Sunday, November 24, 2013

Los sólidos Platónicos de la gravedad cuántica

Hal Haggard, CPT Marseille
Title: Dynamical chaos and the volume gap 
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por Chris Coleman-Smith, Duke University



A la escala de Planck, se espera que la geometría del espacio se comporte cuánticamente. La gravedad cuántica de lazos provee una realización especifica de dicha expectativa. Predice una granularidad del espacio con cada grano teniendo un comportamiento cuántico. En particular el volumen del grano esta cuantizado y el sus valores posibles tienen una rica estructura (lo que se conoce como su "espectro"). Las áreas también están naturalmente cuantizadas y hay un espaciado robusto en los valores posibles del área. Así como Planck mostro que debe haber una energía mínima para el fotón, existe una mínima área espacial posible. ¿Ocurre lo mismo para los volúmenes?

Estos granos del espacio pueden visualizarse como poliedros con caras de área fija. En la teoría cuántica completa estos poliedros se desdibujan y así como no podemos pensar acerca de una partícula cuántica como una pelotita que rota no podemos pensar de estos poliedros como los Sólidos Platónicos definitivos que uno podría imaginar.

[Imagen por Wenzel Jamnitzer] 

Es interesante examinar estos poliedros a nivel clásico, donde uno puede ignorar el desdibujamiento, y ver que propiedades se pueden deducir acerca de la teoría cuántica.

El tetraedro es el poliedro más simple. Bianchi y Haggard [1] exploraron la dinámica que surge de fijar el volumen del tetraedro y dejar que los bordes evolucionen en el tiempo. Esta evolución es una manera muy natural de explorar el conjunto de poliedros de volumen constante que puede ser alcanzado por deformaciones suaves de la orientación de las caras de los poliedros. Las trayectorias resultantes en el espacio de poliedros pueden ser cuantizadas con los métodos originales de cuantización de Bohr y Einstein. La idea básica aquí es mapear algunas partes de las propiedades suaves continuas de la dinámica clásica en la cuántica seleccionando solamente esas orbitas donde el área total es un múltiplo entero de la constante de Planck. El espectro discreto de volumen resultante esta excelentemente de acuerdo con el cálculo cuántico completo. Investigaciones adicionales por Bianchi, Donna y Speziale [2] extendieron este tratamiento a poliedros más complejos.

Así como una cuenta atravesada por un alambre solo se puede mover hacia adelante o atrás por el alambre, un tetraedro de volumen y área de caras fijos solo tiene una libertad: cambiar su forma. Sistemas clásicos como este son típicamente integrables lo que quiere decir que su dinámica es bastante regular y puede ser resuelta exactamente. Sistemas con dos grados de libertad como el pentaedro son típicamente no integrables. Su dinámica puede ser simulada numéricamente pero no hay una solución exacta para su movimiento. Esto implica que el pentaedro tiene una dinámica mucho más rica que el tetraedro. ¿Es esta dinámica tan compleja como para ser caótica? Y de serlo, cuales son las implicaciones para el espectro de volumen cuantizado en este caso? El sistema ha sido explorado recientemente por Coleman-Smith [3] y Haggard [4] y de hecho fue encontrado que es caótico.

 Los sistemas caóticos son muy sensibles a las condiciones iniciales, desviaciones pequeñas de alguna trayectoria de referencia divergen rápidamente de la misma. Esto hace la dinámica de sistemas caóticos muy compleja y los dota de propiedades interesantes. La rápida dispersión de cualquier haz de trayectorias iniciales significa que sistemas caóticos son poco probables de pasar mucho tiempo “pegados” en un movimiento particular sino que rápidamente exploraran todos los movimientos posibles. Tales sistemas “olvidan” sus condiciones iniciales rápidamente y se termalizan pronto. Esta termalización rápida de granos del espacio es un resultado intrigante. Se sabe que los agujeros negros son objetos térmicos y sus propiedades térmicas se cree que son de origen fundamentalmente cuántico. La compleja dinámica clásica que observamos quizá de pistas acerca del origen microscópico de estas propiedades térmicas.

