Saturday, January 22, 2011

Cuantización de lazos de una teoría de campos parametrizada


por Rodolfo Gambini y Jorge Pullin

• Madhavan Varadarajan, Loop quantum gravity dynamics: insights from parameterized field theory, 16 November 2010. PDF of the slides, and audio in either .wav (82MB) or .aif format (4MB). Based on joint work with Alok Laddha.
En muchos casos las teorías físicas se formulan de manera tal que el número de cantidades matemáticas usadas para describir la física no es el  mínimo indispensable. Uno usa variables redundantes. Esto puede ser ya sea por conveniencia, para hacer mejor contacto con cosas fácilmente medibles, o, como en el caso de la relatividad general, porque no sabemos aislar las variables esenciales. Cuando uno tiene variables redundantes aparecen simetrías en la teoría: valores aparentemente diferentes de las variables corresponden a la misma física. También hay ecuaciones relacionando los valores de las variables, llamadas vínculos. Los vínculos cumplen dos propósitos: primero nos dicen que las variables son redundantes y en realidad hay menos variables “libres” de lo que uno creía. Segundo, los vínculos generan transformaciones entre las variables que nos dicen que lo que aparentemente son configuraciones físicas distintas son iguales desde un punto de vista físico. Las configuraciones que son físicamente equivalentes vía dichas transformaciones son llamadas “equivalentes gauge”. Cuando uno tiene más de un vínculo existen condiciones de consistencia que tienen que satisfacerse que dicen que las variables son las mismas no importa en que orden uno generó las transformaciones con los vínculos. Por ejemplo, uno podría empezar con una configuración dada y transformarla usando el vinculo 1 y luego el 2 o vice-versa. Matemáticamente las condiciones de consistencia dicen que la diferencia entre actuar con dos vínculos en un orden y otro es cero o es proporcional a actuar con un vínculo. Cuando esto ocurre se dice que los vínculos “cierran un álgebra”.


Cuando uno procede a cuantizar teorías, los vínculos tienen que ser promovidos a operadores cuánticos. El procedimiento tiene un amplio grado de ambigüedad, particularmente para teorías de campos complicadas como la relatividad general. Uno tiene algunas herramientas para guiarse. Por ejemplo, los vínculos cuánticos también tienen que “cerrar un álgebra” como sus contrapartidas clásicas. Se espera que cumplir tal requerimiento reducirá el número de ambigüedades en el proceso de cuantización y ofrecerá una guía cuando uno construye la teoría cuántica.



La principal simetría de la relatividad general se llama “invariancia bajo difeomorfismos”. Esta simetría dice que a priori todos los puntos del espacio-tiempo son equivalentes y pueden ser arrastrados unos hacia los otros. Esta es una noción muy natural en un universo vacío. Supón que estas perdido en un barco en el medio del océano en un día muy calmo y tan lejos de la costa que no la puedes ver y está nublado. No podrías determinar si tu barco está en un punto del océano o en otro: todos los puntos del océano te parecerán equivalentes. Lo mismo ocurre en un universo vacío. Para comenzar a distinguir un punto de otro uno necesita introducir objetos en el universo, por ejemplo campos de materia. Entonces uno puede identificar un punto debido al valor del campo de materia en el mismo. La teoría seguirá siendo invariante bajo difeomofrismos si cuando uno arrastra un punto, arrastra también el valor del campo material asociado al mismo.

La física ordinaria no-gravitacional no suele formularse de manera invariante bajo difeomorfismos. Supón que tu problema físico consiste en encontrar la ruta desde la esquina de Florida Blvd. y la calle N. 22nd hasta la entrada del Progress Park en Baton Rouge, Louisiana. Supón que has “resuelto” el problema comprando un navegador GPS. Imagina ahora que ocurre un terremoto que no causa mucha destrucción pero que deforma la red de calles como muestra la figura. El navegador GPS que compraste ahora no sirve de nada porque tiene cargados mapas de antes del terremoto. Pero supón que hubieras “resuelto” el problema preguntando indicaciones. Así, habrías escrito en un papel “caminar hacia el norte en la calle 22nd, girar a la derecha en la calle North, girar a la izquierda en la calle N. 30th, etc. Dicha “solución” te permitiría aun llegar a tu destino. La razón por la cual dicha solución es valida es que el terremoto ha movido tu trayectoria, pero también los puntos de referencia de tus indicaciones. El resultado es por ende invariante





Similarmente, las teorías cuánticas de campos ordinarias pueden ser reformuladas de manera que sean invariantes bajo difeomorfismos. Básicamente uno usa campos físicos adicionales que etiquetan los puntos del espacio-tiempo de tal manera que cuando uno lleva a cabo un difeomorfismo los puntos del espacio-tiempo y los campos se mueven al unísono, similarmente a como tus indicaciones y tu ruta se movieron al unísono para producir un resultado invariante. Cuando uno las formula de esta manera se las llama “teorías de campo parametrizadas” porque las coordenadas no están fijas sino que son parámetros que uno puede variar.

Esto es lo que Madhavan Varadarajan, en colaboración con Alok Laddha, consideraron en el seminario. Estudian una teoría de campos en un espacio-tiempo plano de dos dimensiones para simplificar las cosas y la formulan de manera invariante bajo difeomorfismos (en la jerga esto se llama 1+1 dimensional para indicar que una dimensión es el espacio y una es el tiempo). Este es un tema con una larga historia. Lo que es nuevo es que se usaron las técnicas de la gravedad cuántica de lazos para tratar el problema, lo que de hecho resuelve algunas dificultades encontradas en intentos previos usando técnicas de teorías cuánticas de campo convencionales. Ellos encuentra que la teoría tiene vínculos que deben ser promovidos a operadores cuánticos y que cierran un álgebra que es bastante similar a la que aparece en la relatividad general en cuatro dimensiones espacio-temporales. La ventaja del modelo en 1+1 dimensiones es que es mucho más simple de tratar y pueden completar el proceso de promover los vínculos a operadores y verificar que con consistentes (“cierran un álgebra”). Esto a su vez  aporta valiosas perspectivas sobre como uno debería proceder en el caso de la relatividad general, en particular que versiones de los vínculos usar y qué espacios de estados cuánticos usar.