Wednesday, February 22, 2017

Gravedad como una reducción dimensional de teorías de formas diferenciales en seis y siete dimensiones

Tuesday, February 21st
Kirill Krasnov, University of Nottingham
Title: 3D/4D gravity as the dimensional reduction of a theory of differential forms in 6D/7D 
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por Jorge Pullin, Louisiana State University

Las teorías de campos ordinarias, como el electromagnetismo de Maxwell, son sistemas físicos con infinitos grados de libertad. Esencialmente los valores de los campos en todos los puntos del espacio son los grados de libertad. Existe una clase de teorías de campos que se formulan como las ordinarias en términos de campos que toman distintos valores en distintos puntos del espacio, pero sus ecuaciones de movimiento implican que el número de grados de libertad es finito. Esto las hace particularmente fáciles de cuantizar. Un buen ejemplo de esto es la relatividad general en dos dimensiones espaciales y una temporal (conocida como 2+1 dimensiones). Contrariamente a la relatividad general ordinaria en el espacio-tiempo cuadridimensional, sólo tiene un número finito de grados de libertad que corresponden a la topología del espacio-tiempo considerado. Este tipo de comportamiento tiende a ser genérico para este tipo de teorías y como consecuencia se las conoce como Teorías de Campo Topológicas (TFT en ingles). Este tipo de teorías ha encontrado aplicaciones en matemática para estudiar cuestiones de geometría y topología, como la construcción de invariantes de nudos a través del uso de técnicas de teoría cuántica de campos. Estas teorías tienen la propiedad de no requerir de ninguna estructura geométrica de fondo para su definición. Esto difiere, por ejemplo, de la teoría de Maxwell que requiere una métrica del espacio tiempo para formularla.

Sorprendentemente, se demostró hace un tiempo, primero por Plebanski en 1977 y posteriormente por Capovilla-Dell-Jacobson y Mason en 1991 que ciertas TFTs en cuatro dimensiones, si uno las suplementa con vínculos adicionales entre sus variables, son equivalentes a la relatividad general. Los vínculos adicionales tienen el efecto contra-intuitivo de agregar grados de libertad a la teoría porque modifican las variables en términos de los cuales se formula la teoría. El formular la relatividad general de esta manera lleva a nuevas perspectivas acerca de la teoría. En particular, sugiere ciertas generalizaciones de la relatividad general que en la plática fueron llamadas deformaciones de la relatividad general.

La plática considero una serie de teorías de campos en seis y siete dimensiones. Estas teorías no requieren de una estructura de fondo para su definición, pero a diferencia de las teorías topológicas que mencionamos antes, tienen infinitos grados de libertad. Luego se considero la reducción dimensional de estas teorías a cuatro dimensiones. La reducción dimensional consiste en “tomar una rebanada de dimensión mas baja” de una teoría de dimensión mas alta, usualmente imponiendo alguna simetría (por ejemplo suponiendo que los campos no dependen de ciertas coordenadas). Una de las primeras propuesta de este estilo fue hecha en 1919 por Kaluza y luego por Klein, conocida como teoría de Kaluza-Klein. Tomaron la relatividad general en cinco dimensiones y supusieron que la métrica no depende de la quinta coordenada y pudieron mostrar que la teoría se comportaba como la relatividad general en cuatro dimensiones acoplada al electromagnetismo de Maxwell y un campo escalar. La plática también mostró como ciertas teorías topológicas en cuatro dimensiones conocidas como teorías BF (porque las dos variables de la teoría son campos llamados B y F) pueden ser vista como una reducción dimensional de teorías topológica en siete dimensiones y finalmente que la relatividad general en 2+1 dimensiones puede verse como una reducción de una teoría topológica en seis dimensiones.


Hasta el momento no esta claro si estas teorías pueden describir la naturaleza, porque no es claro que el campo escalar extra que predicen sea compatible con limitaciones experimentales a teorías escalares-tensoriales. De todos modos estas teorías son útiles para iluminar las estructuras de la relatividad general y sus conexiones a otras teorías.


Tuesday, February 7, 2017

Gravedad cuántica de lazos, redes tensoriales y la entropía de entrelazado holográfica

Tuesday, February 7th
Muxin Han, Florida Atlantic University
Loop Quantum Gravity, Tensor Network, and Holographic Entanglement Entropy 
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por Jorge Pullin, Louisiana State University


La constante cosmológica es un término extra que fue introducido en las ecuaciones de la Relatividad General por Einstein mismo. En ese momento intentaba mostrar que si uno aplicaba las ecuaciones al universo como un todo, tenían soluciones estáticas. La gente no sabía en esa época que el universo se expandía. Algunos dicen que Einstein llamo la introducción de este termino extra como su “mayor error” dado que impidió que predijera la expansión del universo que fue observada experimentalmente por Hubble unos años más tarde. A pesar de su origen, el termino está permitido en las ecuaciones y los espacio-tiempos que surgen cuando uno lo incluye se conocen como espacio-tiempos de de Sitter en honor al físico holandés que encontró estas soluciones por primera vez. Dependiendo del signo de la constante cosmológica elegido, uno puede tener espacio-tiempos de de Sitter o anti-de Sitter (AdS).


Fue observado en el contexto de teorías de cuerdas que si uno considera gravedad cuántica en espacio tiempos de anti-de Sitter, la teoría es equivalente a una cierta clase de teorías conocidas como teorías de campo conformes (“conformal field theories (CFT)” en ingles) que viven en la frontera del espacio-tiempo. Este resultado no es un teorema sino una conjetura, conocida como AdS/CFT o conjetura de Maldacena. Ha sido verificada en una variedad de ejemplos. Es un resultado notable. La gravedad y las teorías conformes son muy distintas en muchos aspectos y el hecho de que puedan ser mapeadas unas a otras abre muchas posibilidades nuevas para entender cosas. Por ejemplo, un importante problema abierto en gravedad es la evaporación de los agujeros negros. A pesar de que nada puede escapar a un agujero negro clásicamente, Hawking mostro que si se toman en cuenta efectos cuánticos, los agujeros negros radían partículas como un cuerpo negro a una temperatura dada. Las partículas se llevan energía y el agujero negro se encoje, eventualmente evaporándose completamente. Esto abre la pregunta de que pasó con la materia que fue a formar el agujero negro. La mecánica cuántica tiene una propiedad llamada unitariedad que dice que materia ordinaria no puede convertirse en radiación incoherente, así que esto presenta el interrogante de cómo podría pasar en una agujero negro que se evapora. En la visión AdS/CFT, dado que el agujero negro evaporante seria mapeado a una teoría conforme que es unitaria, eso podría proveer una manera de estudiar como la materia se convierte en radiación incoherente en la teoría cuántica.