El borroso mundo de la mecánica cuántica no es capaz de soportar las delicadas estructuras fractales que surgen del caos clásico. Sin embargo, sus ecos pueden encontrarse en análogos cuánticos de sistemas clásicamente caóticos. Una propiedad fundamental de los sistemas cuánticos es que pueden tomar valores de la energía discretos. El conjunto de estos niveles de energía es usualmente llamado el espectro de energías del sistema. Un resultado importante del estudio de cómo el caos clásico pasa a los sistemas cuánticos es que podemos genéricamente esperar ciertas propiedades estadísticas del espectro de tales sistemas. De hecho el espaciado entre niveles adyacentes de energía en tales sistemas se puede predecir a partir de consideraciones muy general. Para un sistema cuántico no caótico uno espera que dichos espaciados estén enteramente no correlacionados y distribuidos de acuerdo a una distribución de Poisson (similar al número de autos que pasan por un peaje en una hora) resultando que la mayoría de los niveles de energía estén muy amontonados. En sistemas caóticos los espaciados se vuelven no correlacionados y de hecho se repelen entre si así que en promedio uno esperaría que los espaciados sean grandes.

Esto es sugestivo de que puede existir una brecha de volumen robusta dado que genéricamente esperamos que los niveles discretos cuantizados del volumen que se repelan entre si. De todos modos la densidad del espectro del volumen acerca del estado fundamental tiene que ser estudiada mas cuidadosamente para hacer ese argumento más concreto. ¿Existe realmente un volumen mínimo no nulo?

El comportamiento clásico de los granos fundamentales provee una ventana fascinante al comportamiento de la muy complicada dinámica cuántica del espacio que describe la gravedad cuántica de lazos. Extender este trabajo a poliedros más complejos y a redes de poliedros acoplados será muy interesante y proveerá con certeza muchos nuevos conocimientos acerca de la estructura microscópica del espacio.

[1]: "Discreteness of the volume of space from Bohr-Sommerfeld quantization", E.Bianchi & H.Haggard. PRL 107, 011301 (2011), "Bohr-Sommerfeld Quantization of Space", E.Bianchi & H.Haggard. PRD 86, 123010 (2012)

[2]: "Polyhedra in loop quantum gravity", E.Bianchi, P.Dona & S.Speziale. PRD 83, 0440305 (2011) 

[3]: "A “Helium Atom” of Space: Dynamical Instability of the Isochoric Pentahedron", C.Coleman-Smith &B.Muller, PRD 87 044047 (2013)

[4]: "Pentahedral volume, chaos, and quantum gravity", H.Haggard, PRD 87 044020 (2013)

Sunday, November 17, 2013

Granulado grueso de teorías

Tuesday, Nov 27th. 2012
Bianca Dittrich, Perimeter Institute 
Title: Coarse graining: towards a cylindrically consistent dynamics
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por Frank Hellmann



El granulado grueso (coarse graining en inglés) es un procedimiento de la física estadística. En la mayoría de las situaciones no sabemos como se comportan todos los elementos que constituyen un sistema físico. En lugar de ello tenemos una imagen muy tosca. Por ejemplo, en lugar de saber como se mueven todos los átomos en el aire que nos rodea, típicamente somos conscientes de algunas propiedades que describen el sistema a grosso modo, como la presión, la temperatura y similares. De hecho es difícil imaginar una situación donde a uno le importe la posición de este o aquel átomo en un gas compuesto por 10^23 átomos. Así, cuando hablamos de tratar de encontrar una descripción de granulado grueso de un modelo, lo que queremos decir es que queremos descartar detalles irrelevantes y encontrar como un modelo particular se nos aparecería a nosotros.

La manera técnica en que se lleva a cabo esto fue desarrollada por Kadanoff y Wilson. Dado un sistema compuesto de constituyentes simples, la idea de Kadanoff fue tomar un conjunto de constituyentes cercanos entre si y combinarlos en un único constituyente, sólo que más grande. En un segundo paso, achicamos el sistema y estudiamos el comportamiento de este nuevo constituyente granulado grueso y vemos como se compara a los constituyentes originales. Si ciertos comportamientos se refuerzan con cada paso, los llamamos relevantes, si se vuelven débiles los llamamos irrelevantes. De hecho, a medida que construimos descripciones granuladas más gruesas del sistema, sólo los comportamientos relevantes sobrevivirán.

