Monday, May 25, 2015

Separabilidad y mecánica cuántica


Tuesday, Apr 21st
Fernando Barbero, CSIC, Madrid 
Title: Separability and quantum mechanics 
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by Juan Margalef-Bentabol, UC3M-CSIC, Madrid

Mecánica Clásica vs Mecánica Cuántica: Dos visiones del mundo

En mecánica clásica es relativamente sencillo obtener información de un sistema. Por ejemplo, si tenemos unas cuantas partículas en movimiento, podemos preguntarnos: ¿dónde está su centro de masa? ¿Cuál es la velocidad media de las partículas? ¿Cuál es la distancia entre dos de ellas? Para poder plantear y responder estas preguntas de una manera matemáticamente precisa, necesitamos conocer todas las posiciones y velocidades del sistema en cada instante; en la jerga habitual, tenemos que conocer la dinámica sobre el espacio de estados (también llamado espacio de configuraciones para las posiciones y velocidades, o espacio de fases si consideramos las posiciones y momentos). Por ejemplo, la forma adecuada para preguntar sobre el centro de masas, viene dada por la función que para cada estado específico del sistema, da la media ponderada de las posiciones de todas las partículas. Otro ejemplo sería la cantidad de movimiento total del sistema, que viene dada por la función suma de los momentos de todas las partículas individuales. Tales funciones se llaman observables de la teoría, por lo tanto, un observable se define como una función que toma todas las posiciones y momentos, y devuelve un número real. Entre todos los observables hay algunos que se pueden considerar como fundamentales. Un ejemplo bien conocido serían las posiciones y momentos generalizados, denotados por y .

Sin embargo en un contexto cuántico responder, e incluso plantear, tales preguntas es mucho más complicado. Se puede justificar que los ingredientes clásicos necesarios se tienen que cambiar de manera significativa:
  1. El espacio de estados es ahora mucho más complicado, en lugar de las posiciones y velocidades/momentos necesitamos un espacio vectorial complejo (generalmente de dimensión infinita) dotado de un producto interior completo. Dicho espacio vectorial es un espacio de Hilbert y los vectores de se denominan estados (módulo una multiplicación compleja).
  2. Los observables son funciones de en sí mismo que "se comportan bien" con respecto al producto interior (llamados operadores autoadjuntos). Nótese que ahora ¡los resultados obtenidos por los observables cuánticos son vectores complejos en lugar de números reales!
  3. Cuando realizamos un experimento físico obtenemos números reales, por lo que de alguna manera tenemos que poder recuperarlos a partir del observable asociado con el experimento. La forma de hacerlo es a través del espectro de , que consiste en un conjunto de números reales llamados valores propios asociados con algunos vectores llamados vectores propios (en realidad el número que se obtiene es una amplitud de probabilidad cuyo valor absoluto al cuadrado nos da la probabilidad de obtener como resultado de la observación un vector propio específico).
Las preguntas que surgen de forma natural son: ¿cómo elegir el espacio de Hilbert? ¿cómo introducimos observables fundamentales análogos a los de la mecánica clásica? Para responder a estas preguntas tenemos que dedicar un momento a hablar brevemente sobre el álgebra de observables.

Álgebra de Observables

Dados dos observables clásicos, podemos construir otro aplicando diferentes métodos. Entre ellos, los más importantes son:
  • Sumándolos (son funciones reales)
  • Multiplicándolos
  • Mediante un procedimiento más sofisticado llamado corchete de Poisson
El último de ellos resulta ser fundamental en la mecánica clásica ya que juega un papel muy importante dentro de la formulación hamiltoniana de la dinámica del sistema. Un hecho fundamental es que el conjunto de observables dotado con el corchete de Poisson forma un álgebra de Lie (un espacio vectorial con una regla para obtener un elemento a partir de otros dos, que satisfacen algunas propiedades naturales). Los observables fundamentales se comportan muy bien con respecto al corchete de Poisson, a saber, satisfacen unas sencillas reglas de conmutación es decir, si tomamos el -ésimo observable posición y lo "Poisson-multiplicamos" por el -ésimo observable momento, obtenemos la función constante si , o la función constante si .

Uno de los mejores métodos para construir una teoría cuántica asociada a una clásica, es reproducir a nivel cuántico algunas características de su formulación clásica. Una forma de hacer esto es definir un álgebra de Lie para los observables cuánticos tales que algunos de esos observables imiten el comportamiento del corchete de Poisson de unos observables clásicos fundamentales. Este procedimiento (modulo algunos tecnicismos) se conoce como la búsqueda de una representación del álgebra.Para ello uno tiene que elegir:
  1. Un espacio de Hilbert .
  2. Algunos observables fundamentales que reproduzcan las relaciones de conmutación canónicas cuando consideramos el conmutador de operadores.
En Mecánica cuántica estándar los observables fundamentales son las posiciones y los momentos. A primera vista puede parecer que hay una gran ambigüedad en este procedimiento, sin embargo hay un teorema central debido a Stone y von Neumann que establece que, bajo algunas hipótesis razonables, todas las representaciones son esencialmente la misma.