Varios autores han conectado la conjetura AdS/CFT a una construcción matemática conocida como redes tensoriales, de uso común en teoría cuántica de la información. Las redes tensoriales tienen varios puntos en común con las redes de espín que son los estado cuánticos de la gravedad en la gravedad cuántica de lazos (“loop quantum gravity” en ingles). Esta plática muestra en detalle como hacer una correspondencia entre los estados de la gravedad cuántica de lazos y redes tensoriales, básicamente correspondiendo a un granulado grueso (“coarse graining” en ingles) o promedio a ciertas escalas de los estados de la gravedad cuántica. Esto abre la posibilidad de conectar resultados de AdS/CFT con resultados de gravedad cuántica de lazos. En particular la formula conocida como de Ryu-Takahashi para la entropía de una región puede ser obtenida en el contexto de la gravedad cuántica de lazos.


Wednesday, January 25, 2017

Simetrías y representaciones en teorias de campos grupales

Tuesday, January 24th
Alexander Kegeles, Albert Einstein Institute
Title: Field theoretical aspects of GFT: symmetries and representations 
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por Jorge Pullin, Louisiana State University


En gravedad cuántica de lazos, los estados cuánticos están etiquetados por lazos, mas precisamente por grafos constituidos por líneas que se intersectan en vértices y que son “coloreadas”, lo que quiere decir que cada línea tiene un numero entero asociado. Se las conoce como “redes de espín” (“spin-networks” en ingles). Cuando los estados evolucionan en el tiempo estos grafos “barren” superficies en el espacio-tiempo cuadridimensional constituyendo lo que se conoce como “espuma de espín” (“spin-foam” en ingles). Estas son una representación de un espacio-tiempo cuántico en gravedad cuántica de lazos. Las espumas de espín conectan una red de espín inicial con una final y el formalismo da la probabilidad de que tal “transición” de una geometría espacial dada a una geometría espacial futura pueda ocurrir. La imagen que emerge tiene algunos paralelos con la física ordinaria en la cual partículas transicionan de estados iniciales a finales, pero hay algunas diferencias.

Sin embargo, se ha encontrado que uno puede construir teorías de campo ordinarias tales que las probabilidades de transición de las mismas coinciden con las que emergen de espumas de espín conectando geometrías espaciales iniciales y finales en gravedad cuántica de lazos. Esta plática se dedico a tales teorías cuánticas de campos conocidas como teorías de campos grupales (“group field theory (GFT)” en ingles). La plática cubrió dos aspectos principales de las mismas: simetrías y representaciones.

Las simetrías son importantes porque proveen herramientas matemáticas para resolver las ecuaciones de la teoría e identificar cantidades conservadas en la misma. Hay mucha experiencia con simetrías en teorías de campos locales, pero las GFTs son no-locales, lo que agrega desafíos. Las teorías de campo ordinarias se formulan a partir de una cantidad conocida como acción, que es una integral en un dominio dado. Una simetría se define como un mapa de los puntos y campos que deja la integral invariante. En GFTs la acción es una suma de integrales en dominios distintos. Una simetría se define como una colección de mapas que actúan sobre los dominios y los campos que dejan invariante cada una de las integrales de la suma. Un teorema importante de gran generalidad que va desde la mecánica clásica hasta las teorías cuánticas de campos es el teorema de Noether, que conecta simetrías con cantidades conservadas. La noción de simetría discutida mas arriba para GFTs permite introducir un teorema de Noether para las mismas. El teorema puede ser útil en una variedad de situaciones, en particular en ciertas relaciones que fueron notadas entre GFTs y la teoría de reacoplamiento (“recoupling theory” en ingles), y permitirá entender mejor varios modelos basados en GFTs.

En una teoría cuántica como las GFTs, los estados cuánticos se estructuran en un conjunto matemático conocido como espacio de Hilbert. Las cantidades observables de la teoría se representan a través de operadores que actúan en dicho espacio. Los espacios de Hilbert en general son infinito-dimensionales lo que introduce una serie de tecnicismos tanto en su definición como en la definición de observables para teorías cuánticas. En particular uno puede encontrar familias no equivalentes de operadores relacionadas con los mismos observables físicos. Esto es lo que es conocido como diferentes representaciones del álgebra de observables. Álgebra en este contexto quiere decir que uno puede componer observables para formar nuevos observables o combinaciones lineales de observables conocidos. Un tipo de representación importante es la llamada representación de Fock. Es la representación en la que se basan las partículas usuales. Otro tipo de representación es la llamada representación de condensado que, en lugar de describir partículas, describe excitaciones colectivas y es muy conveniente para sistemas con un numero grande (infinito) de partículas. Una discusión de las representaciones de Fock y de condensado en el contexto de GFTs fue presentada y el punto de cuándo representaciones son equivalentes o no fue discutido.

Trabajo futuro apunta a generalizar la noción de simetrías presentada para encontrar más simetrías no estándares de GFTs. También la investigación de “anomalías”. Esto es cuando uno tiene una simetría en la teoría clásica que no sobrevive al proceso de cuantizacion. La noción de simetría puede usarse para definir una idea de “estado fundamental” de la teoría. En teorías de campo ordinarias en espacio-tiempo plano esto se hace buscando el estado con menor energía. En el contexto de GFTs se utilizaran nociones mas complejas de simetrías para definir el estado fundamental. Varios otros resultados de teorías de campo ordinarias, como el teorema espin-estadistica, pueden generalizarse al contexto de GFTs usando las ideas presentadas en esta platica.


