Friday, March 11, 2016

Reducciones de simetría en gravedad cuántica de lazos





Tuesday, Dec. 8th
Norbert Bodendorfer, Univ. Warsaw 
Title: Quantum symmetry reductions based on classical gauge fixings 
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YouTube.

Tuesday, Nov. 10th
Jedrzej Swiezewski, Univ. Warsaw 
Title: Developments on the radial gauge 
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por Steffen Gielen, Imperial College

Hace algunos meses, físicos alrededor del mundo celebraron el centenario de las ecuaciones de la relatividad general, presentadas por Einstein a la Academia Prusiana de Ciencias en Noviembre de 1915. Llegar a las ecuaciones correctas fue la culminación de un increíble esfuerzo intelectual por Einstein, motivado fundamentalmente por requerimientos matemáticos (reemplazando a la teoría de Newton de la gravitación, que terminó siendo incompleta) que debía satisfacer la teoría. En particular, Einstein se dio cuenta que las ecuaciones de campo debían ser generalmente covariantes - debían tomar la misma forma en cualquier sistema de coordenadas que uno usara para calcular, digamos como coordenadas Cartesianas, cilíndricas o esféricas. Esta propiedad diferencia a las ecuaciones de la relatividad general de las leyes del movimiento de Newton, donde cambiar sistema de coordenadas puede llevar a la aparición de "fuerzas" adicionales como la centrípeta o la de Coriolis. 

Muchas conferencias tuvieron lugar honrando el aniversario del logro de Einstein. Lo que se discutió en dichas conferencias fue parcialmente el contexto histórico, la belleza de las ecuaciones o el significado matemático y conceptual de la covariancia general. Sin embargo, el legado más importante de la relatividad general y la inspiración más importante para las investigaciones modernas ha sido los nuevos fenómenos físicos que aparecen en la relatividad general  y no en la teoría de Newton: los agujeros negros son regiones del espacio-tiempo donde la gravedad se vuelve tan fuerte que ni la luz puede escapar; el fuerte campo gravitatorio fuera de un agujero negro conlleva una dilatación temporal tan importante que una hora cerca de un agujero negro puede corresponder a años en la Tierra, como se mostró recientemente en el film Interstellar; también creemos que el universo se expande como un todo, y lo ha estado haciendo desde el Big Bang que se cree es el comienzo del espacio y del tiempo.

Para entender estas consecuencias dramáticas de las ecuaciones de Einstein, los físicos han tenido que resolver dichas ecuaciones. Esto es bastante difícil en general: las ecuaciones de Einstein son ecuaciones diferenciales complicadas para diez funciones dependientes del tiempo y de tres coordenadas espaciales, que codifican el campo gravitatorio de un espacio-tiempo. Además, la atractiva propiedad conceptual de la covariancia general significa que soluciones aparentemente diferentes de las ecuaciones pueden ser simplemente la misma configuración física vista en coordenadas distintas. De hecho ambos temas - encontrar soluciones a las ecuaciones y entender su significado- fueron desafíos importantes en los primeros días de la teoría, cuando los físicos trataron de entender las ecuaciones de Einstein. 

A pesar de este formidable desafío el teniente prusiano de artillería Karl Schwarzschild, mientras prestaba servicio en el Frente Oriental de la Primera Guerra Mundial, pudo obtener una solución exacta de las ecuaciones de Einstein en vacío a pocas semanas de su publicación, para sorpresa de Einstein mismo. Esta solución, conocida ahora como la solución de Schwarzschild, describe un agujero negro, y es una de las soluciones más importantes de la relatividad general. Lo que Schwarzschild hizo para resolver las ecuaciones fue suponer una simetría de la solución: supuso que la configuración de campo gravitatorio debía ser esféricamente simétrica. En coordenadas esféricas, en donde cada punto del espacio es especificado por una coordenada radial y dos angulares, debería ser independiente  de cualquier cambio en las direcciones angulares. Esto quiere decir que uno describe al espacio como una colección de esferas regulares concéntricas. Lo que Schwarzschild encontró fue que las esferas no tenían que ser pegadas entre si para dar el espacio usual plano, pero uno podía formar una geometría curvada con ellas, con la curvatura incrementándose cuando uno se dirige hacia el centro (eventualmente formando el agujero negro), y aún así resolver las ecuaciones de Einstein. Para hacer el cálculo, Schwarzschild tuvo que elegir un sistema de coordenadas adecuado, explotando la propiedad de covariancia general a su favor.


Esta estrategia de encontrar soluciones es típica de los que trabajan en relatividad general: soluciones cosmológicas similarmente pueden encontrarse suponiendo que el universo se ve de la misma manera en cada punto y en cada dirección en el espacio (matemáticamente hablando es homogéneo e isótropo), y solo cambia en el tiempo. Esto reduce el problema de resolver las ecuaciones de Einstein a una tarea mucho más simple, y soluciones explícitas se pueden escribir, nuevamente en sistemas de coordenadas adecuados. Estas simples soluciones ya exhiben las características principales de nuestro universo (expansión global y una singularidad tipo Big Bang (Gran Explosión) al comienzo) y son bastante realistas –de hecho nuestro universo exhibe sólo pequeñas variaciones entre regiones de gran escala, y a las escalas más grandes está bien descripto por una geometría que simplemente se igual en todos los puntos del espacio.

La gravedad cuántica de lazos es un enfoque para cuantizar la relatividad general, apuntando a extender la relatividad general haciéndola compatible con la mecánica cuántica. Lo que la distingue de otros enfoques es que la principal propiedad de la relatividad general, la covariancia general, es tomada como un principio rector para construir la teoría cuántica. En algunos aspectos el estatus de la gravedad cuántica de lazos puede compararse a los primeros días de la relatividad general: mientras que sabemos que una teoría cuántica compatible con la covariancia general se puede construir y su estructura matemática está bien entendida, uno ahora debe entender los nuevos fenómenos físicos que la cuantización implica, más allá de la relatividad general. Así como en el tiempo posterior a noviembre de 1915, los físicos hoy deben encontrar soluciones explícitas a las ecuaciones de la gravedad cuántica de lazos que puedan usarse para estudiar las implicaciones físicas del (relativamente) nuevo enfoque.

Uno de los principales éxitos de la gravedad cuántica de lazos ha sido su aplicación a cosmología. Soluciones homogéneas de las ecuaciones de Einstein que describen aproximadamente nuestro universo reciben modificaciones una vez que se usan técnicas de gravedad cuántica de lazos, que conllevan a la resolución de la singularidad del Big Bang reemplazándola con un Big Bounce (gran rebote), con efectos potencialmente observables. Sin embargo los modelos del universo resultantes no son soluciones de la teoría completa de la gravedad cuántica de lazos; más bien surgen como cuantización de un conjunto reducido de soluciones de la relatividad general clásica con técnicas de gravedad cuántica de lazos. No hay razón en general para esperar que estas sean soluciones exactas de la gravedad cuántica de lazos. La mecánica cuántica es peculiar: la cuantización puede llevar a muchas teorías no equivalentes, dependiendo de cómo proceda uno. Asumiendo que el universo es homogéneo desde el principio, uno obtiene una teoría con un numero finito (en lugar de infinito) de “grados de libertad”. Es bien sabido que las teorías cuánticas pueden comportarse distinto dependiendo de si tienen un numero finito o infinito de grado de libertad.