Separabilidad

Una de las hipótesis del teorema de Stone-von Neumann es que el espacio de Hilbert sea separable. Esto significa que sea posible encontrar un conjunto numerable de vectores ortonormales en (llamada base de Hilbert) de tal forma que cualquier estado -vector- de se puede escribir como una suma numerable apropiada de ellos. Un espacio de Hilbert separable, a pesar de ser de dimensión infinita, no es "excesivamente grande", en el sentido de que existen espacios de Hilbert con bases no numerables que son genuinamente mayores. La condición de separabilidad parece natural en mecánica cuántica estándar, pero en el caso de la teoría cuántica de campos -con infinitos grados de libertad- uno podría esperar que fueran necesarios espacios de Hilbert mucho más grandes, es decir, no separables. Sorprendentemente, la mayoría de las teorías cuánticas de campos pueden ser manejados con nuestros queridos y "simples" espacios de Hilbert separables, pero con la notable excepción de la LQG (y su derivada la LQC) donde la no separabilidad juega un papel importante. Por tanto parece relevante entender qué ocurre cuando consideramos espacios de Hilbert no separables [3] en el contexto cuántico. Una forma natural para adquirir la intuición necesaria es considerando en primer lugar la mecánica cuántica en un espacio de Hilbert no separable.

El Oscilador Armónico Polimérico

Los autores de [2,3] discuten dos representaciones no equivalentes (entre las infinitas posibles) del álgebra de observables fundamentales, que comparten una característica inusual: en una de ellas (llamada la representación de posiciones) el observable posición está bien definido pero el observable momento ni siquiera existe; en la representación de los momentos se intercambian los papeles de las posiciones y los momentos. Obsérvese que en este contexto, algunas de las características más familiares de la mecánica cuántica se pierden completamente. Por ejemplo, la fórmula de incertidumbre posición-momento de Heisenberg, no tiene sentido en absoluto, ya que es necesario que ambos observables posición y momento estén definidos.

Para mejorar la comprensión de este tipo de sistemas y sobre todo en vistas a su aplicación en LQG y LQC, los autores de [1] (re)estudian el Oscilador Armónico -dimensional (OAP) en un espacio de Hilbert no separable (conocido en este contexto como espacio de Hilbert polimérico). Como el espacio es no separable, cualquier base de Hilbert será no numerable. Esto da lugar a algunos comportamientos inesperados que pueden ser utilizados para obtener representaciones exóticas del álgebra de observables fundamentales.

La motivación para el estudio del OAP es más o menos la misma de siempre: el OA, además de ser un modelo de juguete excelente, es una buena aproximación a cualquier sistema mecánico unidimensional cerca de sus puntos de equilibrio. Por otra parte, las teorías cuánticas de campos libres pueden ser consideradas como conjuntos de infinitos OA independientes. Es importante tener en cuenta que hay muchas maneras de generalizar el OA a un espacio de Hilbert no separable y también muchas formas equivalentes para realizar una representación concreta, por ejemplo mediante el uso de espacios de Hilbert basados en:
La ecuación para los valores propios de estos espacios toman diferentes formas: en algunos de ellos son ecuaciones en diferencias, mientras que en otros tienen la forma de la ecuación de Schrödinger estándar con un potencial periódico. Es importante notar, sin embargo, que la escritura de observables hamiltonianos en este contexto resulta muy complicada ya que sólo uno de los observables (posición o momento) puede ser estrictamente representado. Esto significa que para el otro, es necesario confiar en algún tipo de aproximación (que se puede obtener mediante la introducción de una escala arbitraria) y la elección de un potencial periódico con mínimos correspondiente al del operador cuadrático. La enorme ambigüedad en este procedimiento ha sido destacada por Corichi, Zapata, Vukašinac y colaboradores. La elección estándar conduce a una ecuación conocida como la ecuación de Mathieu pero otras alternativas simples han sido explorados, como la que se muestra en la figura



Valores propios de la energía (bandas) de un oscilador armónico polimérico. El eje horizontal muestra la posición (o el momento en función de la representación escogida), el eje vertical es la energía y la línea roja representa la extensión periódica particular del potencial utilizado para aproximar el potencial cuadrático habitual del OA. Las otras líneas trazadas en este gráfico corresponden a funciones auxiliares que se pueden utilizar para localizar los bordes de las bandas que definen el espectro puntual en este ejemplo concreto.
Como ya hemos mencionado, las bases ortonormales en espacios no separables de Hilbert son no numerables. Como consecuencia se obtiene el hecho de que la base ortonormal asociada a los estados propios del hamiltoniano debe ser no numerable, es decir, el hamiltoniano debe tener una cantidad infinita no numerable de valores propios (contados con multiplicidad). Un resultado algo inesperado que puede probarse mediante el uso de teoremas clásicos de análisis funcional en espacios de Hilbert no separables, es el hecho de que estos valores propios se agrupan en bandas. Es importante señalar aquí que, aunque sería esperable que el espectro polimérico reproduzca razonablemente bien el espectro del OA, ello únicamente ocurre para la parte baja del espectro. Además es importante tener en cuenta la gran diferencia que persiste: incluso las bandas más estrechas contienen un continuo de valores propios.