Friday, March 11, 2016

Reducciones de simetría en gravedad cuántica de lazos





Tuesday, Dec. 8th
Norbert Bodendorfer, Univ. Warsaw 
Title: Quantum symmetry reductions based on classical gauge fixings 
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YouTube.

Tuesday, Nov. 10th
Jedrzej Swiezewski, Univ. Warsaw 
Title: Developments on the radial gauge 
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por Steffen Gielen, Imperial College

Hace algunos meses, físicos alrededor del mundo celebraron el centenario de las ecuaciones de la relatividad general, presentadas por Einstein a la Academia Prusiana de Ciencias en Noviembre de 1915. Llegar a las ecuaciones correctas fue la culminación de un increíble esfuerzo intelectual por Einstein, motivado fundamentalmente por requerimientos matemáticos (reemplazando a la teoría de Newton de la gravitación, que terminó siendo incompleta) que debía satisfacer la teoría. En particular, Einstein se dio cuenta que las ecuaciones de campo debían ser generalmente covariantes - debían tomar la misma forma en cualquier sistema de coordenadas que uno usara para calcular, digamos como coordenadas Cartesianas, cilíndricas o esféricas. Esta propiedad diferencia a las ecuaciones de la relatividad general de las leyes del movimiento de Newton, donde cambiar sistema de coordenadas puede llevar a la aparición de "fuerzas" adicionales como la centrípeta o la de Coriolis. 

Muchas conferencias tuvieron lugar honrando el aniversario del logro de Einstein. Lo que se discutió en dichas conferencias fue parcialmente el contexto histórico, la belleza de las ecuaciones o el significado matemático y conceptual de la covariancia general. Sin embargo, el legado más importante de la relatividad general y la inspiración más importante para las investigaciones modernas ha sido los nuevos fenómenos físicos que aparecen en la relatividad general  y no en la teoría de Newton: los agujeros negros son regiones del espacio-tiempo donde la gravedad se vuelve tan fuerte que ni la luz puede escapar; el fuerte campo gravitatorio fuera de un agujero negro conlleva una dilatación temporal tan importante que una hora cerca de un agujero negro puede corresponder a años en la Tierra, como se mostró recientemente en el film Interstellar; también creemos que el universo se expande como un todo, y lo ha estado haciendo desde el Big Bang que se cree es el comienzo del espacio y del tiempo.

Para entender estas consecuencias dramáticas de las ecuaciones de Einstein, los físicos han tenido que resolver dichas ecuaciones. Esto es bastante difícil en general: las ecuaciones de Einstein son ecuaciones diferenciales complicadas para diez funciones dependientes del tiempo y de tres coordenadas espaciales, que codifican el campo gravitatorio de un espacio-tiempo. Además, la atractiva propiedad conceptual de la covariancia general significa que soluciones aparentemente diferentes de las ecuaciones pueden ser simplemente la misma configuración física vista en coordenadas distintas. De hecho ambos temas - encontrar soluciones a las ecuaciones y entender su significado- fueron desafíos importantes en los primeros días de la teoría, cuando los físicos trataron de entender las ecuaciones de Einstein. 

A pesar de este formidable desafío el teniente prusiano de artillería Karl Schwarzschild, mientras prestaba servicio en el Frente Oriental de la Primera Guerra Mundial, pudo obtener una solución exacta de las ecuaciones de Einstein en vacío a pocas semanas de su publicación, para sorpresa de Einstein mismo. Esta solución, conocida ahora como la solución de Schwarzschild, describe un agujero negro, y es una de las soluciones más importantes de la relatividad general. Lo que Schwarzschild hizo para resolver las ecuaciones fue suponer una simetría de la solución: supuso que la configuración de campo gravitatorio debía ser esféricamente simétrica. En coordenadas esféricas, en donde cada punto del espacio es especificado por una coordenada radial y dos angulares, debería ser independiente  de cualquier cambio en las direcciones angulares. Esto quiere decir que uno describe al espacio como una colección de esferas regulares concéntricas. Lo que Schwarzschild encontró fue que las esferas no tenían que ser pegadas entre si para dar el espacio usual plano, pero uno podía formar una geometría curvada con ellas, con la curvatura incrementándose cuando uno se dirige hacia el centro (eventualmente formando el agujero negro), y aún así resolver las ecuaciones de Einstein. Para hacer el cálculo, Schwarzschild tuvo que elegir un sistema de coordenadas adecuado, explotando la propiedad de covariancia general a su favor.


Esta estrategia de encontrar soluciones es típica de los que trabajan en relatividad general: soluciones cosmológicas similarmente pueden encontrarse suponiendo que el universo se ve de la misma manera en cada punto y en cada dirección en el espacio (matemáticamente hablando es homogéneo e isótropo), y solo cambia en el tiempo. Esto reduce el problema de resolver las ecuaciones de Einstein a una tarea mucho más simple, y soluciones explícitas se pueden escribir, nuevamente en sistemas de coordenadas adecuados. Estas simples soluciones ya exhiben las características principales de nuestro universo (expansión global y una singularidad tipo Big Bang (Gran Explosión) al comienzo) y son bastante realistas –de hecho nuestro universo exhibe sólo pequeñas variaciones entre regiones de gran escala, y a las escalas más grandes está bien descripto por una geometría que simplemente se igual en todos los puntos del espacio.

La gravedad cuántica de lazos es un enfoque para cuantizar la relatividad general, apuntando a extender la relatividad general haciéndola compatible con la mecánica cuántica. Lo que la distingue de otros enfoques es que la principal propiedad de la relatividad general, la covariancia general, es tomada como un principio rector para construir la teoría cuántica. En algunos aspectos el estatus de la gravedad cuántica de lazos puede compararse a los primeros días de la relatividad general: mientras que sabemos que una teoría cuántica compatible con la covariancia general se puede construir y su estructura matemática está bien entendida, uno ahora debe entender los nuevos fenómenos físicos que la cuantización implica, más allá de la relatividad general. Así como en el tiempo posterior a noviembre de 1915, los físicos hoy deben encontrar soluciones explícitas a las ecuaciones de la gravedad cuántica de lazos que puedan usarse para estudiar las implicaciones físicas del (relativamente) nuevo enfoque.