En sus seminarios ILQS, Jedrzej y Norbert presentaron resultados tendientes a reducir esta tensión. En el enfoque que presentaron, similar a lo que Schwarzschild y sus contemporáneos hicieron hace 100 años, uno identifica sistemas de coordenadas apropiados en los que la métrica del espacio-tiempo, representando al campo gravitatorio, esta representada. En una teoría cuántica donde la covariancia general esta implementada a nivel fundamental, esto requiere hacer lo que se conoce como “fijación de gauge”; la libertad de elegir coordenadas debe ser “fijada” consistentemente en la teoría cuántica. Fijaciones de gauge llevan a que uno trabaje con menos variables y uno tiene que preocuparse menos acerca de soluciones diferentes pero físicamente equivalentes relacionadas entre si por cambios de coordenadas. Con colaboradores en Varsovia, Jedrzej y Norbert han hecho progresos en estos temas en los años recientes.

El segundo paso, después de elegir un sistema de coordenadas conveniente (piénsese en las coordenadas esféricas para tratar un agujero negro de Schwarzschild), es hacer una “reducción de simetría” en la teoría cuántica completa: en lugar de focalizarse en los universos cuánticos más generales uno lo hace en los que tienen una cierta propiedad de simetría. Norbert mostró una estrategia detallada para hacer eso. Uno identifica una ecuación satisfecha por todas las soluciones clásicas con la simetría deseada, por ejemplo isotropía (verse igual en todas las direcciones). La versión cuántica de esta ecuación se impone sobre la gravedad cuántica de lazos, llevando a una definición completamente cuántica de simetrías como “isotropía” o “simetría esférica” en gravedad cuántica de lazos. La aplicación obvia de este mecanismo, que está siendo explorada actualmente, es la identificación de solución cosmológicas y de agujeros negros en gravedad cuántica de lazos, estudiar su dinámica y verificar que los resultados que se obtienen están de acuerdo con los encontrados en los modelos mas simples finito-dimensionales que describimos más arriba. En particular a uno le gustaría saber si las singularidades dentro de los agujeros negros o el Big Bang, donde la teoría de Einstein deja de funcionar, son resueltas por la teoría cuántica, como se espera.

Jedrzej también mostró como los métodos desarrollados en diferentes “fijaciones de gauge” para la relatividad general pueden ser aplicados para resolver un tema disputado en la correspondencia AdS/CFT que aparece en teoría de cuerdas., donde uno se enfrenta a un problema similar de fijar la gran libertad existente de cambiar coordenadas para establecer las propiedades invariantes del espacio-tiempo. En particular, un cierto tipo de fijación de gauge ha sido discutido en AdS/CFT, que lleva a consecuencias poco familiares como la no localidad en la teoría con el gauge fijado. Las herramientas desarrolladas por Jedrzej y sus colaboradores pueden ser usadas para clarificar en forma precisa como ocurre la no localidad. Entonces proveen un ejemplo inusual de aplicación de métodos desarrollados para gravedad cuántica de lazos en un contexto motivado por teoría de cuerdas, un ejemplo claramente positivo que quizá inspire más trabajo en conexiones cercanas entre métodos usados en estas dos comunidades de investigadores.



Monday, May 25, 2015

Separabilidad y mecánica cuántica


Tuesday, Apr 21st
Fernando Barbero, CSIC, Madrid 
Title: Separability and quantum mechanics 
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by Juan Margalef-Bentabol, UC3M-CSIC, Madrid

Mecánica Clásica vs Mecánica Cuántica: Dos visiones del mundo

En mecánica clásica es relativamente sencillo obtener información de un sistema. Por ejemplo, si tenemos unas cuantas partículas en movimiento, podemos preguntarnos: ¿dónde está su centro de masa? ¿Cuál es la velocidad media de las partículas? ¿Cuál es la distancia entre dos de ellas? Para poder plantear y responder estas preguntas de una manera matemáticamente precisa, necesitamos conocer todas las posiciones y velocidades del sistema en cada instante; en la jerga habitual, tenemos que conocer la dinámica sobre el espacio de estados (también llamado espacio de configuraciones para las posiciones y velocidades, o espacio de fases si consideramos las posiciones y momentos). Por ejemplo, la forma adecuada para preguntar sobre el centro de masas, viene dada por la función que para cada estado específico del sistema, da la media ponderada de las posiciones de todas las partículas. Otro ejemplo sería la cantidad de movimiento total del sistema, que viene dada por la función suma de los momentos de todas las partículas individuales. Tales funciones se llaman observables de la teoría, por lo tanto, un observable se define como una función que toma todas las posiciones y momentos, y devuelve un número real. Entre todos los observables hay algunos que se pueden considerar como fundamentales. Un ejemplo bien conocido serían las posiciones y momentos generalizados, denotados por y .

Sin embargo en un contexto cuántico responder, e incluso plantear, tales preguntas es mucho más complicado. Se puede justificar que los ingredientes clásicos necesarios se tienen que cambiar de manera significativa:
  1. El espacio de estados es ahora mucho más complicado, en lugar de las posiciones y velocidades/momentos necesitamos un espacio vectorial complejo (generalmente de dimensión infinita) dotado de un producto interior completo. Dicho espacio vectorial es un espacio de Hilbert y los vectores de se denominan estados (módulo una multiplicación compleja).
  2. Los observables son funciones de en sí mismo que "se comportan bien" con respecto al producto interior (llamados operadores autoadjuntos). Nótese que ahora ¡los resultados obtenidos por los observables cuánticos son vectores complejos en lugar de números reales!
  3. Cuando realizamos un experimento físico obtenemos números reales, por lo que de alguna manera tenemos que poder recuperarlos a partir del observable asociado con el experimento. La forma de hacerlo es a través del espectro de , que consiste en un conjunto de números reales llamados valores propios asociados con algunos vectores llamados vectores propios (en realidad el número que se obtiene es una amplitud de probabilidad cuyo valor absoluto al cuadrado nos da la probabilidad de obtener como resultado de la observación un vector propio específico).
Las preguntas que surgen de forma natural son: ¿cómo elegir el espacio de Hilbert? ¿cómo introducimos observables fundamentales análogos a los de la mecánica clásica? Para responder a estas preguntas tenemos que dedicar un momento a hablar brevemente sobre el álgebra de observables.

Álgebra de Observables

Dados dos observables clásicos, podemos construir otro aplicando diferentes métodos. Entre ellos, los más importantes son:
  • Sumándolos (son funciones reales)
  • Multiplicándolos
  • Mediante un procedimiento más sofisticado llamado corchete de Poisson
El último de ellos resulta ser fundamental en la mecánica clásica ya que juega un papel muy importante dentro de la formulación hamiltoniana de la dinámica del sistema. Un hecho fundamental es que el conjunto de observables dotado con el corchete de Poisson forma un álgebra de Lie (un espacio vectorial con una regla para obtener un elemento a partir de otros dos, que satisfacen algunas propiedades naturales). Los observables fundamentales se comportan muy bien con respecto al corchete de Poisson, a saber, satisfacen unas sencillas reglas de conmutación es decir, si tomamos el -ésimo observable posición y lo "Poisson-multiplicamos" por el -ésimo observable momento, obtenemos la función constante si , o la función constante si .