Algunas consecuencias físicas

El hecho de que el espectro del oscilador armónico polimérico esté estructurado en bandas es relevante para algunas aplicaciones de la mecánica cuántica polimérica. Dos aspectos relevantes fueron mencionados durante la charla. Por un lado la mecánica estadística de los sistemas poliméricos deben manipularse con el debido cuidado. Debido a las características del espectro, el recuento de los estados propios de energía necesario para calcular la entropía en la colectividad microcanónica está mal definida. Un problema similar surge cuando se calcula la función de partición de la colectividad canónica. Estos problemas probablemente puedan eludirse mediante una regularización adecuada y también apoyándose en algunas reglas de superselección que eliminen todos los estados propios de energía del sistema menos un subconjunto numerable.

 Un contexto en el que algo similar se puede llevar a cabo es en la cuantización polimérica del campo escalar (ya considerada por Husain, Pawłowski y colaboradores). Como este sistema se puede considerar como un conjunto infinito de osciladores armónicos, las características específicas de su cuantización (polimérica) jugarán un papel importante. Una manera de evitar algunas dificultades aquí también se basa en la eliminación de los valores propios de la energía no deseados mediante la imposición de normas de superselección, siempre y cuando puedan justificarse físicamente.

Bibliography

[1] J.F. Barbero G., J. Prieto and E.J.S. Villaseñor, Band structure in the polymer quantization of the harmonic oscillator, Class. Quantum Grav. 30 (2013) 165011.
[2] W. Chojnacki, Spectral analysis of Schrodinger operators in non-separable Hilbert spaces, Rend. Circ. Mat. Palermo (2), Suppl. 17 (1987) 135–51.
[3] H. Halvorson, Complementarity of representations in quantum mechanics, Stud. Hist. Phil. Mod. Phys. 35 (2004) 45-56.

Tuesday, May 5, 2015

Cosmología con condensados de teoría de campos de grupos

Tuesday, Feb 24th
Steffen Gielen, Imperial College 
Title: Cosmology with group field theory condensates 
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by Mercedes Martín-Benito, Rabdoud University


Uno de los principales interrogantes de la física es cómo la gravedad (o, en otras palabras, la geometría del espacio-tiempo) se comporta cuando las densidades de energía son enormes, del orden de la densidad de Planck. La teoría de la gravedad más fiable de la que disponemos, la relatividad general de Einstein, falla a la hora de describir los fenómenos gravitatorios en regímenes de densidades de energía muy altas, ya que ahí esta teoría presenta, de forma genérica, singularidades. Dichos regímenes se alcanzan por ejemplo en el origen del universo o en el interior de agujeros negros, y por tanto todavía no disponemos de una explicación consistente para esos fenómenos. En esas situaciones pensamos que los efectos cuánticos de la gravedad deben ser importantes, sin embargo la relatividad general los ignora, ya que es una teoría que trata el espacio-tiempo como si fuera completamente clásico. En consecuencia, parece inevitable tener que cuantizar la gravedad para poder describir los agujeros negros o el universo primitivo de una manera físicamente correcta.

La cuantización de la gravedad no sólo requiere conseguir una teoría que matemáticamente esté bien definida y que tenga poder de predicción, si no que además necesita que podamos comparar las predicciones con observaciones para constatar que concuerdan. Puede parecer que los regímenes en los que la gravedad cuántica desempeña un papel fundamental, tales como agujeros negros o el universo primitivo, están muy lejos de nuestro alcance observacional y experimental. Sin embargo, gracias al enorme progreso que la cosmología de precisión ha sufrido en las últimas décadas, cabe la posibilidad de que en el futuro cercano seamos capaces de obtener datos observacionales sobre los primeros instantes del universo y que sean sensibles a efectos de gravedad cuántica. Para estar preparados para ese momento necesitamos extraer predicciones cosmológicas de nuestras propuestas a teorías de gravedad cuántica.

