si ciertos comportamientos se refuerzan con cada paso, los llamamos relevantes, si se vuelven débiles los llamamos irrelevantes. De hecho, a medida que construimos descripciones granuladas más gruesas del sistema, sólo los comportamientos relevantes sobrevivirán.

En la gravedad cuántica de espumas de espín se enfrenta precisamente dicho problema. Queremos construir una teoría de la gravedad cuántica, esto es, una teoría que describe como se comportan el espacio y el tiempo al nivel más fundamental. Sabemos precisamente como se nos presenta la gravedad, cada observación de la misma que hemos hecho esta descrita por la teoría de la relatividad general de Einstein. Así, para ser una candidata viable a teoría de la gravedad cuántica, es crucial que la teoría granulada gruesa aparezca, al menos en los casos en que la hemos comprobado experimentalmente, como la relatividad general.

El problema que enfrentamos es que usualmente estamos mirando a bloques pequeños y grandes del espacio, pero en modelos de espuma de espín el espacio-tiempo mismo es compuesto de bloques y estos no tienen un tamaño predeterminado. Pueden ser grandes o chicos. Más aun, no podemos manejar la complejidad de hacer cálculos con tantos bloques de espacio-tiempo. Las herramientas usuales, aproximaciones y conceptos del granulado grueso no se aplican directamente a espumas de espín.

Para mí esto constituye la pregunta más importante enfrentando al enfoque de espumas de espín de la gravedad cuántica. Tenemos que asegurarnos, o, como es el caso frecuentemente en estas cosas, al menos dar evidencia de que predecimos la física conocida correctamente, antes de que podamos hablar de tener una candidata plausible a teoría de la gravedad cuántica. Hasta el momento la mayor parte de la evidencia viene del estudio de bloques individuales del espacio-tiempo, y vemos que su comportamiento tiene sentido, geométricamente hablando. Pero aún no hemos visto ningún bloque de espacio-tiempo flotando en el universo, necesitamos estudiar el granulado grueso para entender como un gran número de ellos se vería colectivamente. La esperanza es que el espacio-tiempo suave que vemos emerja como la superficie suave del agua, pese a estar compuesta de bloques (atomos), como una aproximación a un gran número de bloques discretos.

El trabajo de Dittrich trata de atacar este problema. Esto requiere importar, o reinventar en el nuevo contexto, una gran cantidad de herramientas de la física estadística. La primera pregunta es: ¿cómo combina uno distintos bloques de espumas de espín para formar un bloque más grande? Dado un procedimiento para hacer esto, ¿podemos entender como se comporta efectivamente?

La herramienta que elije Dittrich se llama la renormalización de redes tensoriales. En este esquema, el granulado grueso es hecho mirando qué aspectos del conjunto original de bloques es el más relevante directamente para la dinámica y retener los mismos. Así, combina los dos pasos, de primero hacer el granulado grueso y luego buscar los operadores en un solo paso.

Para ser un poco más técnicos, la idea es considerar mapas de la frontera de la red más gruesa a la de la red más fina. El mapeo de la dinámica de la variable fina entonces provee la dinámica efectiva de la red más gruesa. Si los mapas satisfacen la llamada condición de consistencia cilíndrica, esto es, si los mismos pueden iterarse, el mapa puede usarse para definir un límite continuo también.

En el caso clásico, el comportamiento de la teoría como función de los valores de la frontera queda codificada en la llamada función principal de Hamilton. El propósito de estudiar el flujo de la teoría bajo tales mapas es primariamente el mejorar el tipo de discretizaciones de teorías continuas que puedan usarse en simulaciones numérica.

En el caso cuántico, la función principal es reemplazada por el llamado mapa de amplitud. El mapeo de dicha amplitud da una prescripción de renormalizacion de la dinámica. Dittrich propone adaptar para ello la idea obtenida en física de materia condensada llamada renormalización de redes tensoriales.

Para elegir que grados de liberta mapear de la frontera gruesa a la final, la idea es evaluar la amplitud, diagonalizarla y mantener los autoestados correspondientes a los n autovalores más grandes.

En cada paso uno obtiene una dinámica refinada que no crece en complejidad y uno puede iterar el procedimiento para obtener dinámicas efectivas para variables muy gruesas que han sido elegidas por la teoría, en lugar de una elección inicial de escala, y una descomposición en modos de alta y baja energía.

