Thursday, October 18, 2012

Más sobre la Dinamica de las Formas

Tim Koslowski, Perimeter Institute
Title: Effective Field Theories for Quantum Gravity form Shape Dynamics
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Por Astrid Eichhorn, Perimeter Institute
La gravedad y la mecánica cuántica se han resistido a ser unificadas en una teoría común por varias décadas. Sabemos bastante acerca del comportamiento clásico de la gravedad, en la forma de la teoría de la Relatividad General de Einstein, que es una teoría de campos. En el último siglo, hemos aprendido a cuantizar otras teorías de campo, como las teorías de calibre del Modelo Estándar de la Física de Partículas. La diferencia crucial entre una teoría clásica y una cuántica reside en el efecto de las fluctuaciones cuánticas. Debido al principio de incerteza de Heisenberg, los campos cuánticos pueden fluctuar, y esto cambia la dinámica efectiva del campo. En una teoría de campos clásica, las ecuaciones de movimiento pueden deducirse minimizando una función , conocida como la acción clásica. En una teoría cuántica de campo, las ecuaciones cuánticas para el valor promedio del campo cuántico no pueden deducirse de la acción clásica. En lugar de ello, se siguen de algo conocido como la acción efectiva, que contiene los efectos de todas las fluctuaciones cuánticas. Para incorporar el efecto de las mismas, desde un punto de vista matemático, existe un procedimiento conocido como la integral de camino. El mismo es bastante complejo, aun si uno hace teoría de perturbaciones (donde uno supone que las soluciones difieren poco de una solución conocida). Un camino para hacer esta tarea más asequible es el llamado Grupo de Renormalización (funcional): No todas las fluctuaciones cuánticas son consideradas al mismo tiempo, sino sólo aquellas con una cantidad de movimiento específica, usualmente empezando por valores grandes. Gráficamente, esto quiere decir que “promediamos” los campos cuánticos sobre distancias cortas (inversamente proporcionales a la cantidad de movimiento). El efecto de las fluctuaciones de gran cantidad de movimiento es por ende cambiar los valores de las constantes de acoplamiento de la teoría. Las mismas no son más constantes, pero dependen de la escala de cantidad de movimiento a considerar, así que es más correcto referirse a ellas como constantes de acoplamiento deslizantes. Como ejemplo, considérese la electrodinámica cuántica: Sabemos que las ecuaciones de movimiento clásicas son lineales, así que no hay interacción entre fotones. Tan pronto como vamos a la teoría cuántica, esto cambia. Las fluctuaciones cuánticas del electrón a cantidades de movimiento grandes inducen una interacción fotón-fotón (con un acoplamiento muy débil así que el efecto es difícil de ver)

Figura 1: Fluctuaciones del electrón introducen un acoplamiento no nulo fotón-fotón en la Electrodinámica Cuántica.

La pregunta de si una teoría puede ser cuantizada, es decir si la integral de camino se puede calcular, encuentra entonces una respuesta en el comportamiento de las constantes deslizantes: Si el efecto de las fluctuaciones cuánticas a gran cantidad de movimiento es hacer los acoplamientos divergentes a algún valor finito de la cantidad de movimiento, la teoría es sólo efectiva a bajas energías, pero no una teoría fundamental. Desde un punto de vista técnico esto implica que cuando uno calcula integrales que toman en cuenta el efecto de las fluctuaciones cuánticas, uno no puede extenderlas a cantidades de movimiento arbitrarias sino que tienen que ser interrumpidas a cierta escala.
La interpretación física de tal divergencia es que la teoría nos esta diciendo que realmente estamos usando grados de libertad efectivos, no fundamentales. Como ejemplo, si construimos una teoría de la interacción débil entre fermiones sin los bosones W y Z, el acoplamiento entre los fermiones diverge a una escala que está relacionada con la masa de los nuevos bosones. De este modo la teoría nos informa que nuevos grados de libertad, los bosones W y Z, deben ser incluidos a esa escala de cantidad de movimiento. Un ejemplo de una teoría que sabemos es verdaderamente fundamental, es decir que sus grados de libertad son validos a escalas arbitrariamente altas de cantidad de movimiento, es la Cromodinámica Cuántica (QCD por quantum chromodynamics, su nombre en ingles). Su característica esencial es un punto fijo Gausiano (uno que corresponde a una teoría libre, no interactuante), que no es más que la afirmación de que la constante de acoplamiento deslizante se debilita a grandes cantidades de movimiento, lo que se conoce como libertad asintótica (dado que a grandes cantidades de movimiento la teoría se vuelve no interactuante, es decir, libre).
