Thursday, November 1, 2012

Relatividad general en el espacio de observadores.


Tuesday, Oct 2nd.
Derek Wise, FAU Erlangen
Title: Lifting General Relativity to Observer Space
PDF of the talk (700k) Audio [.wav 34MB], Audio [.aif 3MB].

por Jeffrey Morton, Universidad de Hamburgo

Una versión más técnica y precisa de este artículo aparece en el blog de Jeff en inglés.


Esta plática está basada en un proyecto de Steffen Gielen y Derek Wise, que esta descripto en varios trabajos publicadoes (dos mas cortos "Spontaneously broken Lorentz symmetry for Hamiltonian gravity", "Linking Covariant and Canonical General Relativity via Local Observers", y uno reciente mas largo llamado "Lifting General Relativity to Observer Space").




La idea central detrás de este proyecto es la noción de “espacio de observadores”: un espacio constituido por todos los observadores de un universo dado. Esto se visualiza más fácilmente partiendo de un espacio-tiempo. Matemáticamente, es una variedad M con una métrica Lorentziana g, que entre otras cosas determina qué direcciones son “tipo-tiempo” en un punto dado. Un observador puede ser especificado eligiendo dos cosas. En primer lugar un punto (x0,x1,x2,x3)=x, asociado a un “evento” en el espacio-tiempo. En segundo lugar, una dirección tipo tiempo orientada hacia el futuro que es tangente a la trayectoria de un observador “físico” que pasa por el evento x. El espacio de observadores consiste de todas estas elecciones: lo que se conoce como el “haz tangente unitario a futuro de M”. Sin embargo, usando la nocion de una “geometría de Cartan”, uno puede dar una definición general de espacio de observadores que tiene sentido aun cuando no hay una variedad espacio-temporal subyacente.

 El resultado es una sorprendente nueva intuición que dice que el “espacio-tiempo” es una noción local y dependiente de observador, que en algunos casos especiales se puede extender de modo tal que todos los observadores vean el mismo espacio-tiempo. Esto aparece relacionado a la idea de relatividad de localidad. Más directamente, es geométricamente similar al hecho de que rebanar un espacio-tiempo en fetas de espacio que evolucionan en el tiempo no es un procedimiento único, y no es respetado por las simetrías completas de la teoría de la relatividad. Más bien, la división entre espacio y tiempo depende del observador.

¿Cómo se describe todo esto matemáticamente? En particular, ¿qué se quiso decir antes cuando se dijo que el espacio-tiempo en si mismo se vuelve dependiente de observador? L a respuesta usa la geometría de Cartan.

Geometría de Cartan 

En líneas generales, la geometría de Cartan es a la geometría de Klein lo que la geometría de Riemann es a la geometría Euclídea.

El programa de Erlangen de Klein, llevado a cabo a mediados del siglo 19, trajo sistemáticamente al algebra abstracta, y específicamente a la teoría de grupos de Lie, a la geometría, colocando la idea de simetría en un rol pivotal. Describe “espacios homogéneos” X, que son geometrías en las que cada punto es indistinguible de los otros. Esto se expresa a través de la acción de un grupo de Lie G, que consiste en todas las transformaciones de un espacio subyacente que preservan su estructura geométrica. Para un espacio Euclídeo n dimensional En, el grupo de simetrías es precisamente el que deja invariante la geometría Euclídea, es decir los ángulos y las longitudes. Este es el grupo Euclídeo, y es generado pro las rotaciones y las translaciones. Pero todo punto x será mantenido fijo por algunas simetrías y no otras, así que existe un subgrupo H, el “subgrupo estabilizador”, que consiste de todas las simetrías que dejan a x fijo.

El par (G,H) es todo lo que necesitamos para especificar un espacio homogéneo o geometría de Klein. Así, un punto será mantenido fijo por el grupo de rotaciones centradas en dicho punto. La observación de Klein es dar vuelta esto: podemos definir lo Euclídeo a partir del grupo G, esencialmente "ignorando" (lo que técnicamente se denomina "modding out" en inglés) el subgrupo H de transformaciones que dejan un punto fijo.  Resulta en todas las traslaciones que determinan los posibles puntos y a los que un punto x puede ser llevado y no más. El programa de Klein nos deja hace esto en general, dado cualquier par (G,H). La ventaja de este programa es que lleva a un número muy grande de ejemplos de geometrías (incluyendo algunas previamente no conocidas) en forma unificada. Pero las más relevantes por ahora son:
  • Espacio Euclídeo n-dimensional, como describimos.
  • Espacio de Minkowski n-dimensional. El grupo Euclídeo es reemplazado por el grupo de Poincaré, lo que incluye las traslaciones y rotaciones, pero también los “boosts” de la relatividad especial. Este es el grupo de todas las transformaciones que mantienen fija la geometría determinada por la métrica de Minkowski del espacio-tiempo plano.
  •  Espacio de de Sitter y de anti-de Sitter, los que son relevantes para estudiar la relatividad general con una constante cosmológica.
Así como una geometría Lorentziana o Riemanniana es “localmente modelada” por un espacio de Minkowski o Euclídeo respectivamente, una geometría de Cartan es modelada localmente por una geometría de Klein. Medidas hechas cerca de un punto de la geometría de Cartan parecen ser las de una geometría de Klein.

Dado que la curvatura se mide observando el desarrollo de curvas, podemos pensar cada espacio homogéneo como una geometría de Cartan plana con si mismo como modelo local, así como el espacio de Minkowski de la relatividad especial es una solución particular de la relatividad general.

 La idea de que la curvatura de una variedad depende de la geometría modelo que se usa para medirla aparece en la manera en la que usamos dicha variedad en física.