Es demasiado temprano para decir si estos métodos nos permitirán entender si los modelos de espuma de espín reproducen lo que conocemos acerca de la gravedad, pero ya han producido una serie de nuevas aproximaciones y perspectivas acerca de cómo este tipo de modelos funciona, y como se comportan para un gran número de bloques constitutivos.

Espacio tiempos de Bianchi en cosmología cuántica de lazos

Brajesh Gupt, LSU 

Title: Bianchi I LQC, Kasner transitions and inflation
PDF of the talk (800k) Audio [.wav 30MB] Audio [.aif 3MB]

by Edward Wilson-Ewing

Los espacio-tiempos de Bianchi son una generalización de los modelos más simples de Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW). Mientras que los espacio-tiempos FLRW son homogéneos (no hay puntos preferenciales en el espacio-tiempo) e isótropos (no hay direcciones preferenciales), en los modelos Bianchi el requerimiento de isotropía es eliminado. Una de las principales consecuencias de esta generalización es que en una cosmología de Bianchi, el espacio-tiempo puede expandirse a distintos ritmos en las tres dimensiones espaciales. Dicho de otra manera, existe una tasa de expansión de Hubble en FLRW, pero hay tres en cosmologías de Bianchi, una para cada dimensión espacial.

Por ejemplo, la métrica de Bianchi más simple es la llamada Bianchi I, cuya métrica está dada por:

ds² = - dt² + a₁(t)² (dx₁)² +  a₂(t)² (dx₂)² +  a₃(t)² (dx₃)²,

Donde a_i(t) son los tres factores de escala. Esto contrasta con los modelos FLRW donde hay un solo factor de escala. Es posible encontrar la forma exacta de los factores de escala resolviendo las ecuaciones de Einstein. En vacio, o con un campo escalar sin masa, resulta ser que el factor de escala i-ésimo esta simplemente dado por el tiempo elevado a una potencia k_i: a_i(t)=t^ki, donde los k_i son constantes y se conocen como exponentes de Kasner. Existen ciertas ecuaciones relacionando los exponentes de Kasner que deben satisfacerse, así que una vez elegido el contenido de materia, uno puede elegir un exponente de Kasner entre -1 y 1 y los otros dos quedan determinados.

Además de permitir más grados de libertad que los modelos FLRW, los espacio-tiempos de Bianchi son importantes dado el rol central que juegan en la llamada conjetura de Belinsky-Khalatnikov-Lifshitz (BKL). De acuerdo a la misma, cuando uno se aproxima a una singularidad espacial genérica en relatividad general, las derivadas temporales dominan sobre las espaciales (con la excepción de algunos  “picos” que ignoraremos aquí) y los puntos del espacio se desacoplan entre si. Esencialmente, a medida que las derivadas espaciales se vuelven despreciables, las complicadas ecuaciones a derivadas parciales de la relatividad general se reducen a más simples ecuaciones diferenciales ordinarias cerca de la singularidad. Aunque esta conjetura no ha sido probada aún, existe una abundancia de evidencia numérica que la apoya.

Si la conjetura BKL es correcta, y las ecuaciones diferenciales ordinarias son confiables, entonces la solución en cada punto es un espacio-tiempo homogéneo. Dado que los espacio-tiempos homogéneos más generales están dados por los modelos Bianchi, se sigue que cuando uno se aproxima a una singularidad, la geometría de cada punto está bien aproximada por un modelo Bianchi.

La conjetura es muy importante desde el punto de vista de la gravedad cuántica, dado que los efectos de la misma se espera que se vuelvan importantes precisamente cuando la curvatura del espacio-tiempo toma la escala de Planck. Esto quiere decir que esperamos que los efectos de la gravedad cuántica sean importantes cerca de las singularidades. Lo que la conjetura BKL nos dice es que entender los efectos de la gravedad cuántica en los modelos Bianchi, que corresponden a espacio-tiempos bastante sencillos, puede echar significativa luz acerca del problema de las singularidades en gravitación.

De hecho, estudios de la dinámica BKL muestran que para largos periodos de tiempo, la geometría de cualquier punto está dada por la métrica de Bianchi I y durante este periodo la geometría está completamente determinada por los tres exponentes de Kasner que discutimos. Ahora, la solución Bianchi I no vale eternamente, más bien ocurren transiciones entre distintas soluciones de Bianchi I llamadas transiciones de Kasner o Taub. Durante una transición de Kasner, los tres exponentes de Kasner cambian rápidamente de valor y luego se vuelven constantes por un periodo largo. Dado que el modelo de Bianchi I provee una excelente aproximación por periodos largos, entender su dinámica , especialmente a curvaturas grandes donde los efectos de la gravedad cuántica no pueden ser ignorados puede llevarnos a entender el comportamiento de singularidades genéricas cuando uno incluye efectos de la gravedad cuántica.