Uno de los mejores métodos para construir una teoría cuántica asociada a una clásica, es reproducir a nivel cuántico algunas características de su formulación clásica. Una forma de hacer esto es definir un álgebra de Lie para los observables cuánticos tales que algunos de esos observables imiten el comportamiento del corchete de Poisson de unos observables clásicos fundamentales. Este procedimiento (modulo algunos tecnicismos) se conoce como la búsqueda de una representación del álgebra.Para ello uno tiene que elegir:
  1. Un espacio de Hilbert .
  2. Algunos observables fundamentales que reproduzcan las relaciones de conmutación canónicas cuando consideramos el conmutador de operadores.
En Mecánica cuántica estándar los observables fundamentales son las posiciones y los momentos. A primera vista puede parecer que hay una gran ambigüedad en este procedimiento, sin embargo hay un teorema central debido a Stone y von Neumann que establece que, bajo algunas hipótesis razonables, todas las representaciones son esencialmente la misma.

Separabilidad

Una de las hipótesis del teorema de Stone-von Neumann es que el espacio de Hilbert sea separable. Esto significa que sea posible encontrar un conjunto numerable de vectores ortonormales en (llamada base de Hilbert) de tal forma que cualquier estado -vector- de se puede escribir como una suma numerable apropiada de ellos. Un espacio de Hilbert separable, a pesar de ser de dimensión infinita, no es "excesivamente grande", en el sentido de que existen espacios de Hilbert con bases no numerables que son genuinamente mayores. La condición de separabilidad parece natural en mecánica cuántica estándar, pero en el caso de la teoría cuántica de campos -con infinitos grados de libertad- uno podría esperar que fueran necesarios espacios de Hilbert mucho más grandes, es decir, no separables. Sorprendentemente, la mayoría de las teorías cuánticas de campos pueden ser manejados con nuestros queridos y "simples" espacios de Hilbert separables, pero con la notable excepción de la LQG (y su derivada la LQC) donde la no separabilidad juega un papel importante. Por tanto parece relevante entender qué ocurre cuando consideramos espacios de Hilbert no separables [3] en el contexto cuántico. Una forma natural para adquirir la intuición necesaria es considerando en primer lugar la mecánica cuántica en un espacio de Hilbert no separable.

El Oscilador Armónico Polimérico

Los autores de [2,3] discuten dos representaciones no equivalentes (entre las infinitas posibles) del álgebra de observables fundamentales, que comparten una característica inusual: en una de ellas (llamada la representación de posiciones) el observable posición está bien definido pero el observable momento ni siquiera existe; en la representación de los momentos se intercambian los papeles de las posiciones y los momentos. Obsérvese que en este contexto, algunas de las características más familiares de la mecánica cuántica se pierden completamente. Por ejemplo, la fórmula de incertidumbre posición-momento de Heisenberg, no tiene sentido en absoluto, ya que es necesario que ambos observables posición y momento estén definidos.

Para mejorar la comprensión de este tipo de sistemas y sobre todo en vistas a su aplicación en LQG y LQC, los autores de [1] (re)estudian el Oscilador Armónico -dimensional (OAP) en un espacio de Hilbert no separable (conocido en este contexto como espacio de Hilbert polimérico). Como el espacio es no separable, cualquier base de Hilbert será no numerable. Esto da lugar a algunos comportamientos inesperados que pueden ser utilizados para obtener representaciones exóticas del álgebra de observables fundamentales.

La motivación para el estudio del OAP es más o menos la misma de siempre: el OA, además de ser un modelo de juguete excelente, es una buena aproximación a cualquier sistema mecánico unidimensional cerca de sus puntos de equilibrio. Por otra parte, las teorías cuánticas de campos libres pueden ser consideradas como conjuntos de infinitos OA independientes. Es importante tener en cuenta que hay muchas maneras de generalizar el OA a un espacio de Hilbert no separable y también muchas formas equivalentes para realizar una representación concreta, por ejemplo mediante el uso de espacios de Hilbert basados en:
La ecuación para los valores propios de estos espacios toman diferentes formas: en algunos de ellos son ecuaciones en diferencias, mientras que en otros tienen la forma de la ecuación de Schrödinger estándar con un potencial periódico. Es importante notar, sin embargo, que la escritura de observables hamiltonianos en este contexto resulta muy complicada ya que sólo uno de los observables (posición o momento) puede ser estrictamente representado. Esto significa que para el otro, es necesario confiar en algún tipo de aproximación (que se puede obtener mediante la introducción de una escala arbitraria) y la elección de un potencial periódico con mínimos correspondiente al del operador cuadrático. La enorme ambigüedad en este procedimiento ha sido destacada por Corichi, Zapata, Vukašinac y colaboradores. La elección estándar conduce a una ecuación conocida como la ecuación de Mathieu pero otras alternativas simples han sido explorados, como la que se muestra en la figura



Valores propios de la energía (bandas) de un oscilador armónico polimérico. El eje horizontal muestra la posición (o el momento en función de la representación escogida), el eje vertical es la energía y la línea roja representa la extensión periódica particular del potencial utilizado para aproximar el potencial cuadrático habitual del OA. Las otras líneas trazadas en este gráfico corresponden a funciones auxiliares que se pueden utilizar para localizar los bordes de las bandas que definen el espectro puntual en este ejemplo concreto.
Como ya hemos mencionado, las bases ortonormales en espacios no separables de Hilbert son no numerables. Como consecuencia se obtiene el hecho de que la base ortonormal asociada a los estados propios del hamiltoniano debe ser no numerable, es decir, el hamiltoniano debe tener una cantidad infinita no numerable de valores propios (contados con multiplicidad). Un resultado algo inesperado que puede probarse mediante el uso de teoremas clásicos de análisis funcional en espacios de Hilbert no separables, es el hecho de que estos valores propios se agrupan en bandas. Es importante señalar aquí que, aunque sería esperable que el espectro polimérico reproduzca razonablemente bien el espectro del OA, ello únicamente ocurre para la parte baja del espectro. Además es importante tener en cuenta la gran diferencia que persiste: incluso las bandas más estrechas contienen un continuo de valores propios.

Algunas consecuencias físicas

El hecho de que el espectro del oscilador armónico polimérico esté estructurado en bandas es relevante para algunas aplicaciones de la mecánica cuántica polimérica. Dos aspectos relevantes fueron mencionados durante la charla. Por un lado la mecánica estadística de los sistemas poliméricos deben manipularse con el debido cuidado. Debido a las características del espectro, el recuento de los estados propios de energía necesario para calcular la entropía en la colectividad microcanónica está mal definida. Un problema similar surge cuando se calcula la función de partición de la colectividad canónica. Estos problemas probablemente puedan eludirse mediante una regularización adecuada y también apoyándose en algunas reglas de superselección que eliminen todos los estados propios de energía del sistema menos un subconjunto numerable.

 Un contexto en el que algo similar se puede llevar a cabo es en la cuantización polimérica del campo escalar (ya considerada por Husain, Pawłowski y colaboradores). Como este sistema se puede considerar como un conjunto infinito de osciladores armónicos, las características específicas de su cuantización (polimérica) jugarán un papel importante. Una manera de evitar algunas dificultades aquí también se basa en la eliminación de los valores propios de la energía no deseados mediante la imposición de normas de superselección, siempre y cuando puedan justificarse físicamente.

Bibliography

[1] J.F. Barbero G., J. Prieto and E.J.S. Villaseñor, Band structure in the polymer quantization of the harmonic oscillator, Class. Quantum Grav. 30 (2013) 165011.
[2] W. Chojnacki, Spectral analysis of Schrodinger operators in non-separable Hilbert spaces, Rend. Circ. Mat. Palermo (2), Suppl. 17 (1987) 135–51.
[3] H. Halvorson, Complementarity of representations in quantum mechanics, Stud. Hist. Phil. Mod. Phys. 35 (2004) 45-56.