Gravedad y la geometría de Cartan 

La teoría de la gravedad de MacDowell-Mansouri puede entenderse como una teoría en la cual la relatividad general es modelada como una geometría de Cartan. Por supuesto, la manera usual de presentar la relatividad general es en términos de una geometría de una variedad Lorentziana. El formalismo de Palatini describe a la relatividad general en lugar de a través de una métrica, a través de un conjunto de vectores gobernados por las ecuaciones de Palatini. Esto puede deducirse de una geometría de Cartan a través de la teoría de MacDowell-Mansouri, que “rompe la simetría completa” de la geometría en cada punto, generando los campos vectoriales que aparecen en el formalismo de Palatini. Así, la relatividad general puede ser escrita como la teoría de una geometría de Cartan modelada en el espacio de de Sitter.

El espacio de observadores 

La idea de definir un espacio de observadores es combinar dos reducciones de simetría en una. Uno tiene una geometría modelo de Klein, que refleja la “ruptura de simetría” que aparece cuando se elige un punto particular en el espacio-tiempo (también llamado evento). Las direcciones temporales son vectores tangentes a la línea de mundo (la trayectoria en el espacio-tiempo) de un observador “físico” en el evento elegido. Así que la geometría de Klein es el espacio de todos tales posibles observadores en un evento dado. El subgrupo estabilizador de un punto en este espacio consiste de simplemente las rotaciones del espacio-tiempo alrededor del observador dado, los “boosts” en la transformación de Lorentzt que relacionan diferentes observadores. Localmente, el elegir un observador es equivalente a dividir el espacio-tiempo en un producto de un espacio y un tiempo. Si combinamos las dos reducciones al mismo tiempo, obtenemos una geometría de Klein siete dimensional que esta relacionada al espacio de de Sitter, al que podemos pensar como un modelo homogéneo de “espacio de observadores”.

Esto puede ser intuitivamente sorprendente: da un modelo geométrico perfectamente concreto en el que el “espacio-tiempo” es relativo y dependiente de observador, y posiblemente solo significativo localmente, en el mismo sentido que la distinción de “espacio” y “tiempo” lo es en relatividad general. Esto es, puede ser imposible determinar objetivamente si dos observadores están basados en el mismo evento o no. Esto es un tipo de “relatividad de la localidad”, que es geométricamente bastantes similar a la ahora familiar relatividad de la simultaneidad. Cada observador llegara a ciertas conclusiones acerca de que observadores comparten el mismo evento base, pero distintos observadores pueden no estar de acuerdo. Los observadores coincidentes de acuerdo a un observador dado son esos alcanzados por una buena clase de geodésicas en el espacio de observadores que se mueven en direcciones que el observador ve como “boosts”.

Dada una cierta condición de integrabilidad uno puede reconstruir un espacio-tiempo del espacio de observadores: dos observadores estarán de acuerdo acerca de si están o no en el mismo evento. Este es el familiar mundo de la relatividad, donde la simultaneidad puede ser relativa, pero la localidad absoluta.

Levantando la gravedad al espacio de observadores 

Además de describir este modelo de espacio-tiempo relativo, una motivación adicional para describir el espacio de observadores es que uno puede formular la relatividad general canónica (hamiltoniana) localmente cerca de cada punto en un espacio de observadores. El objetivo es tender un puente entre las cuantizaciones canónicas y covariantes de la gravedad. La cuantización covariante trata la geometría del espacio-tiempo como un conjunto, a través de lo que se conoce como un lagrangiano. Esto es matemáticamente atractivo, dado que respeta las simetrías de la relatividad general, es decir, su invariancia bajo difeomorfismos (o, hablando más físicamente, que sus ecuaciones toman la misma forma para todos los observadores). Por otro lado, esta alejada del enfoque canónico (hamiltoniano) a la cuantización de sistemas físicos, en el que el concepto de tiempo es fundamental. En el enfoque canónico, uno cuantiza el espacio de estados de un sistema en un instante dado del tiempo, y el hamiltoniano de la teoría describe su evolución. Esto es problemático para la invariancia bajo difeomorfismos (o aun la invariancia Lorentz) dado que la coordenada temporal depende de una elección de observadores. El punto del espacio de observadores es que podemos considerar dichas elecciones todas simultáneamente. El describir la relatividad en el espacio de observadores es tanto covariante como basado en elecciones (locales) de dirección temporal. Así un “campo de observadores” es una elección, en cada evento de base M, de un observador basado en dicho evento. Un campo de observadores puede o no corresponder a una descomposición particular de un espacio-tiempo en un espacio que evoluciona en el tiempo, pero localmente, en cada punto del espacio de observadores, siempre parecerá ser uno. La teoría resultante describe la dinámica de la geometría espacial en el tiempo, como es vista por un observador dado, en términos de una geometría de Cartan.

Esta división, en las mismas líneas que la presente en la gravedad de MacDowell-Mansouri que describimos antes, sugiere que uno puede levantar a la relatividad general a una teoría en el espacio de observadores. Esto corresponde a describir campos en el espacio de observadores y una teoría para laos mismos, tal que la descomposición de los campos devuelve los campos usuales de la relatividad general en un espacio-tiempo, y las ecuaciones dan las ecuaciones usuales. Esta parte del proyecto aun esta en desarrollo, pero existe una forma de levantar las ecuaciones de Einstein al espacio de observadores. Esto nos dice que la relatividad general puede ser definida puramente en términos del espacio de todos los posibles observadores, y cuando hay un espacio-tiempo objetivo, la teoría resultante se ve idéntica a la relatividad general. En el caso en el que no hay un espacio-tiempo “objetivo”, el resultado incluye sorprendentes campos nuevos. Si esto es bueno o malo no es claro aún.