En la cosmología cuántica de lazos (LQC por sus siglas en ingles), para todos los espacio-tiempos estudiados hasta ahora, incluyendo Bianchi I, la singularidad del Big Bang es resuelta por efectos de la geometría cuántica. El hecho de que la singularidad inicial del modelo Bianchi I se resuelve en LQC, junto a la conjetura BKL, da cierta esperanza de que todas las singularidades del espacio tiempo sean resueltas en la gravedad cuántica de lazos. Si bien el resultado es esperanzador, existen aun preguntas sin respuesta acerca de la evolución específica del espacio tiempo de Bianchi I en LQC cuando efectos de la geometría cuántica son importantes.

Uno de los principales objetivos del seminario de Brajesh Gupt es atacar precisamente ese punto. Usando las ecuaciones efectivas, que proveen una aproximación excelente a la dinámica completa de los modelos de FLRW en LQC y se espera que hagan lo mismo para los modelos Bianchi, es posible estudiar como los efectos de la gravedad cuántica que aparecen en cosmología cuántica de lazos modifican la dinámica clásica cuando la curvatura del espacio tiempo se vuelve grande y el Big Bang se reemplaza por un rebote. En particular, Brajesh Gupt describe la manera precisa en la que los exponentes de Kasner  -que son constantes clásicamente- evolucionan determinísticamente mientras atraviesan el rebote, los detalles están en la charla.

La segunda parte del seminario considera la inflación en cosmologías cuánticas de lazos tipo Bianchi I. La inflación es un periodo de expansión exponencial del universo temprano que se introdujo para resolver los problemas del horizonte y la planitud. Uno de los resultados más importantes de la inflación es que genera pequeñas perturbaciones que son exactamente de la forma  de las que se observan en las pequeñas variaciones de temperatura del fondo de radiación de microondas cósmico. Para más información acerca de inflación, véanse los seminarios internacionales anteriores de William Nelson, Iván Agullo, Gianluca Calcagni y David Sloan, así como los artículos en el blog que los acompañan.

Si bien la inflación es comúnmente considerada en el contexto de modelos isotrópicos, es importante recordar que en presencia de campos materiales como la radiación y la materia oscura fría, espacio-tiempos anisotropicos se vuelven isotrópicos en épocas tardías. Por ende, que el universo aparezca isotrópico hoy no significa que lo fuera hace 13.800 millones de años. Debido a esto, es necesario entender como la dinámica de la inflación cambia cuando hay anisotropías presentes. Como mencionamos al principio, existe considerablemente más libertad en los modelos Bianchi que en los espacio-tiempos de FLRW, así que las expectativas provenientes de modelos isotrópicas pueden ser erróneas en la situación más general anisótropa.

Existen varios aspectos interesantes que considerar en este contexto, y en este seminario el foco fue en dos preguntas en particular. Primero, ¿es más o menos fácil obtener las condiciones iniciales necesarias para inflación? Dicho de otra manera, hace falta más o menos sintonía fina en las condiciones iniciales? Resulta que la presencia de anisotropías hace más fácil que tenga lugar una cantidad adecuada de inflación. El segundo problema es determinar cómo los efectos de la geometría cuántica de la cosmología cuántica de lazos cambian los resultados que uno esperaría a partir de la teoría clásica. La principal modificación encontrada aquí tiene que ver con la cantidad de anisotropía presente en el espacio-tiempo (la cual se puede cuantificar de un modo preciso) y la cantidad de inflación que tiene lugar. Mientras que en la teoría clásica existe una relación monótona entre ambas cantidades, esto deja de ser cierto en cosmología cuántica de lazos. En lugar de ello hay una cantidad específica de anisotropía que maximiza la cantidad de inflación que tiene lugar y más allá se ve un efecto inverso. Los detalles de ambos resultados están en el seminario. 

Gravedad cuántica de lazos reducida.