Uno de los principales éxitos de la gravedad cuántica de lazos ha sido su aplicación a cosmología. Soluciones homogéneas de las ecuaciones de Einstein que describen aproximadamente nuestro universo reciben modificaciones una vez que se usan técnicas de gravedad cuántica de lazos, que conllevan a la resolución de la singularidad del Big Bang reemplazándola con un Big Bounce (gran rebote), con efectos potencialmente observables. Sin embargo los modelos del universo resultantes no son soluciones de la teoría completa de la gravedad cuántica de lazos; más bien surgen como cuantización de un conjunto reducido de soluciones de la relatividad general clásica con técnicas de gravedad cuántica de lazos. No hay razón en general para esperar que estas sean soluciones exactas de la gravedad cuántica de lazos. La mecánica cuántica es peculiar: la cuantización puede llevar a muchas teorías no equivalentes, dependiendo de cómo proceda uno. Asumiendo que el universo es homogéneo desde el principio, uno obtiene una teoría con un numero finito (en lugar de infinito) de “grados de libertad”. Es bien sabido que las teorías cuánticas pueden comportarse distinto dependiendo de si tienen un numero finito o infinito de grado de libertad.

En sus seminarios ILQS, Jedrzej y Norbert presentaron resultados tendientes a reducir esta tensión. En el enfoque que presentaron, similar a lo que Schwarzschild y sus contemporáneos hicieron hace 100 años, uno identifica sistemas de coordenadas apropiados en los que la métrica del espacio-tiempo, representando al campo gravitatorio, esta representada. En una teoría cuántica donde la covariancia general esta implementada a nivel fundamental, esto requiere hacer lo que se conoce como “fijación de gauge”; la libertad de elegir coordenadas debe ser “fijada” consistentemente en la teoría cuántica. Fijaciones de gauge llevan a que uno trabaje con menos variables y uno tiene que preocuparse menos acerca de soluciones diferentes pero físicamente equivalentes relacionadas entre si por cambios de coordenadas. Con colaboradores en Varsovia, Jedrzej y Norbert han hecho progresos en estos temas en los años recientes.

El segundo paso, después de elegir un sistema de coordenadas conveniente (piénsese en las coordenadas esféricas para tratar un agujero negro de Schwarzschild), es hacer una “reducción de simetría” en la teoría cuántica completa: en lugar de focalizarse en los universos cuánticos más generales uno lo hace en los que tienen una cierta propiedad de simetría. Norbert mostró una estrategia detallada para hacer eso. Uno identifica una ecuación satisfecha por todas las soluciones clásicas con la simetría deseada, por ejemplo isotropía (verse igual en todas las direcciones). La versión cuántica de esta ecuación se impone sobre la gravedad cuántica de lazos, llevando a una definición completamente cuántica de simetrías como “isotropía” o “simetría esférica” en gravedad cuántica de lazos. La aplicación obvia de este mecanismo, que está siendo explorada actualmente, es la identificación de solución cosmológicas y de agujeros negros en gravedad cuántica de lazos, estudiar su dinámica y verificar que los resultados que se obtienen están de acuerdo con los encontrados en los modelos mas simples finito-dimensionales que describimos más arriba. En particular a uno le gustaría saber si las singularidades dentro de los agujeros negros o el Big Bang, donde la teoría de Einstein deja de funcionar, son resueltas por la teoría cuántica, como se espera.

Jedrzej también mostró como los métodos desarrollados en diferentes “fijaciones de gauge” para la relatividad general pueden ser aplicados para resolver un tema disputado en la correspondencia AdS/CFT que aparece en teoría de cuerdas., donde uno se enfrenta a un problema similar de fijar la gran libertad existente de cambiar coordenadas para establecer las propiedades invariantes del espacio-tiempo. En particular, un cierto tipo de fijación de gauge ha sido discutido en AdS/CFT, que lleva a consecuencias poco familiares como la no localidad en la teoría con el gauge fijado. Las herramientas desarrolladas por Jedrzej y sus colaboradores pueden ser usadas para clarificar en forma precisa como ocurre la no localidad. Entonces proveen un ejemplo inusual de aplicación de métodos desarrollados para gravedad cuántica de lazos en un contexto motivado por teoría de cuerdas, un ejemplo claramente positivo que quizá inspire más trabajo en conexiones cercanas entre métodos usados en estas dos comunidades de investigadores.



Monday, May 25, 2015

Separabilidad y mecánica cuántica


Tuesday, Apr 21st
Fernando Barbero, CSIC, Madrid 
Title: Separability and quantum mechanics 
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by Juan Margalef-Bentabol, UC3M-CSIC, Madrid

Mecánica Clásica vs Mecánica Cuántica: Dos visiones del mundo

En mecánica clásica es relativamente sencillo obtener información de un sistema. Por ejemplo, si tenemos unas cuantas partículas en movimiento, podemos preguntarnos: ¿dónde está su centro de masa? ¿Cuál es la velocidad media de las partículas? ¿Cuál es la distancia entre dos de ellas? Para poder plantear y responder estas preguntas de una manera matemáticamente precisa, necesitamos conocer todas las posiciones y velocidades del sistema en cada instante; en la jerga habitual, tenemos que conocer la dinámica sobre el espacio de estados (también llamado espacio de configuraciones para las posiciones y velocidades, o espacio de fases si consideramos las posiciones y momentos). Por ejemplo, la forma adecuada para preguntar sobre el centro de masas, viene dada por la función que para cada estado específico del sistema, da la media ponderada de las posiciones de todas las partículas. Otro ejemplo sería la cantidad de movimiento total del sistema, que viene dada por la función suma de los momentos de todas las partículas individuales. Tales funciones se llaman observables de la teoría, por lo tanto, un observable se define como una función que toma todas las posiciones y momentos, y devuelve un número real. Entre todos los observables hay algunos que se pueden considerar como fundamentales. Un ejemplo bien conocido serían las posiciones y momentos generalizados, denotados por y .