Tuesday, May 5, 2015

Cosmología con condensados de teoría de campos de grupos

Tuesday, Feb 24th
Steffen Gielen, Imperial College 
Title: Cosmology with group field theory condensates 
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by Mercedes Martín-Benito, Rabdoud University


Uno de los principales interrogantes de la física es cómo la gravedad (o, en otras palabras, la geometría del espacio-tiempo) se comporta cuando las densidades de energía son enormes, del orden de la densidad de Planck. La teoría de la gravedad más fiable de la que disponemos, la relatividad general de Einstein, falla a la hora de describir los fenómenos gravitatorios en regímenes de densidades de energía muy altas, ya que ahí esta teoría presenta, de forma genérica, singularidades. Dichos regímenes se alcanzan por ejemplo en el origen del universo o en el interior de agujeros negros, y por tanto todavía no disponemos de una explicación consistente para esos fenómenos. En esas situaciones pensamos que los efectos cuánticos de la gravedad deben ser importantes, sin embargo la relatividad general los ignora, ya que es una teoría que trata el espacio-tiempo como si fuera completamente clásico. En consecuencia, parece inevitable tener que cuantizar la gravedad para poder describir los agujeros negros o el universo primitivo de una manera físicamente correcta.

La cuantización de la gravedad no sólo requiere conseguir una teoría que matemáticamente esté bien definida y que tenga poder de predicción, si no que además necesita que podamos comparar las predicciones con observaciones para constatar que concuerdan. Puede parecer que los regímenes en los que la gravedad cuántica desempeña un papel fundamental, tales como agujeros negros o el universo primitivo, están muy lejos de nuestro alcance observacional y experimental. Sin embargo, gracias al enorme progreso que la cosmología de precisión ha sufrido en las últimas décadas, cabe la posibilidad de que en el futuro cercano seamos capaces de obtener datos observacionales sobre los primeros instantes del universo y que sean sensibles a efectos de gravedad cuántica. Para estar preparados para ese momento necesitamos extraer predicciones cosmológicas de nuestras propuestas a teorías de gravedad cuántica.

Este es el principal objetivo del análisis de Steffen. Él centra su investigación en la propuesta de gravedad cuántica llamada Teoría de Campos sobre Grupos (GFT por sus siglas en inglés – Group Field Theory).  La GFT se basa en definir una integral de camino para la gravedad, es decir, en reemplazar la noción clásica de solución única para la geometría del espacio-tiempo por una suma sobre un infinito de posibilidades, para así calcular una amplitud cuántica. El formalismo empleado es similar al de la teoría cuántica de campos convencional que se usa en física de partículas. Ahí, dado un proceso que involucre partículas, las diferentes interacciones entre ellas que contribuyen a dicho proceso se describen por los llamados diagramas de Feynman, que después se suman de un modo consistente para finalmente dar lugar a la amplitud de transición del proceso que estamos intentando describir. La GFT adopta esa estrategia. Los diagramas de Feynman correspondientes son <<espumas de espín>> (spinfoams en inglés), y representan los diferentes procesos dinámicos que contribuyen a una configuración particular del espacio-tiempo. La GFT está entonces relacionada con la Gravedad Cuántica de Lazos (LQG por sus siglas en inglés – Loop Quantum Gravity), ya que las espumas de espín son una de las propuestas principales para definir la dinámica del espacio-tiempo en LQG. La expansión de Feynman en la GFT extiende y completa esta definición de la dinámica de LQG, intentando determinar cómo tienen que sumarse de una manera controlada estos diagramas para obtener la amplitud cuántica correspondiente. 

La GFT es una teoría fundamentalmente discreta, con un número muy grande de grados de libertad microscópicos. Puede que estos grados de libertad se organicen siguiendo de algún modo un comportamiento colectivo, y que este comportamiento dé lugar a diferentes fases. La esperanza es encontrar una fase que coincida en el límite continuo con un espacio-tiempo suave, como el descrito por la teoría clásica de la relatividad general. De esta manera, tendríamos la conexión entre la teoría cuántica subyacente y la teoría clásica que explica muy bien los fenómenos gravitatorios en regímenes en los que los efectos cuánticos de la de gravedad son despreciables. Para entender esto, hagamos la analogía con una teoría más familiar: la hidrodinámica.
Sabemos que los constituyentes microscópicos de un fluido son las moléculas. La dinámica de estos micro-constituyentes es intrínsecamente cuántica, no obstante estos grados de libertad presentan un comportamiento colectivo que da lugar a las propiedades macroscópicas del fluido, tales como su densidad, su velocidad, etc. Para estudiar estas propiedades es suficiente con aplicar la teoría clásica de la hidrodinámica. Sin embargo sabemos que ésta no es la teoría fundamental que describe el fluido, sino una descripción efectiva que se deriva de la teoría cuántica subyacente (la teoría de la materia condensada), que explica cómo los átomos forman las moléculas, y cómo éstas interaccionan entre ellas dando lugar al fluido.

Puede que el espacio-tiempo continuo al que estamos acostumbrados emerja, de una manera similar al ejemplo del fluido, del comportamiento colectivo de muchos ladrillos cuánticos, o átomos, de espacio-tiempo. Éste es, en palabras sencillas, el punto de vista empleado en la GFT.

Mientras que la propuesta a gravedad cuántica de la GFT todavía está en construcción, es suficientemente madura como para intentar extraer predicciones físicas de ella. Con este objetivo, Steffen y sus colaboradores están trabajando en obtener una dinámica efectiva para cosmología, partiendo para ello del marco general de la GFT. Las soluciones más sencillas de las ecuaciones de Einstein son aquellas que presentan homogeneidad espacial. Éstas resultan describir soluciones cosmológicas, que pueden aproximar bastante bien la dinámica de nuestro universo a gran escala. Entonces, para obtener ecuaciones cosmológicas efectivas desde su GFT, ellos postulan estados cuánticos muy particulares que, mientras que involucran a todos los grados de libertad de la GFT, son estados con propiedades colectivas que pueden dar lugar a una descripción continua y homogénea. Las similitudes entre la GFT y la física de la materia condensada les permite a Steffen y a sus colaboradores hacer uso de las técnicas desarrolladas en materia condensada. En particular, basados en la experiencia con condensados de Bose-Einstein, los estados que ellos consideran pueden interpretarse como condensados.









El comportamiento colectivo de los grados de libertad da lugar en efecto a una descripción homogénea en el límite macroscópico. Las ecuaciones efectivas que ellos obtienen concuerdan en el límite clásico con ecuaciones cosmológicas, pero hay que enfatizar que retienen los principales efectos de la teoría cuántica subyacente. Más concretamente, estas ecuaciones efectivas contienen información sobre la discretización a nivel fundamental, ya que reciben correcciones explícitas (que no están presentes en las ecuaciones clásicas estándar) que dependen del número de cuantos (átomos de espacio-tiempo) que contiene el condensado. Estos resultados son la base de un programa general que tiene como fin extraer la dinámica efectiva en cosmología directamente desde una teoría microscópica y no perturbativa de la gravedad cuántica.



Monday, November 24, 2014

La teoría cuántica a partir de principios de inferencia de información.