Tuesday, Mar 12th.
Emanuele Alesci, Francesco Cianfrani
Title: Quantum reduced loop gravity
PDF of the talk (4Mb) Audio [.wav 29MB] Audio [.aif 3MB]

Por Emanuele Alesci, Universidad de Varsovia and  Francesco Cianfrani, Universidad de Breslau

Proponemos un nuevo paradigma para la cuantización de lazos de sectores reducidos por simetría de la relatividad general, que llamamos gravedad cuántica de lazos reducida, y aplicamos este esquema a la extensión inhomogénea de los modelos cosmológicos del tipo Bianchi I (una cosmología que es homogénea pero no isótropa). Para explicar el significado de esta frase necesitaremos varios ingredientes que presentaremos en las secciones siguientes. Enfoquémonos primero en el significado de “reducción por simetría”: este proceso simplemente significa que si un sistema físico tiene algún tipo de simetría, podemos usarla para reducir el número de variables independientes necesarias para describirlo. La simetría entonces nos permite en general reducir las variables de una teoría a los grados de libertad verdaderamente independientes. Por ejemplo, consideremos una partícula puntual sin espín que se mueve en un plano bajo la influencia de un potencial central. El sistema es invariante bajo rotaciones bidimensionales alrededor del centro del potencial. Como consecuencia de ello se conserva el momento angular. La velocidad angular alrededor del origen es una constante de movimiento y la única variable dinámica “verdadera” es la coordenada radial de la partícula. Si uno va al espacio de fases (el espacio de posiciones y momentos de la teoría), el mismo puede ser parametrizado por las coordenadas radiales y angulares con el correspondiente momento, pero la simetría fuerza al momento asociado con la coordenada angular a permanecer conservado. El espacio de fases reducido asociado a tal sistema esta parametrizado por la coordenada y el momento radial a partir de los cuales, dadas las condiciones iniciales, la trayectoria completa de la partícula en el plano puede ser reconstruida.  La cuantización del espacio de fases reducido es en general más fácil que la que se hace en el espacio completo y esta es la razón principal por la cual esta técnica se suele usar en enfoques de la gravedad cuántica, cuya formulación final todavía nos evade. Por ejemplo, el análisis canónico de modelos homogéneos (cosmología cuántica de lazos) y de sistemas esféricamente simétricos (agujeros negros cuánticos) en la gravedad cuántica de lazos se ha llevado a cabo primariamente reduciendo el espacio de fases y cuantizando el sistema resultante (lo que se conoce técnicamente como cuantización reducida). La idea básica de nuestro enfoque es invertir el orden de “reducción” y “cuantización”. La motivación viene directamente de nuestro análisis y, en particular, del fracaso de la cuantización reducida en proveer una dinámica sensata para las extensiones inhomogeneas del modelo anisotropico pero homogéneo de Bianchi I. Como consecuencia seguiremos un camino distinto definiendo una reducción “cuántica” del espacio de Hilbert de estados cuánticos de la teoría completa a un subespacio que captura los grados de libertad relevantes. Este procedimiento nos permitirá tratar el sistema Bianchi I inhomogéneo directamente a nivel cuántico en una teoría donde se pueden hacer cálculos explícitos con todos los ingredientes de la gravedad cuántica de lazos (sólo que simplificados debido a la reducción cuántica.

Para proceder, revisemos un poco las características principales de la gravedad cuántica de lazos.

Gravedad cuántica de lazos

La gravedad cuántica de lazos es uno de los enfoques más prometedores para la cuantización del campo gravitatorio. Su formulación es canoníca y por ende está basada en hacer una descomposición 3+1 del espacio-tiempo. El espacio de fases esta parametrizado por las conexiones de Ashtekar-Barbero y sus momentos asociados, a partir de los cuales se puede calcular la métrica del espacio. Un punto central de esta reformulación es la existencia de una simetría de calibre (conocida técnicamente como simetría de calibre SU(2)), que juntamente a la independencia de estructuras geométricas preexistentes (estructuras de fondo), llevan a los vínculos conocidos como vínculos cinematicos de la teoría (cada vez que hay una simetría en una teoría aparece un vinculo asociado indicando que las variables no son independientes y uno tiene que aislar los grados de libertad genuinos). El procedimiento de cuantización está inspirado en los enfoques desarrollados en la década del 70 para describir teorías de calibre en el retículo en el límite de campo fuerte. En particular los estados están dados en términos de redes de espín, que son grafos con “colores” en las líneas que conectan intersecciones. Un ingrediente esencial de la gravedad cuántica de lazos es la independencia de estructuras preexistentes. La manera en la que se implementa esta simetría es un logro completamente nuevo en gravedad cuántica y permite encontrar una expresión regularizada (sin infinitos) del operador asociado al vinculo Hamiltoniano que dicta la dinámica de la teoría. Gracias a un procedimiento introducido por Thiemann, el vinculo Hamiltoniano puede ser aproximado mediante una triangulación del espacio. El límite en el que la triangulación se vuelve cada vez más fina nos da la expresión clásica y está bien definida a nivel cuántico sobre nudos-s (clases de redes de espín relacionadas por deformaciones suaves). La razón es que los nudos-s son invariantes bajo difeomorfismos y por ende no dependen de la longitud característica de la triangulación. Esto quiere decir que el vinculo Hamiltoniano puede ser regularizado consistentemente y, dicho sea de paso, el algebra asociada no tiene anomalías. Desafortunadamente, la expresión resultante no puede ser calculada en forma analítica, debido a la presencia del operador de volumen. Este obstáculo parece ser una obstrucción técnica más que una obstrucción teórica y por esa razón nuestro objetivo es superarlo en un modelo simple, como los cosmológicos.