No hay nada malo con una teoría que no es fundamental en el sentido de arriba, simplemente significa que es una teoría efectiva, que sólo se puede usar en un rango finito de cantidad de movimiento. Este concepto es bien conocido en física y se usa exitosamente. Por ejemplo en sistemas de materia condensada los grados de libertad efectivos son, por ejemplo, los fonones, que son excitaciones colectivas de un retículo de átomos y que obviamente dejan de ser una descripción valida del sistema a distancias más cortas que la escala atómica. La gravedad cuántica existe como teoría efectiva, y se pueden calcular sus efectos tratando a la métrica del espacio-tiempo como cualquier otro campo. Sin embargo, como teoría efectiva, sólo describe la física en un cierto rango de escalas y presumiblemente dejara de ser valida a una escala conocida como escala de Planck (10^-33 centímetros). Esto implica que no entendemos los grados de libertad microscópicos de la gravedad. ¿Cuales son los grados de libertad fundamentales que describen a la gravedad a escalas más allá de la de Planck, cuál es su dinámica y cuales son las simetrías que los gobiernan?
La cuestión, si es que podemos arribar a una teoría fundamental de la gravedad dentro del marco de las teorías de campos usuales, se reduce a entender el comportamiento de las constantes de acoplamiento deslizantes de la teoría. En teoría de perturbaciones la respuesta se conoce hace tiempo: (en cuatro dimensiones espacio-temporales) en lugar de debilitarse a grandes cantidades de movimiento, la constante de Newton aumenta de valor. Más formalmente, esto quiere decir que el punto fijo (conocido técnicamente como punto fijo Gaussiano) no es atractivo ultravioleta. Debido a esto la mayor parte de los investigadores en gravedad cuántica abandono la idea de tratar de cuantizar la gravedad siguiendo las mismas líneas que las teorías de calibre del Modelo Estándar de las Partículas Elementales. Concluyeron que la métrica no contiene los grados de libertad microscópicos de una teoría continua de la gravedad cuántica, sino que es una teoría efectiva valida a bajas energías. Sin embargo, el hecho de que el punto fijo gaussiano no es atractivo ultravioleta realmente sólo quiere decir que la teoría de perturbaciones deja de funcionar. Mas allá de la teoría de perturbaciones existe la posibilidad de de obtener una teoría fundamental de la gravedad cuántica. La arena en la cual podemos entender esta posibilidad es el espacio de teorías. Este es un espacio (infinito dimensional), que esta cubierto por todas las constantes deslizantes que son compatibles con las simetrías de la teoría. Así, en el caso de la gravedad, el espacio de teorías incluye la constante de Newton, la constante cosmológica, posibles acoplamientos de términos cuadráticos en la curvatura, etc. A una cierta escala de cantidad de movimiento, todos estos acoplamientos tienen algún valor, especificado por un punto en el espacio de teorías. El cambiar la escala de momento, e incluir los efectos de las fluctuaciones cuánticas en estas escalas, implica un cambio en el valor de estos acoplamientos. Así, cuando cambiamos continuamente la escala de cantidad de movimiento, fluimos a través del espacio de teorías a lo largo de lo que se llama una trayectoria del grupo de renormalización. Para que los acoplamientos se mantengan finitos a toda escala de cantidad de movimiento, la trayectoria debe acercarse a un punto fijo a valores grandes de la cantidad de movimiento (posibilidades mas exóticas, como ciclos limites o trayectorias infinitamente extensibles podrían existir también). En un punto fijo, los valores de los acoplamientos no cambian cuando uno incluye más fluctuaciones cuánticas. En ese caso podemos tomar el límite de gran cantidad de movimiento trivialmente, dado que nada cambia si vamos a escalas más altas, es decir, la teoría es invariante de escala. La interpretación física de este proceso es que la teoría no se rompe a ninguna escala finita: los grados de libertad que hemos elegido para parametrizar el sistema físico son validos a escalas arbitrariamente altas. Un ejemplo esta dado por la QCD, que como mencionamos es asintóticamente libre. La interpretación en ese caso es que los quarks y los gluones son grados de libertad microscópicos validos. No existe una escala de cantidad de movimiento a la cual esperar nuevas partículas o una posible subestructura de los quarks y los gluones.
