Wednesday, January 25, 2017

Simetrías y representaciones en teorias de campos grupales

Tuesday, January 24th
Alexander Kegeles, Albert Einstein Institute
Title: Field theoretical aspects of GFT: symmetries and representations 
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por Jorge Pullin, Louisiana State University


En gravedad cuántica de lazos, los estados cuánticos están etiquetados por lazos, mas precisamente por grafos constituidos por líneas que se intersectan en vértices y que son “coloreadas”, lo que quiere decir que cada línea tiene un numero entero asociado. Se las conoce como “redes de espín” (“spin-networks” en ingles). Cuando los estados evolucionan en el tiempo estos grafos “barren” superficies en el espacio-tiempo cuadridimensional constituyendo lo que se conoce como “espuma de espín” (“spin-foam” en ingles). Estas son una representación de un espacio-tiempo cuántico en gravedad cuántica de lazos. Las espumas de espín conectan una red de espín inicial con una final y el formalismo da la probabilidad de que tal “transición” de una geometría espacial dada a una geometría espacial futura pueda ocurrir. La imagen que emerge tiene algunos paralelos con la física ordinaria en la cual partículas transicionan de estados iniciales a finales, pero hay algunas diferencias.

Sin embargo, se ha encontrado que uno puede construir teorías de campo ordinarias tales que las probabilidades de transición de las mismas coinciden con las que emergen de espumas de espín conectando geometrías espaciales iniciales y finales en gravedad cuántica de lazos. Esta plática se dedico a tales teorías cuánticas de campos conocidas como teorías de campos grupales (“group field theory (GFT)” en ingles). La plática cubrió dos aspectos principales de las mismas: simetrías y representaciones.

Las simetrías son importantes porque proveen herramientas matemáticas para resolver las ecuaciones de la teoría e identificar cantidades conservadas en la misma. Hay mucha experiencia con simetrías en teorías de campos locales, pero las GFTs son no-locales, lo que agrega desafíos. Las teorías de campo ordinarias se formulan a partir de una cantidad conocida como acción, que es una integral en un dominio dado. Una simetría se define como un mapa de los puntos y campos que deja la integral invariante. En GFTs la acción es una suma de integrales en dominios distintos. Una simetría se define como una colección de mapas que actúan sobre los dominios y los campos que dejan invariante cada una de las integrales de la suma. Un teorema importante de gran generalidad que va desde la mecánica clásica hasta las teorías cuánticas de campos es el teorema de Noether, que conecta simetrías con cantidades conservadas. La noción de simetría discutida mas arriba para GFTs permite introducir un teorema de Noether para las mismas. El teorema puede ser útil en una variedad de situaciones, en particular en ciertas relaciones que fueron notadas entre GFTs y la teoría de reacoplamiento (“recoupling theory” en ingles), y permitirá entender mejor varios modelos basados en GFTs.

En una teoría cuántica como las GFTs, los estados cuánticos se estructuran en un conjunto matemático conocido como espacio de Hilbert. Las cantidades observables de la teoría se representan a través de operadores que actúan en dicho espacio. Los espacios de Hilbert en general son infinito-dimensionales lo que introduce una serie de tecnicismos tanto en su definición como en la definición de observables para teorías cuánticas. En particular uno puede encontrar familias no equivalentes de operadores relacionadas con los mismos observables físicos. Esto es lo que es conocido como diferentes representaciones del álgebra de observables. Álgebra en este contexto quiere decir que uno puede componer observables para formar nuevos observables o combinaciones lineales de observables conocidos. Un tipo de representación importante es la llamada representación de Fock. Es la representación en la que se basan las partículas usuales. Otro tipo de representación es la llamada representación de condensado que, en lugar de describir partículas, describe excitaciones colectivas y es muy conveniente para sistemas con un numero grande (infinito) de partículas. Una discusión de las representaciones de Fock y de condensado en el contexto de GFTs fue presentada y el punto de cuándo representaciones son equivalentes o no fue discutido.

Trabajo futuro apunta a generalizar la noción de simetrías presentada para encontrar más simetrías no estándares de GFTs. También la investigación de “anomalías”. Esto es cuando uno tiene una simetría en la teoría clásica que no sobrevive al proceso de cuantizacion. La noción de simetría puede usarse para definir una idea de “estado fundamental” de la teoría. En teorías de campo ordinarias en espacio-tiempo plano esto se hace buscando el estado con menor energía. En el contexto de GFTs se utilizaran nociones mas complejas de simetrías para definir el estado fundamental. Varios otros resultados de teorías de campo ordinarias, como el teorema espin-estadistica, pueden generalizarse al contexto de GFTs usando las ideas presentadas en esta platica.