Cosmología cuántica de lazos

La cosmología cuántica de lazos es la mejor teoría de la que disponemos para tratar cosmologías homogéneas. Se basa en una cuantización en el espacio de fase reducido, lo que implica que la reducción asociada a la simetría ocurre a nivel enteramente clásico. Una vez hecha la reducción, uno procede a cuantizar los grados de libertad con técnicas de gravedad cuántica de lazos. Sabemos que nuestro universo experimenta una fase altamente isotrópica y homogénea a escalas de más de 100 megaparsecs. La descripción cosmológica mas simpe es la del modelo de Friedman-Robertson-Walker (FRW), en la cual uno tiene un elemento de línea homogéneo e isótropo, descripto por una sola variable, el factor de escala. Una generalización se puede hacer considerando extensiones anisotropicas, los llamados modelos de Bianchi, en los que hay tres factores de escala definidos a lo largo de tres direcciones fiduciarias. En la cosmología cuántica de lazos uno fija la geometría a FRW o a modelos Bianchi y cuantiza las variables dinámicas. A pesar de esto, una deducción directa a partir de la gravedad cuántica de lazos aun no se conoce y es difícil en este contexto acomodar inhomogeneidades porque la teoría está definida en un espacio homogéneo.

Extensiones inhomogéneas de los modelos Bianchi

Queremos definir un nuevo modelo cosmológico que retenga todos los aspectos positivos de la gravedad cuántica de lazos, en particular un tipo de independencia de estructuras preexistentes a través de la cual la regularización del vínculo Hamiltoniano se pueda llevar a cabo como en la teoría completa. Para ello consideramos el modelo Bianchi más sencillo, llamado tipo I (un espacio homogéneo pero anisotropico), y definimos una extensión inhomogénea caracterizada por factores de escala que dependen del espacio. La extensión contiene como caso limite la fase homogénea en una parametrizacion arbitraria. La virtud de estos modelos es que son invariantes bajo lo que llamamos difemorfismos reducidos, que es la invariancia bajo una clase restringida de difeomorfismos que preservan las direcciones fiduciales de las anisotropías del modelo de Bianchi I. ¡Este es precisamente el tipo de simetría que buscábamos! De hecho, una vez que uno basa estados cuánticos sobre los grafos reducidos, cuyas líneas yacen a lo largo de las direcciones fiduciarias, podemos definir nudos-s reducidos, que no dependerán de la longitud de la cubulación del espacio (hablamos de cubulacion porque los grafos reducidos admiten cubulaciones y no triangulaciones). Como consecuencia, solo tenemos que repetir la construcción de Thiemann para una cubulación en lugar de una triangulación. Pero, ¿termina dando una buena expresión para el vinculo Hamiltoniano? La respuesta es negativa y la razón es que existe una simetría adicional en el espacio de fase reducido que nos impide repetir la construcción de Thiemann para el vinculo Hamitoniano. Por ende, el problema dinámico no puede ser atendido con las técnicas usuales de gravedad cuántica de lazos en la cuantización reducida.