En el caso de la gravedad, para cuantizar necesitamos un punto fijo no-gaussiano. En tal punto, donde los acoplamientos son no nulos, la trayectoria en el grupo de renormalización se detiene y podemos tomar el límite de cantidad de movimiento arbitrariamente grande. Esta idea se remonta a Weinberg y es conocida como asymptotic safety (seguridad asintótica) en inglés. Asintóticamente, a grandes cantidades de movimiento, estamos “a salvo” de divergencias en los acoplamientos, dado que los mismos se acercan a un punto fijo, en el que toman un valor finito. Dado que acoplamientos finitos implican observables finitos (cuando las constantes se definen apropiadamente), una teoría asintóticamente segura da resultados finitos a todas las preguntas físicas. En esta construcción, el punto fijo define la teoría microscópica, es decir, la interacción de los grados de libertad microscópicos. Como comentario al margen, si al estar confrontado con un espacio infinito dimensional de acoplamientos, te preocupa como puede ser tal teoría predictiva, nótese que los puntos críticos vienen equipados con lo que se conoce como una superficie critica: solamente si el flujo del grupo de renormalización yace sobre la superficie critica de un punto fijo se aproximará al punto fijo a grandes cantidades de movimiento. La presencia de una superficie critica finito dimensional implica que la teoría sólo tendrá un numero finito de parámetros, los que definen la superficie critica. A cantidades de movimiento bajas, el valor de estos acoplamientos, que es accesible experimentalmente, no esta fijado por la teoría. Cualquier valor sirve, dado que todos ellos cubren la superficie critica. Por otro lado infinitos acoplamientos serán fijados por el requerimiento de estar en la superficie crítica. Esto automáticamente implica que obtendremos infinitas predicciones de la teoría (de hecho el valor de estos “acoplamientos irrelevantes”, como se los suele llamar), que podemos (en principio) verificar en experimentos.

Figura 2: Un punto fijo no gaussiano tiene una superficie crítica, cuya dimensionalidad corresponde al número de parámetros libres de la teoría.

Dos ingredientes absolutamente cruciales en la búsqueda de una teoría asintóticamente libre de la gravedad cuántica son la especificación del contenido de campos y las simetrías de la teoría. Estas determinan que constantes deslizantes son parte del espacio de teorías. Son los acoplamientos de todos los posibles operadores que se pueden construir a partir de los campos fundamentales respetando la simetría a ser incluida. Imponer cualquier simetría extra en el espacio de teorías significa que algunos de los acoplamientos desaparecerán. Más importante, la (no)existencia de un punto fijo dependerá de la elección de simetrías. Un ejemplo bien conocido es el de una simetría U(1) (presente en el electromagnetismo) versus la simetría SU(3) (presente en la cromodinámica cuántica). La última tiene libertad asintótica mientras que la primera no. Así, las simetrías de un sistema determinan crucialmente su comportamiento microscópico. En gravedad, existen varias versiones equivalentes de la teoría clásica (es decir admiten las mismas soluciones a las ecuaciones de movimiento). Una lista parcial contiene la gravedad usual de Einstein con la métrica como campo fundamental, la gravedad de Einstein-Cartan, donde la métrica es reemplazada por una tétrada de vectores, y la versión unimodular de la gravedad métrica (la discutiremos enseguida). El primer paso en la construcción de una teoría cuántica de campos de la gravedad consiste en la elección del espacio de teorías. Importantemente, esta elección existe tanto en el formalismo de integral de camino como en el Hamiltoniano. Así que en ambos casos existe un número de formulaciones clásicamente equivalentes de la teoría, que difieren a nivel cuántico, y en particular sólo algunas de ellas es posible que existan como una teoría fundamental.
Para ilustrar que esta elección de espacio de teorías es realmente una elección física, consideremos el caso de la gravedad cuántica unimodular. En ella el determinante de la métrica esta restringido a ser constante. Esto implica que el espectro de fluctuaciones cuánticas difiere crucialmente de la versión no unimodular de la gravedad cuántica, y, más importante, la diferencia es de contenido físico, no de forma. Como consecuencia, la evaluación de diagramas de Feynman de la teoría de perturbaciones en ambos casos dará resultados distintos. En otras palabras, las constantes de acoplamiento deslizantes en los dos espacios de teorías tendrán comportamiento distinto, reflejado en la existencia de puntos fijos como de exponentes críticos, que determinaran los parámetros libres de la teoría.
Es aquí donde el nuevo campo de la dinámica de la forma (shape dynamics en ingles) abre nuevas posibilidades. Como explicamos, teorías que tienen la misma dinámica clásica pueden tener simetrías distintas. En particular esto es cierto para teorías de calibre, donde la simetría no es nada mas que una redundancia en la descripción. Como consecuencia de ello sólo un espacio de configuraciones reducido (el espacio de todas las configuraciones posibles de los campos) es físico, y en ciertas direcciones, el espacio de configuración contiene configuraciones redundantes. Un ejemplo simple está dado por la electrodinámica (cuántica), donde el modo longitudinal de vibración del fotón es no-físico (en el vacío), dado que la simetría de calibre restringe al fotón a tener sólo dos polarizaciones físicas (transversales).