Martes, Nov 11 2014
Philipp Hoehn, Perimeter Institute 
Title: Quantum theory from information inference principles 
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Por Matteo Smerlak, Perimeter Institute


 Cuando una teoría nueva entra en escena en la física, una sucesión de eventos suele tener lugar: al principio a nadie le importa; luego una minoría comienza a jugar con las matemáticas mientras que la mayoría insiste que la teoría esta obviamente mal; más adelante uno encuentra a la mayoría usando la matemática en forma cotidiana y todos arguyendo que la teoría es tan hermosa que sólo puede ser correcta; por el camino, gracias a años de práctica, un nuevo tipo de intuición surge del formalismo, y nuestra visión de la realidad cambia en forma acorde. Este es el proceso de la ciencia.


Sin embargo, por alguna razón, la eventual transición de formalismo a intuición nunca ocurrió para la mecánica cuántica (MC). Noventa años desde su descubrimiento los especialistas aún llaman a la MC “extraña”, los profesores aún citan a Feynman diciendo que “nadie entiende realmente a la MC”, y filósofos aún discuten si la MC nos requiere ser “antirealistas”, “neo-Kantianos”, “Bayesianos”… etc. Niels Bohr quería que las teorías nuevas fueran “lo suficientemente locas”, pero parece que esta es demasiado loca. ¡Y aun así funciona!

A la luz de esta incógnita, una escuela de pensamiento iniciada por Birkhoff y von Neumann en los años 30 ha declarado como su misión reconstruir la MC. La idea es simple: si no entiendes como funciona la maquina, arremángate, desarma la maquina y reconstrúyela, de cero. De hecho esto es como Einstein lidio con el grupo de simetrías de las ecuaciones Maxwell (y su acción misteriosa sobre distancias y tiempos): encontró dos principios físicos intuitivos –los principios de relatividad- y dedujo el grupo de Lorentz (la simetría de las ecuaciones de Maxwell) de los mismos. Así fue como “se entendió realmente” la relatividad especial.







Bastante trabajo reciente hacia la reconstrucción de la MC ha tenido lugar en el marco llamado “teorías de la probabilidad generalizadas” (TPG). Este enfoque elabora sobre nociones básicas como preparaciones, transformaciones y  medidas. El principal logro de la TPG ha sido posicionar la MC dentro de una arena más general  de posibles modificaciones de la teoría clásica de probabilidades. Se ha mostrado por ejemplo que la MC no es la teoría más no-local compatible con la propiedad conocida como “non-signaling” en Ingles: correlaciones más fuertes que el entrelazado cuántico son en principio posibles, si bien no aparecen en la naturaleza. Para entender lo que es, debemos saber que otra cosa pudo haber sido, claman los proponentes de la TPG.

Philipp usa un lenguaje distinto para su reconstrucción de la MC: en lugar de mediciones y estados, habla de preguntas y respuestas. La transición semántica no es inocente: mientras que una “medición” revela un estado intrínseco, una “pregunta” solo lleva información a quien la hace. Esto es, una pregunta relaciona dos entidades (el sistema y el observador/interrogador) en lugar de una (el sistema). Porque no hay alguien ahí afuera que pueda preguntar sobre todo, no existe tal cosa como un “estado del universo” afirma Philipp.


Este enfoque “relacional” de preguntas y respuestas de la MC fue propuesto hace 20 años por Rovelli, que enfatizó su similaridad con la estructura de la gravitación (el tiempo es relativo, ¿recuerdan? El también propuso dos principios básicos de la información: uno dice que la información total que un observador O puede recolectar acerca de un sistema S es limitada; el segundo especifica que, aún cuando O ha obtenido la máxima cantidad de información sobre S, aún puede aprender algo sobre S haciendo otras preguntas “complementarias”. Este es el origen de los operadores no conmutativos. Ideas similares han sido discutidas independientemente por Zeilinger y Brukner y Philipp adhiere a las mismas con entusiasmo.

Pero también toma un gran paso adelante. Agregando cuatro postulados más a los de Rovelli (que llama completitud, preservación, evolución temporal y localidad), Philipp  muestra como reconstruir el conjunto S de todos los posibles estados de S relativos a O (juntamente a su grupo de isometrías, representando posibles evoluciones temporales). Para un sistema cuántico que permite una sola pregunta independiente (un cubit), S es una esfera tridimensional conocida como esfera de Bloch. (Notar que una esfera tridimensional es un espacio mucho mas grande que una esfera unidimensional, el espacio de estados de un bit clásico –origen de la computación cuántica…) Para sistemas con más preguntas independientes, por ejemplo N cubits, S es la estructura matemática conocida como  cono convexo sobre un espacio proyectivo complejo, no precisamente lo que se conoce como una variedad de Calabi-Yau pero aun así un desafío para que la mente lo visualice.


El caso N=2 resulta ser el más difícil: una vez que está resuelto –Philipp dice que le tomo un año entero con la ayuda de su colaborador Chris Wever, los casos con N’s mas altos se siguen más o menos directamente. Esto es el reflejo de un aspecto crucial de la MC: los sistemas cuánticos son “monógamos”, solo pueden establecer correlaciones fuertes (“entrelazado cuántico”) con una contrapartida a la vez. La formulación de preguntas/respuestas de Philipp provee un nuevo y detallado entendimiento de esta peculiar estructura de correlación, que el representa como un mosaico esférico. “¡La MC es hermosa!”, dice Philipp.



Una limitación del enfoque actual de Philipp –también notada por la audiencia- es la restricción a preguntas binarias (si/no). Una partícula de espín 1 por ejemplo, no puede ser incluida por el momento en el enfoque dado que puede dar tres respuestas distintas a la pregunta “cual es su espín en la dirección z”, “arriba”, “abajo” o “cero”. ¿Podrá Philipp lidiar con una pregunta ternaria como esa y reconstruir el espacio de estados ocho dimensional de un “trit” cuántico? Le deseamos que encuentre la respuesta dentro de… ¡menos de un año!


Monday, April 28, 2014

Relatividad especial holográfica: geometría dependiente del observador

Derek Wise, FAU Erlangen
Title: Holographic special relativity: observer space from conformal geometry 
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por Sean Gryb, Radboud University


Introducción


En la mitología romana, Jano era el dios de los pasajes, transiciones y el tiempo, cuyas dos distintas caras se suelen mostrar mirando en direcciones opuestas, como si haciendo de puente entre dos regiones (o épocas) diferentes del universo. El termino “cara de Jano” se ha convertido en la descripción de una persona o cosa que simultáneamente representa dos facetas polarizadas, y la cabeza de Jano ha venido a representar estas dos distintas facetas en una.

En este seminario (basado en el trabajo [1]), Derek Wise explora la posibilidad de que el espacio-tiempo en si mismo tenga una “cara de Jano”. Explora la intrigante relación entre la estructura del espacio-tiempo que se expande y la descripción invariante de escala de la esfera. Lo que encuentra es una relación matemática que provee un puente entre estas dos caras de Jano que representan de distinta manera el universo. El puente es notablemente parecido a la imagen de la realidad propuesta por el principio holográfico, y en particular la correspondencia AdS/CFT donde, por un lado, esta la descripción usual de espacio-tiempo de los eventos y, por otro lado, hay una manera de codificar estos eventos en la frontera tridimensional del espacio-tiempo.