En la gravedad cuántica de espumas de espín se enfrenta precisamente dicho problema. Queremos construir una teoría de la gravedad cuántica, esto es, una teoría que describe como se comportan el espacio y el tiempo al nivel más fundamental. Sabemos precisamente como se nos presenta la gravedad, cada observación de la misma que hemos hecho esta descrita por la teoría de la relatividad general de Einstein. Así, para ser una candidata viable a teoría de la gravedad cuántica, es crucial que la teoría granulada gruesa aparezca, al menos en los casos en que la hemos comprobado experimentalmente, como la relatividad general.

El problema que enfrentamos es que usualmente estamos mirando a bloques pequeños y grandes del espacio, pero en modelos de espuma de espín el espacio-tiempo mismo es compuesto de bloques y estos no tienen un tamaño predeterminado. Pueden ser grandes o chicos. Más aun, no podemos manejar la complejidad de hacer cálculos con tantos bloques de espacio-tiempo. Las herramientas usuales, aproximaciones y conceptos del granulado grueso no se aplican directamente a espumas de espín.

Para mí esto constituye la pregunta más importante enfrentando al enfoque de espumas de espín de la gravedad cuántica. Tenemos que asegurarnos, o, como es el caso frecuentemente en estas cosas, al menos dar evidencia de que predecimos la física conocida correctamente, antes de que podamos hablar de tener una candidata plausible a teoría de la gravedad cuántica. Hasta el momento la mayor parte de la evidencia viene del estudio de bloques individuales del espacio-tiempo, y vemos que su comportamiento tiene sentido, geométricamente hablando. Pero aún no hemos visto ningún bloque de espacio-tiempo flotando en el universo, necesitamos estudiar el granulado grueso para entender como un gran número de ellos se vería colectivamente. La esperanza es que el espacio-tiempo suave que vemos emerja como la superficie suave del agua, pese a estar compuesta de bloques (atomos), como una aproximación a un gran número de bloques discretos.

El trabajo de Dittrich trata de atacar este problema. Esto requiere importar, o reinventar en el nuevo contexto, una gran cantidad de herramientas de la física estadística. La primera pregunta es: ¿cómo combina uno distintos bloques de espumas de espín para formar un bloque más grande? Dado un procedimiento para hacer esto, ¿podemos entender como se comporta efectivamente?

La herramienta que elije Dittrich se llama la renormalización de redes tensoriales. En este esquema, el granulado grueso es hecho mirando qué aspectos del conjunto original de bloques es el más relevante directamente para la dinámica y retener los mismos. Así, combina los dos pasos, de primero hacer el granulado grueso y luego buscar los operadores en un solo paso.

Para ser un poco más técnicos, la idea es considerar mapas de la frontera de la red más gruesa a la de la red más fina. El mapeo de la dinámica de la variable fina entonces provee la dinámica efectiva de la red más gruesa. Si los mapas satisfacen la llamada condición de consistencia cilíndrica, esto es, si los mismos pueden iterarse, el mapa puede usarse para definir un límite continuo también.

En el caso clásico, el comportamiento de la teoría como función de los valores de la frontera queda codificada en la llamada función principal de Hamilton. El propósito de estudiar el flujo de la teoría bajo tales mapas es primariamente el mejorar el tipo de discretizaciones de teorías continuas que puedan usarse en simulaciones numérica.

En el caso cuántico, la función principal es reemplazada por el llamado mapa de amplitud. El mapeo de dicha amplitud da una prescripción de renormalizacion de la dinámica. Dittrich propone adaptar para ello la idea obtenida en física de materia condensada llamada renormalización de redes tensoriales.

Para elegir que grados de liberta mapear de la frontera gruesa a la final, la idea es evaluar la amplitud, diagonalizarla y mantener los autoestados correspondientes a los n autovalores más grandes.

En cada paso uno obtiene una dinámica refinada que no crece en complejidad y uno puede iterar el procedimiento para obtener dinámicas efectivas para variables muy gruesas que han sido elegidas por la teoría, en lugar de una elección inicial de escala, y una descomposición en modos de alta y baja energía.

Es demasiado temprano para decir si estos métodos nos permitirán entender si los modelos de espuma de espín reproducen lo que conocemos acerca de la gravedad, pero ya han producido una serie de nuevas aproximaciones y perspectivas acerca de cómo este tipo de modelos funciona, y como se comportan para un gran número de bloques constitutivos.