Friday, March 11, 2016

Reducciones de simetría en gravedad cuántica de lazos





Tuesday, Dec. 8th
Norbert Bodendorfer, Univ. Warsaw 
Title: Quantum symmetry reductions based on classical gauge fixings 
PDF of the talk (1.4MB)
Audio [.wav 35MB]
YouTube.

Tuesday, Nov. 10th
Jedrzej Swiezewski, Univ. Warsaw 
Title: Developments on the radial gauge 
PDF of the talk (4MB)
Audio [.mp3 40MB]

por Steffen Gielen, Imperial College

Hace algunos meses, físicos alrededor del mundo celebraron el centenario de las ecuaciones de la relatividad general, presentadas por Einstein a la Academia Prusiana de Ciencias en Noviembre de 1915. Llegar a las ecuaciones correctas fue la culminación de un increíble esfuerzo intelectual por Einstein, motivado fundamentalmente por requerimientos matemáticos (reemplazando a la teoría de Newton de la gravitación, que terminó siendo incompleta) que debía satisfacer la teoría. En particular, Einstein se dio cuenta que las ecuaciones de campo debían ser generalmente covariantes - debían tomar la misma forma en cualquier sistema de coordenadas que uno usara para calcular, digamos como coordenadas Cartesianas, cilíndricas o esféricas. Esta propiedad diferencia a las ecuaciones de la relatividad general de las leyes del movimiento de Newton, donde cambiar sistema de coordenadas puede llevar a la aparición de "fuerzas" adicionales como la centrípeta o la de Coriolis. 

Muchas conferencias tuvieron lugar honrando el aniversario del logro de Einstein. Lo que se discutió en dichas conferencias fue parcialmente el contexto histórico, la belleza de las ecuaciones o el significado matemático y conceptual de la covariancia general. Sin embargo, el legado más importante de la relatividad general y la inspiración más importante para las investigaciones modernas ha sido los nuevos fenómenos físicos que aparecen en la relatividad general  y no en la teoría de Newton: los agujeros negros son regiones del espacio-tiempo donde la gravedad se vuelve tan fuerte que ni la luz puede escapar; el fuerte campo gravitatorio fuera de un agujero negro conlleva una dilatación temporal tan importante que una hora cerca de un agujero negro puede corresponder a años en la Tierra, como se mostró recientemente en el film Interstellar; también creemos que el universo se expande como un todo, y lo ha estado haciendo desde el Big Bang que se cree es el comienzo del espacio y del tiempo.

Para entender estas consecuencias dramáticas de las ecuaciones de Einstein, los físicos han tenido que resolver dichas ecuaciones. Esto es bastante difícil en general: las ecuaciones de Einstein son ecuaciones diferenciales complicadas para diez funciones dependientes del tiempo y de tres coordenadas espaciales, que codifican el campo gravitatorio de un espacio-tiempo. Además, la atractiva propiedad conceptual de la covariancia general significa que soluciones aparentemente diferentes de las ecuaciones pueden ser simplemente la misma configuración física vista en coordenadas distintas. De hecho ambos temas - encontrar soluciones a las ecuaciones y entender su significado- fueron desafíos importantes en los primeros días de la teoría, cuando los físicos trataron de entender las ecuaciones de Einstein. 

A pesar de este formidable desafío el teniente prusiano de artillería Karl Schwarzschild, mientras prestaba servicio en el Frente Oriental de la Primera Guerra Mundial, pudo obtener una solución exacta de las ecuaciones de Einstein en vacío a pocas semanas de su publicación, para sorpresa de Einstein mismo. Esta solución, conocida ahora como la solución de Schwarzschild, describe un agujero negro, y es una de las soluciones más importantes de la relatividad general. Lo que Schwarzschild hizo para resolver las ecuaciones fue suponer una simetría de la solución: supuso que la configuración de campo gravitatorio debía ser esféricamente simétrica. En coordenadas esféricas, en donde cada punto del espacio es especificado por una coordenada radial y dos angulares, debería ser independiente  de cualquier cambio en las direcciones angulares. Esto quiere decir que uno describe al espacio como una colección de esferas regulares concéntricas. Lo que Schwarzschild encontró fue que las esferas no tenían que ser pegadas entre si para dar el espacio usual plano, pero uno podía formar una geometría curvada con ellas, con la curvatura incrementándose cuando uno se dirige hacia el centro (eventualmente formando el agujero negro), y aún así resolver las ecuaciones de Einstein. Para hacer el cálculo, Schwarzschild tuvo que elegir un sistema de coordenadas adecuado, explotando la propiedad de covariancia general a su favor.


Esta estrategia de encontrar soluciones es típica de los que trabajan en relatividad general: soluciones cosmológicas similarmente pueden encontrarse suponiendo que el universo se ve de la misma manera en cada punto y en cada dirección en el espacio (matemáticamente hablando es homogéneo e isótropo), y solo cambia en el tiempo. Esto reduce el problema de resolver las ecuaciones de Einstein a una tarea mucho más simple, y soluciones explícitas se pueden escribir, nuevamente en sistemas de coordenadas adecuados. Estas simples soluciones ya exhiben las características principales de nuestro universo (expansión global y una singularidad tipo Big Bang (Gran Explosión) al comienzo) y son bastante realistas –de hecho nuestro universo exhibe sólo pequeñas variaciones entre regiones de gran escala, y a las escalas más grandes está bien descripto por una geometría que simplemente se igual en todos los puntos del espacio.