Aparte de proveer una alternativa al espacio-tiempo, la descripción de Derek puede ayudar a iluminar las estructuras mas profundas que yacen detrás de una formulación reciente de la relatividad general (RG), llamada Dinámica de las Formas, a la que volveremos al final de este articulo. Para empezar, tratemos de explicar los resultados de Derek dando primero una descripción de los aspectos del espacio-tiempo de una cara de Jano y luego describamos como se puede establecer un vínculo a una cara completamente distinta, la cual veremos es una descripción de los eventos del universo que es completamente independiente de cualquier noción de escala. Los puntos centrales de la discusión están resumidos hermosamente en la descripción de Jano dada mas abajo, debida a Marc Ngui, que ha provisto las imágenes de este articulo. El diagrama muestra como los eventos vistos por los observadores en el espacio-tiempo pueden ser descriptos por información en la frontera (más sobre este punto más adelante). Sugerimos al lector revisitar esta imagen dado que sus elementos principales se explican progresivamente a lo largo del texto.


Relatividad, Observadores y Espacio-Tiempo

En 1908 Hermann Minkowski hizo un gran descubrimiento: la nueva teoría de Einstein de la relatividad especial podía ser presentada en un marco muy hermoso, uno que Minkowski reconoció como una especie de unión del espacio y el tiempo. En sus propias palabras: “el espacio por si mismo, y el tiempo por si mismo, están condenados a desaparecer en meras sombras, y solo una especie de unión entre los dos preservará una realidad independiente” [2]. Para entender lo que Minkowski quiso decir, retrotraigámonos a 1904-1905 para revisitar los descubrimientos que dieron lugar a la revolución de Minkowski.

La relatividad tiene que ver con como distintos observadores organizan la información acerca de “cuándo” y “dónde” tienen lugar los eventos. Einstein se dio cuenta que este sistema de organizaciones debe tener dos propiedades: i) debe operar de la misma manera para todo observador y ii) debe involucrar un conjunto de reglas que permite a distintos operadores comparar consistentemente información acerca de los mismos eventos. Esto quiere decir que distintos observadores no necesariamente están de acuerdo sobre dónde y cuándo un particular evento tuvo lugar, pero necesitan estar de acuerdo sobre cómo comparar la información recolectada por distintos observadores. Einstein expresó este requerimiento en su principio de relatividad, al que le dio importancia primaria entre las teorías físicas. El punto central es que la relatividad es fundamentalmente una afirmación sobre observadores y cómo los mismos recolectan y comparan información acerca de eventos. La concepción de Minkowski del espacio-tiempo viene después, y lo hace a través de propiedades matemáticas específicas de las reglas usadas para recolectar y comparar la información relevante.

 Para tratar de entender como funciona el espacio-tiempo, usaremos una versión ligeramente más moderna de espacio-tiempo que la que usó Minkowski – una con todas las mismas propiedades esenciales que la original, pero que puede acomodar la observada acelerada expansión del espacio. Este tipo de espacio-tiempo fue estudiado por primera ves por Willem de Sitter, y se conoce como espacio-tiempo de de Sitter (dS). Tiene la forma básica mostrada por la grilla azul en la imagen de Jano mostrada mas arriba. Debido a que este espacio es curvo, es más conveniente describirlo poniéndolo en un espacio tiempo de mayor dimensión (así como la superficie bidimensional de una esfera descripta en un espacio tridimensional). Esto quiere decir que podemos etiquetar eventos en este espacio-tiempo por cinco números, cuatro componentes espaciales que llamamos (x, y, z, w) y una componente temporal, t, que obedecen la relación,

x2 + y2 + z2 + w2 - t2 = ℓ2.    (1)

Esta restricción (que sirve como la definición de este espacio-tiempo) quiere decir que las cuatro componentes espaciales no son todas independientes. De hecho, el vínculo presentado más arriba elimina una componente independiente, dejando las tres direcciones espaciales que conocemos y amamos. El parámetro esta relacionado con la constante cosmológica y determina que tan rápido se expande el espacio. Ajustar su valor cambia la forma del espacio-tiempo como se ilustra en la siguiente figura.

El espacio-tiempo del medio en azul representa el típico espacio dS. Aumentando el parámetro ℓ reduce la tasa de expansión asi que si ℓ → ∞, el espacio-tiempo apenas se expande en lo absoluto y se parece mas al cilindro púrpura de la derecha. El extremo opuesto, cuando ℓ → 0 es el cono de luz amarillo, que se llama así porque el espacio esta expandiéndose a su tasa máxima: la velocidad de la luz. Este limite extremo será muy importante para nuestras consideraciones más tarde. Si bien este modelo de espacio-tiempo es dramáticamente simple, describe sorprendentemente en buena aproximación dos importantes fases de nuestro universo real: i) el período de expansión exponencial (o inflación), que se cree tuvo lugar en el universo temprano y ii) el presente y el futuro próximo. Observadores diferentes comparan las etiquetas que les atribuyen a cada evento llevado a cabo transformaciones que dejan la forma de (1), y por ende la forma del espacio-tiempo, invariante. Debido a esta propiedad, estas transformaciones constituyen simetrías del espacio-tiempo de dS. Dado que las transformaciones que observadores reales deben usar para compara información sobre eventos reales corresponde a simetrías del espacio-tiempo, no es de sorprender que la noción de espacio-tiempo tenga una influencia profunda en la percepción de la realidad de los físicos. Sin embargo, veremos en seguida que estas reglas pueden ser reformuladas de manera que cuentan una historia distinta de lo que pasa.

La cara de Jano del espacio-tiempo

Veremos ahora como las simetrías del espacio-tiempo de dS pueden ser re-escritas en términos de simetrías que preservan ángulos, pero no necesariamente distancias en el espacio. En particular toda la información acerca de la escala se elimina. En matemática se las conoce como simetrías conformes. Esto quiere decir que distintos observadores tendrán una elección cuando analizan información que recolectan acerca de eventos: o se imaginan que estos eventos tienen lugar en el espacio-tiempo de dS, y consecuentemente están relacionadas por las simetrías de dS; o pueden imaginar que estos eventos representan información que puede ser expresada en términos de ángulos (y no de longitudes), y consecuentemente están relacionadas por simetrías conformes.

Para entender como puede ser esto, consideremos el futuro muy distante y el pasado muy distante: donde el espacio de dS y el cono de luz casi se encuentran. Esta región extrema es conocida como la esfera conforme porque es una esfera y también porque es donde las simetrías de dS corresponden a simetrías conformes.

De hecho cualquier sección del cono de luz formada cortándolo con un plano espacial (como se ilustra en el diagrama de más abajo) es un representante distinto de la esfera conforme dado que estas distintas secciones estarán en desacuerdo en distancias pero estarán de acuerdo en ángulos. Aunque la intersección parezca un circulo (representado en verde oscuro), es de hecho una esfera tridimensional porque hemos eliminado dos de las dimensiones espaciales (porque no las podemos dibujar en un plano bidimensional).

Para ver como eventos en esta esfera tridimensional pueden representarse en forma invariante de escala en un plano tridimensional, podemos usar una técnica conocida como proyección estereográfica. La misma se usa frecuentemente para dibujar mapas donde la Tierra redonda tiene que ser dibujada en un mapa plano. Una de sus propiedades más importantes, que preserva ángulos, implica que mapas dibujados de esta manera son útiles para navegar dado que un ángulo en el mapa corresponde al mismo ángulo en la Tierra. Es precisamente esta propiedad de la proyección estereográfica la que la hace útil para nosotros aquí.