Sin embargo en un contexto cuántico responder, e incluso plantear, tales preguntas es mucho más complicado. Se puede justificar que los ingredientes clásicos necesarios se tienen que cambiar de manera significativa:
  1. El espacio de estados es ahora mucho más complicado, en lugar de las posiciones y velocidades/momentos necesitamos un espacio vectorial complejo (generalmente de dimensión infinita) dotado de un producto interior completo. Dicho espacio vectorial es un espacio de Hilbert y los vectores de se denominan estados (módulo una multiplicación compleja).
  2. Los observables son funciones de en sí mismo que "se comportan bien" con respecto al producto interior (llamados operadores autoadjuntos). Nótese que ahora ¡los resultados obtenidos por los observables cuánticos son vectores complejos en lugar de números reales!
  3. Cuando realizamos un experimento físico obtenemos números reales, por lo que de alguna manera tenemos que poder recuperarlos a partir del observable asociado con el experimento. La forma de hacerlo es a través del espectro de , que consiste en un conjunto de números reales llamados valores propios asociados con algunos vectores llamados vectores propios (en realidad el número que se obtiene es una amplitud de probabilidad cuyo valor absoluto al cuadrado nos da la probabilidad de obtener como resultado de la observación un vector propio específico).
Las preguntas que surgen de forma natural son: ¿cómo elegir el espacio de Hilbert? ¿cómo introducimos observables fundamentales análogos a los de la mecánica clásica? Para responder a estas preguntas tenemos que dedicar un momento a hablar brevemente sobre el álgebra de observables.

Álgebra de Observables

Dados dos observables clásicos, podemos construir otro aplicando diferentes métodos. Entre ellos, los más importantes son:
  • Sumándolos (son funciones reales)
  • Multiplicándolos
  • Mediante un procedimiento más sofisticado llamado corchete de Poisson
El último de ellos resulta ser fundamental en la mecánica clásica ya que juega un papel muy importante dentro de la formulación hamiltoniana de la dinámica del sistema. Un hecho fundamental es que el conjunto de observables dotado con el corchete de Poisson forma un álgebra de Lie (un espacio vectorial con una regla para obtener un elemento a partir de otros dos, que satisfacen algunas propiedades naturales). Los observables fundamentales se comportan muy bien con respecto al corchete de Poisson, a saber, satisfacen unas sencillas reglas de conmutación es decir, si tomamos el -ésimo observable posición y lo "Poisson-multiplicamos" por el -ésimo observable momento, obtenemos la función constante si , o la función constante si .

Uno de los mejores métodos para construir una teoría cuántica asociada a una clásica, es reproducir a nivel cuántico algunas características de su formulación clásica. Una forma de hacer esto es definir un álgebra de Lie para los observables cuánticos tales que algunos de esos observables imiten el comportamiento del corchete de Poisson de unos observables clásicos fundamentales. Este procedimiento (modulo algunos tecnicismos) se conoce como la búsqueda de una representación del álgebra.Para ello uno tiene que elegir:
  1. Un espacio de Hilbert .
  2. Algunos observables fundamentales que reproduzcan las relaciones de conmutación canónicas cuando consideramos el conmutador de operadores.
En Mecánica cuántica estándar los observables fundamentales son las posiciones y los momentos. A primera vista puede parecer que hay una gran ambigüedad en este procedimiento, sin embargo hay un teorema central debido a Stone y von Neumann que establece que, bajo algunas hipótesis razonables, todas las representaciones son esencialmente la misma.

Separabilidad

Una de las hipótesis del teorema de Stone-von Neumann es que el espacio de Hilbert sea separable. Esto significa que sea posible encontrar un conjunto numerable de vectores ortonormales en (llamada base de Hilbert) de tal forma que cualquier estado -vector- de se puede escribir como una suma numerable apropiada de ellos. Un espacio de Hilbert separable, a pesar de ser de dimensión infinita, no es "excesivamente grande", en el sentido de que existen espacios de Hilbert con bases no numerables que son genuinamente mayores. La condición de separabilidad parece natural en mecánica cuántica estándar, pero en el caso de la teoría cuántica de campos -con infinitos grados de libertad- uno podría esperar que fueran necesarios espacios de Hilbert mucho más grandes, es decir, no separables. Sorprendentemente, la mayoría de las teorías cuánticas de campos pueden ser manejados con nuestros queridos y "simples" espacios de Hilbert separables, pero con la notable excepción de la LQG (y su derivada la LQC) donde la no separabilidad juega un papel importante. Por tanto parece relevante entender qué ocurre cuando consideramos espacios de Hilbert no separables [3] en el contexto cuántico. Una forma natural para adquirir la intuición necesaria es considerando en primer lugar la mecánica cuántica en un espacio de Hilbert no separable.

El Oscilador Armónico Polimérico

Los autores de [2,3] discuten dos representaciones no equivalentes (entre las infinitas posibles) del álgebra de observables fundamentales, que comparten una característica inusual: en una de ellas (llamada la representación de posiciones) el observable posición está bien definido pero el observable momento ni siquiera existe; en la representación de los momentos se intercambian los papeles de las posiciones y los momentos. Obsérvese que en este contexto, algunas de las características más familiares de la mecánica cuántica se pierden completamente. Por ejemplo, la fórmula de incertidumbre posición-momento de Heisenberg, no tiene sentido en absoluto, ya que es necesario que ambos observables posición y momento estén definidos.