Gravedad cuántica de lazos reducida

¿Qué nos falta en la cuantización reducida? La idea es que hemos reducido la simetría de calibre demasiado y esto es lo que nos impide construir el Hamiltoniano. Por ende volvemos hacia atrás y no reducimos la simetría y procedemos a cuantizar primero. Entonces podemos imponer la reducción de la simetría a nivel cuántico. Así, la expresión del vinculo Hamiltoniano del modelo de Bianchi I puede ser cuantizado de acuerdo al procedimiento de Thiemann. Más aun, los elementos de matriz asociados pueden ser calculados analíticamente dado que el operador de volumen toma una forma simplificada en el nuevo espacio de Hilbert. Así, tenemos una descripción cuántica del modelo inhomogéneo de Bianchi I in la que todas las técnicas de la gravedad cuántica de lazos pueden ser aplicadas y los cálculos completados analíticamente. Esto quiere decir que por primera vez tenemos un modelo en el que podemos probar explícitamente varios aspectos de la cuantización de lazos: el Hamiltoniano original de Thiemann que cambia grafos, el programa del vínculo maestro, la cuantización algebraica o el nuevo enfoque de deparametrización con campos de materia. Todos pueden ser examinados. El modelo es un retículo cuboidal, cuyos lados tienen números cuánticos y con relaciones reducidas entre esos números en los vértices. En dos palabras tenesmo una especie de “cosmología cuántica de lazos” hibrida a lo largo de los lados con relaciones de gravedad cuántica de lazos en los vértices, pero con una estructura de grafos y ¡operador de volumen diagonal! Esto significa que tenemos un modelo tratable analíticamente más cercano a la gravedad cuántica de lazos que la cosmología cuántica de lazos y potencialmente capaz de tratar inhomogeneidades e anisotropías al mismo tiempo. ¿Es significativo este modelo? Lo que nos resta hacer es “solamente”  física: como primera prueba tratar de estudiar el limite semiclasico. Si este modelo da la relatividad general en el régimen clásico, entonces podemos pasar a comparar sus predicciones con las de la cosmología cuántica de lazos en el régimen cuántico, insertando campos de materia y analizando su rol, discutiendo el comportamiento de las inhomogeneidades y todo eso. Veremos…

Relatividad general en el espacio de observadores.

Tuesday, Oct 2nd.
Derek Wise, FAU Erlangen
Title: Lifting General Relativity to Observer Space
PDF of the talk (700k) Audio [.wav 34MB], Audio [.aif 3MB].

por Jeffrey Morton, Universidad de Hamburgo

Una versión más técnica y precisa de este artículo aparece en el blog de Jeff en inglés.


Esta plática está basada en un proyecto de Steffen Gielen y Derek Wise, que esta descripto en varios trabajos publicadoes (dos mas cortos "Spontaneously broken Lorentz symmetry for Hamiltonian gravity", "Linking Covariant and Canonical General Relativity via Local Observers", y uno reciente mas largo llamado "Lifting General Relativity to Observer Space").




La idea central detrás de este proyecto es la noción de “espacio de observadores”: un espacio constituido por todos los observadores de un universo dado. Esto se visualiza más fácilmente partiendo de un espacio-tiempo. Matemáticamente, es una variedad M con una métrica Lorentziana g, que entre otras cosas determina qué direcciones son “tipo-tiempo” en un punto dado. Un observador puede ser especificado eligiendo dos cosas. En primer lugar un punto (x0,x1,x2,x3)=x, asociado a un “evento” en el espacio-tiempo. En segundo lugar, una dirección tipo tiempo orientada hacia el futuro que es tangente a la trayectoria de un observador “físico” que pasa por el evento x. El espacio de observadores consiste de todas estas elecciones: lo que se conoce como el “haz tangente unitario a futuro de M”. Sin embargo, usando la nocion de una “geometría de Cartan”, uno puede dar una definición general de espacio de observadores que tiene sentido aun cuando no hay una variedad espacio-temporal subyacente.

 El resultado es una sorprendente nueva intuición que dice que el “espacio-tiempo” es una noción local y dependiente de observador, que en algunos casos especiales se puede extender de modo tal que todos los observadores vean el mismo espacio-tiempo. Esto aparece relacionado a la idea de relatividad de localidad. Más directamente, es geométricamente similar al hecho de que rebanar un espacio-tiempo en fetas de espacio que evolucionan en el tiempo no es un procedimiento único, y no es respetado por las simetrías completas de la teoría de la relatividad. Más bien, la división entre espacio y tiempo depende del observador.

¿Cómo se describe todo esto matemáticamente? En particular, ¿qué se quiso decir antes cuando se dijo que el espacio-tiempo en si mismo se vuelve dependiente de observador? L a respuesta usa la geometría de Cartan.