La gravedad cuántica de lazos es un enfoque para cuantizar la relatividad general, apuntando a extender la relatividad general haciéndola compatible con la mecánica cuántica. Lo que la distingue de otros enfoques es que la principal propiedad de la relatividad general, la covariancia general, es tomada como un principio rector para construir la teoría cuántica. En algunos aspectos el estatus de la gravedad cuántica de lazos puede compararse a los primeros días de la relatividad general: mientras que sabemos que una teoría cuántica compatible con la covariancia general se puede construir y su estructura matemática está bien entendida, uno ahora debe entender los nuevos fenómenos físicos que la cuantización implica, más allá de la relatividad general. Así como en el tiempo posterior a noviembre de 1915, los físicos hoy deben encontrar soluciones explícitas a las ecuaciones de la gravedad cuántica de lazos que puedan usarse para estudiar las implicaciones físicas del (relativamente) nuevo enfoque.

Uno de los principales éxitos de la gravedad cuántica de lazos ha sido su aplicación a cosmología. Soluciones homogéneas de las ecuaciones de Einstein que describen aproximadamente nuestro universo reciben modificaciones una vez que se usan técnicas de gravedad cuántica de lazos, que conllevan a la resolución de la singularidad del Big Bang reemplazándola con un Big Bounce (gran rebote), con efectos potencialmente observables. Sin embargo los modelos del universo resultantes no son soluciones de la teoría completa de la gravedad cuántica de lazos; más bien surgen como cuantización de un conjunto reducido de soluciones de la relatividad general clásica con técnicas de gravedad cuántica de lazos. No hay razón en general para esperar que estas sean soluciones exactas de la gravedad cuántica de lazos. La mecánica cuántica es peculiar: la cuantización puede llevar a muchas teorías no equivalentes, dependiendo de cómo proceda uno. Asumiendo que el universo es homogéneo desde el principio, uno obtiene una teoría con un numero finito (en lugar de infinito) de “grados de libertad”. Es bien sabido que las teorías cuánticas pueden comportarse distinto dependiendo de si tienen un numero finito o infinito de grado de libertad.

En sus seminarios ILQS, Jedrzej y Norbert presentaron resultados tendientes a reducir esta tensión. En el enfoque que presentaron, similar a lo que Schwarzschild y sus contemporáneos hicieron hace 100 años, uno identifica sistemas de coordenadas apropiados en los que la métrica del espacio-tiempo, representando al campo gravitatorio, esta representada. En una teoría cuántica donde la covariancia general esta implementada a nivel fundamental, esto requiere hacer lo que se conoce como “fijación de gauge”; la libertad de elegir coordenadas debe ser “fijada” consistentemente en la teoría cuántica. Fijaciones de gauge llevan a que uno trabaje con menos variables y uno tiene que preocuparse menos acerca de soluciones diferentes pero físicamente equivalentes relacionadas entre si por cambios de coordenadas. Con colaboradores en Varsovia, Jedrzej y Norbert han hecho progresos en estos temas en los años recientes.

El segundo paso, después de elegir un sistema de coordenadas conveniente (piénsese en las coordenadas esféricas para tratar un agujero negro de Schwarzschild), es hacer una “reducción de simetría” en la teoría cuántica completa: en lugar de focalizarse en los universos cuánticos más generales uno lo hace en los que tienen una cierta propiedad de simetría. Norbert mostró una estrategia detallada para hacer eso. Uno identifica una ecuación satisfecha por todas las soluciones clásicas con la simetría deseada, por ejemplo isotropía (verse igual en todas las direcciones). La versión cuántica de esta ecuación se impone sobre la gravedad cuántica de lazos, llevando a una definición completamente cuántica de simetrías como “isotropía” o “simetría esférica” en gravedad cuántica de lazos. La aplicación obvia de este mecanismo, que está siendo explorada actualmente, es la identificación de solución cosmológicas y de agujeros negros en gravedad cuántica de lazos, estudiar su dinámica y verificar que los resultados que se obtienen están de acuerdo con los encontrados en los modelos mas simples finito-dimensionales que describimos más arriba. En particular a uno le gustaría saber si las singularidades dentro de los agujeros negros o el Big Bang, donde la teoría de Einstein deja de funcionar, son resueltas por la teoría cuántica, como se espera.

Jedrzej también mostró como los métodos desarrollados en diferentes “fijaciones de gauge” para la relatividad general pueden ser aplicados para resolver un tema disputado en la correspondencia AdS/CFT que aparece en teoría de cuerdas., donde uno se enfrenta a un problema similar de fijar la gran libertad existente de cambiar coordenadas para establecer las propiedades invariantes del espacio-tiempo. En particular, un cierto tipo de fijación de gauge ha sido discutido en AdS/CFT, que lleva a consecuencias poco familiares como la no localidad en la teoría con el gauge fijado. Las herramientas desarrolladas por Jedrzej y sus colaboradores pueden ser usadas para clarificar en forma precisa como ocurre la no localidad. Entonces proveen un ejemplo inusual de aplicación de métodos desarrollados para gravedad cuántica de lazos en un contexto motivado por teoría de cuerdas, un ejemplo claramente positivo que quizá inspire más trabajo en conexiones cercanas entre métodos usados en estas dos comunidades de investigadores.