Para mejorar la comprensión de este tipo de sistemas y sobre todo en vistas a su aplicación en LQG y LQC, los autores de [1] (re)estudian el Oscilador Armónico -dimensional (OAP) en un espacio de Hilbert no separable (conocido en este contexto como espacio de Hilbert polimérico). Como el espacio es no separable, cualquier base de Hilbert será no numerable. Esto da lugar a algunos comportamientos inesperados que pueden ser utilizados para obtener representaciones exóticas del álgebra de observables fundamentales.

La motivación para el estudio del OAP es más o menos la misma de siempre: el OA, además de ser un modelo de juguete excelente, es una buena aproximación a cualquier sistema mecánico unidimensional cerca de sus puntos de equilibrio. Por otra parte, las teorías cuánticas de campos libres pueden ser consideradas como conjuntos de infinitos OA independientes. Es importante tener en cuenta que hay muchas maneras de generalizar el OA a un espacio de Hilbert no separable y también muchas formas equivalentes para realizar una representación concreta, por ejemplo mediante el uso de espacios de Hilbert basados en:
La ecuación para los valores propios de estos espacios toman diferentes formas: en algunos de ellos son ecuaciones en diferencias, mientras que en otros tienen la forma de la ecuación de Schrödinger estándar con un potencial periódico. Es importante notar, sin embargo, que la escritura de observables hamiltonianos en este contexto resulta muy complicada ya que sólo uno de los observables (posición o momento) puede ser estrictamente representado. Esto significa que para el otro, es necesario confiar en algún tipo de aproximación (que se puede obtener mediante la introducción de una escala arbitraria) y la elección de un potencial periódico con mínimos correspondiente al del operador cuadrático. La enorme ambigüedad en este procedimiento ha sido destacada por Corichi, Zapata, Vukašinac y colaboradores. La elección estándar conduce a una ecuación conocida como la ecuación de Mathieu pero otras alternativas simples han sido explorados, como la que se muestra en la figura



Valores propios de la energía (bandas) de un oscilador armónico polimérico. El eje horizontal muestra la posición (o el momento en función de la representación escogida), el eje vertical es la energía y la línea roja representa la extensión periódica particular del potencial utilizado para aproximar el potencial cuadrático habitual del OA. Las otras líneas trazadas en este gráfico corresponden a funciones auxiliares que se pueden utilizar para localizar los bordes de las bandas que definen el espectro puntual en este ejemplo concreto.
Como ya hemos mencionado, las bases ortonormales en espacios no separables de Hilbert son no numerables. Como consecuencia se obtiene el hecho de que la base ortonormal asociada a los estados propios del hamiltoniano debe ser no numerable, es decir, el hamiltoniano debe tener una cantidad infinita no numerable de valores propios (contados con multiplicidad). Un resultado algo inesperado que puede probarse mediante el uso de teoremas clásicos de análisis funcional en espacios de Hilbert no separables, es el hecho de que estos valores propios se agrupan en bandas. Es importante señalar aquí que, aunque sería esperable que el espectro polimérico reproduzca razonablemente bien el espectro del OA, ello únicamente ocurre para la parte baja del espectro. Además es importante tener en cuenta la gran diferencia que persiste: incluso las bandas más estrechas contienen un continuo de valores propios.

Algunas consecuencias físicas

El hecho de que el espectro del oscilador armónico polimérico esté estructurado en bandas es relevante para algunas aplicaciones de la mecánica cuántica polimérica. Dos aspectos relevantes fueron mencionados durante la charla. Por un lado la mecánica estadística de los sistemas poliméricos deben manipularse con el debido cuidado. Debido a las características del espectro, el recuento de los estados propios de energía necesario para calcular la entropía en la colectividad microcanónica está mal definida. Un problema similar surge cuando se calcula la función de partición de la colectividad canónica. Estos problemas probablemente puedan eludirse mediante una regularización adecuada y también apoyándose en algunas reglas de superselección que eliminen todos los estados propios de energía del sistema menos un subconjunto numerable.

 Un contexto en el que algo similar se puede llevar a cabo es en la cuantización polimérica del campo escalar (ya considerada por Husain, Pawłowski y colaboradores). Como este sistema se puede considerar como un conjunto infinito de osciladores armónicos, las características específicas de su cuantización (polimérica) jugarán un papel importante. Una manera de evitar algunas dificultades aquí también se basa en la eliminación de los valores propios de la energía no deseados mediante la imposición de normas de superselección, siempre y cuando puedan justificarse físicamente.

Bibliography

[1] J.F. Barbero G., J. Prieto and E.J.S. Villaseñor, Band structure in the polymer quantization of the harmonic oscillator, Class. Quantum Grav. 30 (2013) 165011.
[2] W. Chojnacki, Spectral analysis of Schrodinger operators in non-separable Hilbert spaces, Rend. Circ. Mat. Palermo (2), Suppl. 17 (1987) 135–51.
[3] H. Halvorson, Complementarity of representations in quantum mechanics, Stud. Hist. Phil. Mod. Phys. 35 (2004) 45-56.

Tuesday, May 5, 2015

Cosmología con condensados de teoría de campos de grupos

Tuesday, Feb 24th
Steffen Gielen, Imperial College 
Title: Cosmology with group field theory condensates 
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by Mercedes Martín-Benito, Rabdoud University


Uno de los principales interrogantes de la física es cómo la gravedad (o, en otras palabras, la geometría del espacio-tiempo) se comporta cuando las densidades de energía son enormes, del orden de la densidad de Planck. La teoría de la gravedad más fiable de la que disponemos, la relatividad general de Einstein, falla a la hora de describir los fenómenos gravitatorios en regímenes de densidades de energía muy altas, ya que ahí esta teoría presenta, de forma genérica, singularidades. Dichos regímenes se alcanzan por ejemplo en el origen del universo o en el interior de agujeros negros, y por tanto todavía no disponemos de una explicación consistente para esos fenómenos. En esas situaciones pensamos que los efectos cuánticos de la gravedad deben ser importantes, sin embargo la relatividad general los ignora, ya que es una teoría que trata el espacio-tiempo como si fuera completamente clásico. En consecuencia, parece inevitable tener que cuantizar la gravedad para poder describir los agujeros negros o el universo primitivo de una manera físicamente correcta.