Geometría de Cartan 

En líneas generales, la geometría de Cartan es a la geometría de Klein lo que la geometría de Riemann es a la geometría Euclídea.

El programa de Erlangen de Klein, llevado a cabo a mediados del siglo 19, trajo sistemáticamente al algebra abstracta, y específicamente a la teoría de grupos de Lie, a la geometría, colocando la idea de simetría en un rol pivotal. Describe “espacios homogéneos” X, que son geometrías en las que cada punto es indistinguible de los otros. Esto se expresa a través de la acción de un grupo de Lie G, que consiste en todas las transformaciones de un espacio subyacente que preservan su estructura geométrica. Para un espacio Euclídeo n dimensional En, el grupo de simetrías es precisamente el que deja invariante la geometría Euclídea, es decir los ángulos y las longitudes. Este es el grupo Euclídeo, y es generado pro las rotaciones y las translaciones. Pero todo punto x será mantenido fijo por algunas simetrías y no otras, así que existe un subgrupo H, el “subgrupo estabilizador”, que consiste de todas las simetrías que dejan a x fijo.

El par (G,H) es todo lo que necesitamos para especificar un espacio homogéneo o geometría de Klein. Así, un punto será mantenido fijo por el grupo de rotaciones centradas en dicho punto. La observación de Klein es dar vuelta esto: podemos definir lo Euclídeo a partir del grupo G, esencialmente "ignorando" (lo que técnicamente se denomina "modding out" en inglés) el subgrupo H de transformaciones que dejan un punto fijo.  Resulta en todas las traslaciones que determinan los posibles puntos y a los que un punto x puede ser llevado y no más. El programa de Klein nos deja hace esto en general, dado cualquier par (G,H). La ventaja de este programa es que lleva a un número muy grande de ejemplos de geometrías (incluyendo algunas previamente no conocidas) en forma unificada. Pero las más relevantes por ahora son:

• Espacio Euclídeo n-dimensional, como describimos.
• Espacio de Minkowski n-dimensional. El grupo Euclídeo es reemplazado por el grupo de Poincaré, lo que incluye las traslaciones y rotaciones, pero también los “boosts” de la relatividad especial. Este es el grupo de todas las transformaciones que mantienen fija la geometría determinada por la métrica de Minkowski del espacio-tiempo plano.
•  Espacio de de Sitter y de anti-de Sitter, los que son relevantes para estudiar la relatividad general con una constante cosmológica.

Así como una geometría Lorentziana o Riemanniana es “localmente modelada” por un espacio de Minkowski o Euclídeo respectivamente, una geometría de Cartan es modelada localmente por una geometría de Klein. Medidas hechas cerca de un punto de la geometría de Cartan parecen ser las de una geometría de Klein.

Dado que la curvatura se mide observando el desarrollo de curvas, podemos pensar cada espacio homogéneo como una geometría de Cartan plana con si mismo como modelo local, así como el espacio de Minkowski de la relatividad especial es una solución particular de la relatividad general.

 La idea de que la curvatura de una variedad depende de la geometría modelo que se usa para medirla aparece en la manera en la que usamos dicha variedad en física.

Gravedad y la geometría de Cartan 

La teoría de la gravedad de MacDowell-Mansouri puede entenderse como una teoría en la cual la relatividad general es modelada como una geometría de Cartan. Por supuesto, la manera usual de presentar la relatividad general es en términos de una geometría de una variedad Lorentziana. El formalismo de Palatini describe a la relatividad general en lugar de a través de una métrica, a través de un conjunto de vectores gobernados por las ecuaciones de Palatini. Esto puede deducirse de una geometría de Cartan a través de la teoría de MacDowell-Mansouri, que “rompe la simetría completa” de la geometría en cada punto, generando los campos vectoriales que aparecen en el formalismo de Palatini. Así, la relatividad general puede ser escrita como la teoría de una geometría de Cartan modelada en el espacio de de Sitter.

El espacio de observadores 

La idea de definir un espacio de observadores es combinar dos reducciones de simetría en una. Uno tiene una geometría modelo de Klein, que refleja la “ruptura de simetría” que aparece cuando se elige un punto particular en el espacio-tiempo (también llamado evento). Las direcciones temporales son vectores tangentes a la línea de mundo (la trayectoria en el espacio-tiempo) de un observador “físico” en el evento elegido. Así que la geometría de Klein es el espacio de todos tales posibles observadores en un evento dado. El subgrupo estabilizador de un punto en este espacio consiste de simplemente las rotaciones del espacio-tiempo alrededor del observador dado, los “boosts” en la transformación de Lorentzt que relacionan diferentes observadores. Localmente, el elegir un observador es equivalente a dividir el espacio-tiempo en un producto de un espacio y un tiempo. Si combinamos las dos reducciones al mismo tiempo, obtenemos una geometría de Klein siete dimensional que esta relacionada al espacio de de Sitter, al que podemos pensar como un modelo homogéneo de “espacio de observadores”.