Para llevar a cabo una proyección estereográfica, imagina elegir un punto de la esfera, que podemos interpretar como la locación de un observador en la esfera (representado por un ojo en el diagrama de más abajo), y llamemos a este punto el Polo Sur. Ahora imagina que pones una luz en el Polo Norte y la dejas iluminar todo el espacio en el que la esfera ha sido dibujada. Supongamos que nuestra esfera está llena de puntos. Entonces la sombra de estos puntos formara una imagen en el plano tangente a la esfera en el Polo Sur. La figura de abajo ilustra lo que pasa. Puntos de la esfera son representados por estrellas y los rayos amarillos indican como su imagen se forma en el plano.


Es un ejercicio matemático relativamente sencillo mostrar que las simetrías del cono de luz representan transformaciones en el plano que pueden cambiar el tamaño de la imagen, pero preservaran los ángulos entre los puntos. Así, las simetrías del cono pueden entenderse en términos de las simetrías conformes de este plano.

Si ahora movemos nuestra sección más hacia el futuro o el pasado, entonces el espacio-tiempo de dS comienza a parecerse más y más al cono de luz. Así, si queremos representar eventos arbitrarios en el espacio-tiempo de dS por información impresa en dos secciones en el infinito futuro y el infinito pasado entonces estos eventos pueden ser representados en términos de las imágenes que inducen en los planos proyectados, y habremos alcanzado nuestro objetivo.

Hay una manera simple de hacer esto. Imagina que tomamos, como en la figura de abajo, un evento arbitrario del espacio-tiempo de dS y dibujamos todos los eventos en el pasado distante que puedan afectar cosas que pasan en dicho evento (esta región es una porción finita de la sección esférica porque ninguna perturbación puede viajar más rápido que la luz). El resultado es una región bidimensional esférica, llamada el horizonte de partícula indicado por las regiones rojas del diagrama de abajo, que crece sostenidamente en el tiempo. Puedes pensar esta región como la porción del espacio-tiempo de dS que es visible desde un lugar particular. De hecho, puedes usar el tamaño relativo de esta región como una indicación del tiempo en el cual ocurre el evento. Dado que esta es una noción de tiempo que existe solamente en términos de cantidades definidas en el pasado distante, transformara bajo transformaciones conformes. Para dar una idea de cómo se ve esto, el movimiento de un observador de un punto en el pasado distante a un nuevo punto en el futuro distante se representa por una serie de esferas concéntricas, comenzando en el punto inicial y expandiéndose hacia fuera hasta eventualmente cubrir la esfera completa. El diagrama de abajo muestra como funciona esto. Las diferentes regiones (a,b,c,d) representan regiones progresivamente crecientes correspondiendo a tiempos progresivamente mas tardíos.


 De esta manera puedes mapear información sobre eventos del espacio-tiempo dS a información en la esfera conforme. En otras palabras, la imagen de la realidad que uno obtiene de la teoría de la Relatividad Especial de Einstein es una historia que puede contarse en dos maneras muy distintas. En la primera, hay eventos que trazan las historias en el espacio-tiempo. “Dónde” y “cuándo” un evento particular tiene lugar depende de quien eres y la información de esto eventos puede ser transformada de un observador a otro vía las simetrías globales del espacio-tiempo. En la nueva manera de ver las cosas, es la información sobre ángulos la que es importante. “Dónde” y “qué tan grande” son las cosas depende de tu punto de vista y la información sobre eventos particulares puede ser transformada de un observador a otro usando transformaciones conformes.


De la Relatividad Especial a la General

 Acabamos de describir cómo relacionar dos visiones muy diferentes de cómo observadores pueden recolectar información sobre el mundo. Hasta ahora solamente hemos considerado espacios homogéneos, es decir esos que se ven igual en todos los lugares. La clase de observadores que pudimos considerar fue por consiguiente muy restrictiva. Fue la perspicacia de Einstein reconocer que la misma maquinaria matemática necesaria para describir eventos vistos por observadores arbitrarios podía ser usada para estudiar las propiedades de la gravedad. La maquinaria en cuestión es una generalización de la geometría de Minkowski, que lleva el nombre de Riemann.

Para describir la geometría Riemanniana, es más fácil primero describir una generalización de la misma (que necesitaremos más tarde de todos modos) y luego mostrar como la geometría Riemanniana es solamente un caso particular. La generalización en cuestión es llamada la geometría de Cartan en honor al gran matemático Elie Cartan. El tuvo la idea de construir geometrías curvas generales modelándolas con espacios homogéneos. Los espacios más generales se construyen moviendo estos espacios homogéneos en ciertas formas específicas. La geometría en si está definida por el conjunto de reglas que uno necesita para comparar vectores después de mover los espacios homogéneos. Estas reglas se dividen en dos tipos distintos: aquellas que cambian el punto de contacto entre el espacio homogéneo y el espacio general curvado y aquellas que no lo hacen. Estos movimientos están ilustrados para el caso donde el espacio homogéneo es una esfera bidimensional en el diagrama de abajo.



Los movimientos que no cambian el punto de contacto (en el caso de arriba, el correspondiente a girar alrededor del punto de contacto sin rodar) constituyen las simetrías locales de la geometría y pueden, por ejemplo, corresponder a lo que diferentes observadores locales ven (en este caso, observadores rotantes versus observadores estacionarios) cuando ven objetos de la geometría. Einstein exploto este tipo de estructura para implementar su principio de relatividad general descripto más arriba. Los movimientos que cambian el punto de contacto (en el caso de arriba, esto quiere decir rodar la bola sin que se deslice) dan información acerca de la geometría curva del espacio general. Einstein utilizó un caso especial de geometría de Cartan, que es la geometría Riemanniana donde el espacio homogéneo es el espacio de Minkowski. El luego explotó el análogo de la estructura recién descripta para explicar el viejo fenómeno de una manera nueva: la gravedad. En el proceso, produjo una de las más radicales y exitosas teorías de la física: la Relatividad General. La figura siguiente muestra cómo los diferentes tipos de geometría que hemos discutido se relacionan entre si.

Ahora, consideremos lo que pasa cuando sustituimos, como lo hicimos en la sección anterior, el espacio-tiempo plano de Minkowski por el curvo, pero aún homogéneo de de Sitter. Todavía podemos describir la gravedad, pero de una manera que naturalmente incluye una constante cosmológica. Aún así la esfera conforme es también un espacio homogéneo. Mas aún, como describimos antes, las simetrías de este espacio homogéneo pueden ser relacionadas a las simetrías de dS. Esto sugiere que puede ser posible describir la gravedad en términos de una geometría de Cartan modelada en la esfera conforme.

De la esfera conforme a la dinámica de las formas?

 Las geometrías de Cartan modeladas en la esfera conforme se llaman geometrías conformes porque las simetrías locales de estas geometrías preservan ángulos y no la escala. Aunque hemos descripto un procedimiento relacionando el espacio modelo de las geometrías conformes al espacio-tiempo modelo con una constante cosmológica, es una cuestión muy distinta re-escribir la gravedad en términos de la geometría conforme. Esto es, en parte, porque las leyes gobernando la geometría del espacio-tiempo son complicadas y, en parte, porque nuestra prescripción para relacionar los espacios modelos no es directa, dado que relaciona cantidades locales en el espacio-tiempo a cantidades no locales en el futuro y pasado infinito. Aun así, esta posibilidad entusiasmante provee una interesante línea de investigación futura. Más aún, hay otras indicaciones de que tal descripción es posible.