La cuantización de la gravedad no sólo requiere conseguir una teoría que matemáticamente esté bien definida y que tenga poder de predicción, si no que además necesita que podamos comparar las predicciones con observaciones para constatar que concuerdan. Puede parecer que los regímenes en los que la gravedad cuántica desempeña un papel fundamental, tales como agujeros negros o el universo primitivo, están muy lejos de nuestro alcance observacional y experimental. Sin embargo, gracias al enorme progreso que la cosmología de precisión ha sufrido en las últimas décadas, cabe la posibilidad de que en el futuro cercano seamos capaces de obtener datos observacionales sobre los primeros instantes del universo y que sean sensibles a efectos de gravedad cuántica. Para estar preparados para ese momento necesitamos extraer predicciones cosmológicas de nuestras propuestas a teorías de gravedad cuántica.

Este es el principal objetivo del análisis de Steffen. Él centra su investigación en la propuesta de gravedad cuántica llamada Teoría de Campos sobre Grupos (GFT por sus siglas en inglés – Group Field Theory).  La GFT se basa en definir una integral de camino para la gravedad, es decir, en reemplazar la noción clásica de solución única para la geometría del espacio-tiempo por una suma sobre un infinito de posibilidades, para así calcular una amplitud cuántica. El formalismo empleado es similar al de la teoría cuántica de campos convencional que se usa en física de partículas. Ahí, dado un proceso que involucre partículas, las diferentes interacciones entre ellas que contribuyen a dicho proceso se describen por los llamados diagramas de Feynman, que después se suman de un modo consistente para finalmente dar lugar a la amplitud de transición del proceso que estamos intentando describir. La GFT adopta esa estrategia. Los diagramas de Feynman correspondientes son <<espumas de espín>> (spinfoams en inglés), y representan los diferentes procesos dinámicos que contribuyen a una configuración particular del espacio-tiempo. La GFT está entonces relacionada con la Gravedad Cuántica de Lazos (LQG por sus siglas en inglés – Loop Quantum Gravity), ya que las espumas de espín son una de las propuestas principales para definir la dinámica del espacio-tiempo en LQG. La expansión de Feynman en la GFT extiende y completa esta definición de la dinámica de LQG, intentando determinar cómo tienen que sumarse de una manera controlada estos diagramas para obtener la amplitud cuántica correspondiente. 

La GFT es una teoría fundamentalmente discreta, con un número muy grande de grados de libertad microscópicos. Puede que estos grados de libertad se organicen siguiendo de algún modo un comportamiento colectivo, y que este comportamiento dé lugar a diferentes fases. La esperanza es encontrar una fase que coincida en el límite continuo con un espacio-tiempo suave, como el descrito por la teoría clásica de la relatividad general. De esta manera, tendríamos la conexión entre la teoría cuántica subyacente y la teoría clásica que explica muy bien los fenómenos gravitatorios en regímenes en los que los efectos cuánticos de la de gravedad son despreciables. Para entender esto, hagamos la analogía con una teoría más familiar: la hidrodinámica.
Sabemos que los constituyentes microscópicos de un fluido son las moléculas. La dinámica de estos micro-constituyentes es intrínsecamente cuántica, no obstante estos grados de libertad presentan un comportamiento colectivo que da lugar a las propiedades macroscópicas del fluido, tales como su densidad, su velocidad, etc. Para estudiar estas propiedades es suficiente con aplicar la teoría clásica de la hidrodinámica. Sin embargo sabemos que ésta no es la teoría fundamental que describe el fluido, sino una descripción efectiva que se deriva de la teoría cuántica subyacente (la teoría de la materia condensada), que explica cómo los átomos forman las moléculas, y cómo éstas interaccionan entre ellas dando lugar al fluido.

Puede que el espacio-tiempo continuo al que estamos acostumbrados emerja, de una manera similar al ejemplo del fluido, del comportamiento colectivo de muchos ladrillos cuánticos, o átomos, de espacio-tiempo. Éste es, en palabras sencillas, el punto de vista empleado en la GFT.

Mientras que la propuesta a gravedad cuántica de la GFT todavía está en construcción, es suficientemente madura como para intentar extraer predicciones físicas de ella. Con este objetivo, Steffen y sus colaboradores están trabajando en obtener una dinámica efectiva para cosmología, partiendo para ello del marco general de la GFT. Las soluciones más sencillas de las ecuaciones de Einstein son aquellas que presentan homogeneidad espacial. Éstas resultan describir soluciones cosmológicas, que pueden aproximar bastante bien la dinámica de nuestro universo a gran escala. Entonces, para obtener ecuaciones cosmológicas efectivas desde su GFT, ellos postulan estados cuánticos muy particulares que, mientras que involucran a todos los grados de libertad de la GFT, son estados con propiedades colectivas que pueden dar lugar a una descripción continua y homogénea. Las similitudes entre la GFT y la física de la materia condensada les permite a Steffen y a sus colaboradores hacer uso de las técnicas desarrolladas en materia condensada. En particular, basados en la experiencia con condensados de Bose-Einstein, los estados que ellos consideran pueden interpretarse como condensados.









El comportamiento colectivo de los grados de libertad da lugar en efecto a una descripción homogénea en el límite macroscópico. Las ecuaciones efectivas que ellos obtienen concuerdan en el límite clásico con ecuaciones cosmológicas, pero hay que enfatizar que retienen los principales efectos de la teoría cuántica subyacente. Más concretamente, estas ecuaciones efectivas contienen información sobre la discretización a nivel fundamental, ya que reciben correcciones explícitas (que no están presentes en las ecuaciones clásicas estándar) que dependen del número de cuantos (átomos de espacio-tiempo) que contiene el condensado. Estos resultados son la base de un programa general que tiene como fin extraer la dinámica efectiva en cosmología directamente desde una teoría microscópica y no perturbativa de la gravedad cuántica.



Monday, November 24, 2014

La teoría cuántica a partir de principios de inferencia de información.