Uno puede imaginar como dos teorías diferentes con distintas simetrías de calibre dan la misma física. Los espacios de configuración pueden de hecho ser diferentes, pero son los valores de los observables físicos en el espacio de configuración reducido los que deben coincidir. Esto marca una diferencia crucial en la teoría cuántica, dado que implica espacios de teorías distintos, definidos por simetrías distintas, y correspondientemente comportamientos diferentes de los acoplamientos deslizantes.
La dinámica de las formas cambia parte de las simetrías espaciotemporales cuadridimensionales de la relatividad general (la llamada invariancia de re-foliación, es decir invariancia bajo distintas elecciones de las rebanadas espaciales del espacio-tiempo que llamamos “espacio”) por lo que se conoce como invariancia conforme local, lo que implica invariancia local de escala del espacio. Esto implica una diferencia crucial en la forma en que el espacio-tiempo es presentado en las dos teorías. Mientras el espacio-tiempo es una entidad unificada en la relatividad general, en la dinámica de formas uno lo construye “apilando” rebanadas espaciales (para mas detalles lea el articulo en este blog de Julian Barbour). Eligiendo un calibre particular en las dos teorías da teorías equivalentes.
Aunque las dos teorías son equivalentes a nivel clásico para cuestiones observacionales, sus versiones cuánticas diferirán. En particular, quizá sólo una de ellas admita una compleción ultravioleta como teoría cuántica de campos con un punto fijo no gaussiano.
Una segunda posibilidad es que los dos espacios de teorías admitan un punto fijo no gaussiano, pero lo que se conoce como la clase de universalidad difiera. Hablando en líneas generales, la clase de universalidad esta determinada por la velocidad de aproximación al punto fijo, lo que es capturado por los llamados exponentes críticos. Lo que es más importante, mientras los detalles de las trayectorias del grupo de renormalización dependen típicamente de los detalles del esquema de regularización (esto especifica como se integran exactamente las fluctuaciones cuánticas), los exponentes críticos son universales. La colección completa de exponentes críticos de un punto fijo determina entonces la clase de universalidad. Las clases de universalidad están determinadas por las simetrías, lo que se conoce bien de las transiciones de fase de segundo orden en termodinámica. Dado que la longitud de correlación en la vecindad de una transición de fase de segundo orden diverge, los detalles microscópicos de sistemas físicos diferentes no importan. El comportamiento de observables físicos en la vecindad de una transición de fase esta determinado completamente por el contenido de los campos, la dimensionalidad y las simetrías de un sistema.
Diferentes clases de universalidad pueden diferir en el número de acoplamientos relevantes y por ende corresponder a teorías con distinto “grado de predictividad”. Así, teorías equivalentes clásicamente, cuando se las cuantiza, pueden tener un número distinto de parámetros libres. Como consecuencia, no todas las clases de universalidad serán compatibles con observaciones experimentales, y la elección del espacio de teorías para la gravedad es por ende crucial para identificar que clase de universalidad puede “realizarse en la naturaleza”.
Claramente, la cuantización canónica de la relatividad general usualmente formulada, diferirá de la dinámica de las formas, dado que esta última tiene un Hamiltoniano no-local.
Finalmente, lo que se conoce como doble relatividad general es el último paso en la construcción. Comenzando con las simetrías de la dinámica de las formas, uno puede encontrar una simetría BRST oculta en la relatividad general. Las simetrías BRST son simetrías que existen en las teorías de calibre cuando se formulan con integrales de camino. Para hacer teoría de perturbaciones uno necesita fijar el calibre, lo que da una integral de camino que no es invariante de calibre. Los remanentes de la invariancia de calibre forman la invariancia BRST, la cual puede entenderse como una versión cuántica de la invariancia de calibre.
En el caso de la gravedad, la invariancia BRST conectada a la invariancia de calibre bajo difeomorfismos esta suplementada por la invariancia BRST conectada a la invariancia conforme local. Esto es lo que se conoce como duplicación de simetría. Dado que las simetrías de calibre restringen los flujos en el grupo de renormalización en el espacio de teorías, el descubrimiento de una nueva simetría BRST en la relatividad general es crucial para entender por completo la posible existencia de un punto fijo y su clase de universalidad. Por ello la recientemente descubierta nueva invariancia BRST puede ser un ingrediente crucial para construir una teoría cuántica de la gravedad.