Este es el principal objetivo del análisis de Steffen. Él centra su investigación en la propuesta de gravedad cuántica llamada Teoría de Campos sobre Grupos (GFT por sus siglas en inglés – Group Field Theory).  La GFT se basa en definir una integral de camino para la gravedad, es decir, en reemplazar la noción clásica de solución única para la geometría del espacio-tiempo por una suma sobre un infinito de posibilidades, para así calcular una amplitud cuántica. El formalismo empleado es similar al de la teoría cuántica de campos convencional que se usa en física de partículas. Ahí, dado un proceso que involucre partículas, las diferentes interacciones entre ellas que contribuyen a dicho proceso se describen por los llamados diagramas de Feynman, que después se suman de un modo consistente para finalmente dar lugar a la amplitud de transición del proceso que estamos intentando describir. La GFT adopta esa estrategia. Los diagramas de Feynman correspondientes son <<espumas de espín>> (spinfoams en inglés), y representan los diferentes procesos dinámicos que contribuyen a una configuración particular del espacio-tiempo. La GFT está entonces relacionada con la Gravedad Cuántica de Lazos (LQG por sus siglas en inglés – Loop Quantum Gravity), ya que las espumas de espín son una de las propuestas principales para definir la dinámica del espacio-tiempo en LQG. La expansión de Feynman en la GFT extiende y completa esta definición de la dinámica de LQG, intentando determinar cómo tienen que sumarse de una manera controlada estos diagramas para obtener la amplitud cuántica correspondiente. 

La GFT es una teoría fundamentalmente discreta, con un número muy grande de grados de libertad microscópicos. Puede que estos grados de libertad se organicen siguiendo de algún modo un comportamiento colectivo, y que este comportamiento dé lugar a diferentes fases. La esperanza es encontrar una fase que coincida en el límite continuo con un espacio-tiempo suave, como el descrito por la teoría clásica de la relatividad general. De esta manera, tendríamos la conexión entre la teoría cuántica subyacente y la teoría clásica que explica muy bien los fenómenos gravitatorios en regímenes en los que los efectos cuánticos de la de gravedad son despreciables. Para entender esto, hagamos la analogía con una teoría más familiar: la hidrodinámica.
Sabemos que los constituyentes microscópicos de un fluido son las moléculas. La dinámica de estos micro-constituyentes es intrínsecamente cuántica, no obstante estos grados de libertad presentan un comportamiento colectivo que da lugar a las propiedades macroscópicas del fluido, tales como su densidad, su velocidad, etc. Para estudiar estas propiedades es suficiente con aplicar la teoría clásica de la hidrodinámica. Sin embargo sabemos que ésta no es la teoría fundamental que describe el fluido, sino una descripción efectiva que se deriva de la teoría cuántica subyacente (la teoría de la materia condensada), que explica cómo los átomos forman las moléculas, y cómo éstas interaccionan entre ellas dando lugar al fluido.

Puede que el espacio-tiempo continuo al que estamos acostumbrados emerja, de una manera similar al ejemplo del fluido, del comportamiento colectivo de muchos ladrillos cuánticos, o átomos, de espacio-tiempo. Éste es, en palabras sencillas, el punto de vista empleado en la GFT.

Mientras que la propuesta a gravedad cuántica de la GFT todavía está en construcción, es suficientemente madura como para intentar extraer predicciones físicas de ella. Con este objetivo, Steffen y sus colaboradores están trabajando en obtener una dinámica efectiva para cosmología, partiendo para ello del marco general de la GFT. Las soluciones más sencillas de las ecuaciones de Einstein son aquellas que presentan homogeneidad espacial. Éstas resultan describir soluciones cosmológicas, que pueden aproximar bastante bien la dinámica de nuestro universo a gran escala. Entonces, para obtener ecuaciones cosmológicas efectivas desde su GFT, ellos postulan estados cuánticos muy particulares que, mientras que involucran a todos los grados de libertad de la GFT, son estados con propiedades colectivas que pueden dar lugar a una descripción continua y homogénea. Las similitudes entre la GFT y la física de la materia condensada les permite a Steffen y a sus colaboradores hacer uso de las técnicas desarrolladas en materia condensada. En particular, basados en la experiencia con condensados de Bose-Einstein, los estados que ellos consideran pueden interpretarse como condensados.









El comportamiento colectivo de los grados de libertad da lugar en efecto a una descripción homogénea en el límite macroscópico. Las ecuaciones efectivas que ellos obtienen concuerdan en el límite clásico con ecuaciones cosmológicas, pero hay que enfatizar que retienen los principales efectos de la teoría cuántica subyacente. Más concretamente, estas ecuaciones efectivas contienen información sobre la discretización a nivel fundamental, ya que reciben correcciones explícitas (que no están presentes en las ecuaciones clásicas estándar) que dependen del número de cuantos (átomos de espacio-tiempo) que contiene el condensado. Estos resultados son la base de un programa general que tiene como fin extraer la dinámica efectiva en cosmología directamente desde una teoría microscópica y no perturbativa de la gravedad cuántica.