Usando métodos muy distintos, es posible mostrar que la Relatividad General es dual a una teoría de la evolución de una geometría conforme [3]. Sin embargo, el tipo de geometría conforme usada en esta deducción no ha sido aún escrita en términos de geometrías de Cartan (que hacen uso de estructuras ligeramente distintas). Esta nueva manera de describir la gravedad, llamada la Dinámica de las Formas, quizá hace uso de la interesante relación entre las simetrías del espacio-tiempo y las simetrías conformes descriptas aquí. El entender exactamente la naturaleza de la geometría conforme en la Dinámica de las Formas y su relación al espacio-tiempo puede ser valiosa al ser capaz de entender esta nueva manera de describir la gravedad. ¿Quizá hasta pueda ser una ventana al entender cómo debe funcionar la teoría cuántica de la gravedad?

• [1] D. K. Wise, Holographic Special Relativity, arXiv:1305.3258 [hep-th].

• [2] H. Minkowski, The Principle of Relativity: A Collection of Original Memoirs on the Special and General Theory of Relativity, ch. Space and Time, pp. 75–91. New York: Dover, 1952.

• [3] H. Gomes, S. Gryb, and T. Koslowski, Einstein gravity as a 3D conformally invariant theory, Class. Quant. Grav. 28 (2011) 045005, :1010.2481 [gr-qc].

Tuesday, April 1, 2014

Dimension espectral de las geometrías cuánticas

Johannes Thürigen, Albert Einstein Institute 
Title: Spectral dimension of quantum geometries 
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Por Francesco Caravelli, University College London 

Uno de los objetivos fundamentales de la gravedad cuántica es entender la estructura del espacio-tiempo a distancias muy cortas, en conjunto con predecir efectos físicos observables de tener una geometría cuántica. Esto no es fácil. Desde la introducción de la dimensión fractal en la gravedad cuántica y su importancia enfatizada en el trabajo de Triangulaciones Dinámicas Causales (Loll et al. 2005) y la seguridad asintótica (Lauscher et al. 2005), se ha vuelto más y más claro que el espacio-tiempo, a nivel cuántico, puede sufrir una transformación radical: el numero de dimensiones efectivas puede cambiar con la energía del proceso involucrado. Varios enfoques a la gravedad cuántica han recolectado evidencia de flujo dimensional a energías altas, lo que Carlip (2009,2013) popularizó como Reducción Dimensional Espontánea. (El uso del termino reducción es de hecho una sugerencia de que una reducción dimensional se observa, pero la evidencia dista de ser conclusiva. Nosotros consideramos la expresión flujo dimensional como mas apropiada).

Antes de comentar sobre los resultados obtenidos por los autores del trabajo discutido en el seminario (Calcagni, Oriti, Thueringen 2013), demos primero un paso atrás por un segundo e introduzcamos el concepto de dimensión fractal, que es relevante para esta discusión.

El concepto de dimensión no entera fue introducido por el matemático Benoit Mandelbrot hace medio siglo. ¿A qué se debe todo el alboroto acerca de fractales y complejidad? ¿Cuál es su relación con los espacio-tiempos, en particular los cuánticos?

Todo comienza con una pregunta aparentemente simple que planteo el Mandelbrot: ¿Cuál es la longitud de la costa de Inglaterra (o más precisamente, Cornwall)? Resulta ser que la longitud de la costa de Inglaterra depende de la lente usada para aumentar el mapa de la costa, y dependiendo del aumento, la longitud cambia con una regla bien definida, conocida como escaleo, que explicaremos en breve.
Hay varias definiciones de dimensión fractal, pero mantengamos las cosas lo más simples posibles y veamos por que un espacio-tiempo granular pueda de hecho tener dimensiones distintas a distintas escalas (es decir, el aumento de nuestra lente). El caso más sencillo es el de un retículo regular cuadrado, que para mayor claridad consideramos infinito en cada dirección.
Imagen: Manny Lorenzo

La dimensión del retículo puede parecer bidimensional, si el retículo es plano: se lo puede embeber en una superficie bidimensional (es por ello que se la llama dimensión de embebido). Sin embargo si tomamos cualquier punto del retículo y contamos cuantos puntos están a una distancia “d” del mismo, veremos que el número de puntos crece con una ley de escaleo, dada por*:

N~ d^gamma

Si d no es muy grande, el valor de gamma cambia si la estructura subyacente no es un continuo, o si es granular, y gama puede tomar valores no enteros. Esto se puede interpretar de varias maneras. Para el caso de fractales, esto implica que la dimensión real de los mismos no es entera. Análogamente al caso del numero de puntos dentro de una distancia d, es posible definir una operación de difusión que hará el trabajo de conteo para nosotros: cómo se mueven un enjambre de partículas en el espacio-tiempo subyacente. Este es un punto crucial del procedimiento.

En el continuo, la tecnología es tal que se puede mostrar que un operador tal puede ser definido en forma precisa**. El problema es que el escaleo no es preciso: por tiempos muy largos la relación de escala no es exacta (dado que efectos de curvatura pueden contribuir). Así, el tiempo dado a las partículas para su difusión tiene que ser sintonizado apropiadamente. Esto es lo que los autores discuten en la sección 2 del trabajo discutido en el seminario., y es un procedimiento estándar en el contexto de la dimensión espectral. Por supuesto, lo discutido hasta el momento es válido para difusión clásica, pero el operador se puede definir para difusión cuántica también, la cual esta descripta en términos de una evolución de Schrödinger unitaria como en mecánica cuántica usual.

Es importante entender que la descripción combinatoria de una variedad (como las mismas son representadas en un contexto discreto), en lugar de la geometría real, juega un rol muy relevante. Si uno calcula la dimensión fractal de estos retículos, si bien a gran escala da la dimensión fractal correcta, a pequeñas escalas no lo hace. Esto muestra que de hecho la discretitud tiene un efecto en la dimensión espectral, y que los resultados dependen del numero de dimensiones. Pero más importantemente, los autores observan que la dimensión espectral, aun en el caso clásico, depende de la naturaleza precisa de la seudo variedad subyacente, esto es, de cómo esta discretizada. Si uno combina esto con el hecho de que la dimensión fractal es hasta este punto el observable global que dice en cuantas dimensiones uno vivo (concepto muy importante para otros enfoques de altas energías), el interés bien puede estar justificado.

El caso de una geometría cuántica, considerada usando gravedad cuántica de lazos (LQG por las iniciales en inglés de Loop Quantum Gravity) se discute sobre el final. La definición es distinta de una dada anteriormente (Modesto 2009, suponiendo que el escaleo esta dado por el operador de área de LQG) y lleva a resultados distintos.

Sin entrar en los detalles (descriptos muy claramente en el trabajo), probablemente es útil anticipar los resultados y explicar las dificultades encontradas en el cálculo. La primer complicación viene del cálculo en si mismo: es muy difícil calcular la dimensión fractal en el caso completamente cuántico. Sin embargo, en la aproximación semiclásica (donde la geometría es parte clásica y parte cuántica) se puede ignorar la parte “cuántica. El siguiente punto es que, para poder decir que una dimensión topológica clara emerge, la dimensión fractal debe ser constante para un amplio rango de distancias de varios órdenes de magnitud. Es importante decir que, si uno usa la dimensión fractal como definición de dimensión, no es posible asignar una dimensionalidad dada a menos que el numero de puntos en consideración sea lo suficientemente grande. Esta es una propiedad de la dimensión fractal que es muy importante para la gravedad cuántica de lazos en muchos respectos, dado que ha habido una larga discusión de cual es la descripción apropiada del espacio-tiempo clásico y cuántico. Aun así este enfoque da la posibilidad de una definición de dimensión de abajo hacia arriba (si se hiciera de arriba a bajo no habría ningún flujo dimensional).