Esto puede ser intuitivamente sorprendente: da un modelo geométrico perfectamente concreto en el que el “espacio-tiempo” es relativo y dependiente de observador, y posiblemente solo significativo localmente, en el mismo sentido que la distinción de “espacio” y “tiempo” lo es en relatividad general. Esto es, puede ser imposible determinar objetivamente si dos observadores están basados en el mismo evento o no. Esto es un tipo de “relatividad de la localidad”, que es geométricamente bastantes similar a la ahora familiar relatividad de la simultaneidad. Cada observador llegara a ciertas conclusiones acerca de que observadores comparten el mismo evento base, pero distintos observadores pueden no estar de acuerdo. Los observadores coincidentes de acuerdo a un observador dado son esos alcanzados por una buena clase de geodésicas en el espacio de observadores que se mueven en direcciones que el observador ve como “boosts”.

Dada una cierta condición de integrabilidad uno puede reconstruir un espacio-tiempo del espacio de observadores: dos observadores estarán de acuerdo acerca de si están o no en el mismo evento. Este es el familiar mundo de la relatividad, donde la simultaneidad puede ser relativa, pero la localidad absoluta.

Levantando la gravedad al espacio de observadores 

Además de describir este modelo de espacio-tiempo relativo, una motivación adicional para describir el espacio de observadores es que uno puede formular la relatividad general canónica (hamiltoniana) localmente cerca de cada punto en un espacio de observadores. El objetivo es tender un puente entre las cuantizaciones canónicas y covariantes de la gravedad. La cuantización covariante trata la geometría del espacio-tiempo como un conjunto, a través de lo que se conoce como un lagrangiano. Esto es matemáticamente atractivo, dado que respeta las simetrías de la relatividad general, es decir, su invariancia bajo difeomorfismos (o, hablando más físicamente, que sus ecuaciones toman la misma forma para todos los observadores). Por otro lado, esta alejada del enfoque canónico (hamiltoniano) a la cuantización de sistemas físicos, en el que el concepto de tiempo es fundamental. En el enfoque canónico, uno cuantiza el espacio de estados de un sistema en un instante dado del tiempo, y el hamiltoniano de la teoría describe su evolución. Esto es problemático para la invariancia bajo difeomorfismos (o aun la invariancia Lorentz) dado que la coordenada temporal depende de una elección de observadores. El punto del espacio de observadores es que podemos considerar dichas elecciones todas simultáneamente. El describir la relatividad en el espacio de observadores es tanto covariante como basado en elecciones (locales) de dirección temporal. Así un “campo de observadores” es una elección, en cada evento de base M, de un observador basado en dicho evento. Un campo de observadores puede o no corresponder a una descomposición particular de un espacio-tiempo en un espacio que evoluciona en el tiempo, pero localmente, en cada punto del espacio de observadores, siempre parecerá ser uno. La teoría resultante describe la dinámica de la geometría espacial en el tiempo, como es vista por un observador dado, en términos de una geometría de Cartan.

Esta división, en las mismas líneas que la presente en la gravedad de MacDowell-Mansouri que describimos antes, sugiere que uno puede levantar a la relatividad general a una teoría en el espacio de observadores. Esto corresponde a describir campos en el espacio de observadores y una teoría para laos mismos, tal que la descomposición de los campos devuelve los campos usuales de la relatividad general en un espacio-tiempo, y las ecuaciones dan las ecuaciones usuales. Esta parte del proyecto aun esta en desarrollo, pero existe una forma de levantar las ecuaciones de Einstein al espacio de observadores. Esto nos dice que la relatividad general puede ser definida puramente en términos del espacio de todos los posibles observadores, y cuando hay un espacio-tiempo objetivo, la teoría resultante se ve idéntica a la relatividad general. En el caso en el que no hay un espacio-tiempo “objetivo”, el resultado incluye sorprendentes campos nuevos. Si esto es bueno o malo no es claro aún.