Martes, Nov 11 2014
Philipp Hoehn, Perimeter Institute 
Title: Quantum theory from information inference principles 
PDF of the talk (800k)
Audio [.wav 40MB]


Por Matteo Smerlak, Perimeter Institute


 Cuando una teoría nueva entra en escena en la física, una sucesión de eventos suele tener lugar: al principio a nadie le importa; luego una minoría comienza a jugar con las matemáticas mientras que la mayoría insiste que la teoría esta obviamente mal; más adelante uno encuentra a la mayoría usando la matemática en forma cotidiana y todos arguyendo que la teoría es tan hermosa que sólo puede ser correcta; por el camino, gracias a años de práctica, un nuevo tipo de intuición surge del formalismo, y nuestra visión de la realidad cambia en forma acorde. Este es el proceso de la ciencia.


Sin embargo, por alguna razón, la eventual transición de formalismo a intuición nunca ocurrió para la mecánica cuántica (MC). Noventa años desde su descubrimiento los especialistas aún llaman a la MC “extraña”, los profesores aún citan a Feynman diciendo que “nadie entiende realmente a la MC”, y filósofos aún discuten si la MC nos requiere ser “antirealistas”, “neo-Kantianos”, “Bayesianos”… etc. Niels Bohr quería que las teorías nuevas fueran “lo suficientemente locas”, pero parece que esta es demasiado loca. ¡Y aun así funciona!

A la luz de esta incógnita, una escuela de pensamiento iniciada por Birkhoff y von Neumann en los años 30 ha declarado como su misión reconstruir la MC. La idea es simple: si no entiendes como funciona la maquina, arremángate, desarma la maquina y reconstrúyela, de cero. De hecho esto es como Einstein lidio con el grupo de simetrías de las ecuaciones Maxwell (y su acción misteriosa sobre distancias y tiempos): encontró dos principios físicos intuitivos –los principios de relatividad- y dedujo el grupo de Lorentz (la simetría de las ecuaciones de Maxwell) de los mismos. Así fue como “se entendió realmente” la relatividad especial.







Bastante trabajo reciente hacia la reconstrucción de la MC ha tenido lugar en el marco llamado “teorías de la probabilidad generalizadas” (TPG). Este enfoque elabora sobre nociones básicas como preparaciones, transformaciones y  medidas. El principal logro de la TPG ha sido posicionar la MC dentro de una arena más general  de posibles modificaciones de la teoría clásica de probabilidades. Se ha mostrado por ejemplo que la MC no es la teoría más no-local compatible con la propiedad conocida como “non-signaling” en Ingles: correlaciones más fuertes que el entrelazado cuántico son en principio posibles, si bien no aparecen en la naturaleza. Para entender lo que es, debemos saber que otra cosa pudo haber sido, claman los proponentes de la TPG.

Philipp usa un lenguaje distinto para su reconstrucción de la MC: en lugar de mediciones y estados, habla de preguntas y respuestas. La transición semántica no es inocente: mientras que una “medición” revela un estado intrínseco, una “pregunta” solo lleva información a quien la hace. Esto es, una pregunta relaciona dos entidades (el sistema y el observador/interrogador) en lugar de una (el sistema). Porque no hay alguien ahí afuera que pueda preguntar sobre todo, no existe tal cosa como un “estado del universo” afirma Philipp.


Este enfoque “relacional” de preguntas y respuestas de la MC fue propuesto hace 20 años por Rovelli, que enfatizó su similaridad con la estructura de la gravitación (el tiempo es relativo, ¿recuerdan? El también propuso dos principios básicos de la información: uno dice que la información total que un observador O puede recolectar acerca de un sistema S es limitada; el segundo especifica que, aún cuando O ha obtenido la máxima cantidad de información sobre S, aún puede aprender algo sobre S haciendo otras preguntas “complementarias”. Este es el origen de los operadores no conmutativos. Ideas similares han sido discutidas independientemente por Zeilinger y Brukner y Philipp adhiere a las mismas con entusiasmo.

Pero también toma un gran paso adelante. Agregando cuatro postulados más a los de Rovelli (que llama completitud, preservación, evolución temporal y localidad), Philipp  muestra como reconstruir el conjunto S de todos los posibles estados de S relativos a O (juntamente a su grupo de isometrías, representando posibles evoluciones temporales). Para un sistema cuántico que permite una sola pregunta independiente (un cubit), S es una esfera tridimensional conocida como esfera de Bloch. (Notar que una esfera tridimensional es un espacio mucho mas grande que una esfera unidimensional, el espacio de estados de un bit clásico –origen de la computación cuántica…) Para sistemas con más preguntas independientes, por ejemplo N cubits, S es la estructura matemática conocida como  cono convexo sobre un espacio proyectivo complejo, no precisamente lo que se conoce como una variedad de Calabi-Yau pero aun así un desafío para que la mente lo visualice.


El caso N=2 resulta ser el más difícil: una vez que está resuelto –Philipp dice que le tomo un año entero con la ayuda de su colaborador Chris Wever, los casos con N’s mas altos se siguen más o menos directamente. Esto es el reflejo de un aspecto crucial de la MC: los sistemas cuánticos son “monógamos”, solo pueden establecer correlaciones fuertes (“entrelazado cuántico”) con una contrapartida a la vez. La formulación de preguntas/respuestas de Philipp provee un nuevo y detallado entendimiento de esta peculiar estructura de correlación, que el representa como un mosaico esférico. “¡La MC es hermosa!”, dice Philipp.



Una limitación del enfoque actual de Philipp –también notada por la audiencia- es la restricción a preguntas binarias (si/no). Una partícula de espín 1 por ejemplo, no puede ser incluida por el momento en el enfoque dado que puede dar tres respuestas distintas a la pregunta “cual es su espín en la dirección z”, “arriba”, “abajo” o “cero”. ¿Podrá Philipp lidiar con una pregunta ternaria como esa y reconstruir el espacio de estados ocho dimensional de un “trit” cuántico? Le deseamos que encuentre la respuesta dentro de… ¡menos de un año!