Tuesday, March 26, 2013

Gravedad cuántica de lazos reducida.


Tuesday, Mar 12th.
Emanuele Alesci, Francesco Cianfrani
Title: Quantum reduced loop gravity
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Por Emanuele Alesci, Universidad de Varsovia and  Francesco Cianfrani, Universidad de Breslau


Proponemos un nuevo paradigma para la cuantización de lazos de sectores reducidos por simetría de la relatividad general, que llamamos gravedad cuántica de lazos reducida, y aplicamos este esquema a la extensión inhomogénea de los modelos cosmológicos del tipo Bianchi I (una cosmología que es homogénea pero no isótropa). Para explicar el significado de esta frase necesitaremos varios ingredientes que presentaremos en las secciones siguientes. Enfoquémonos primero en el significado de “reducción por simetría”: este proceso simplemente significa que si un sistema físico tiene algún tipo de simetría, podemos usarla para reducir el número de variables independientes necesarias para describirlo. La simetría entonces nos permite en general reducir las variables de una teoría a los grados de libertad verdaderamente independientes. Por ejemplo, consideremos una partícula puntual sin espín que se mueve en un plano bajo la influencia de un potencial central. El sistema es invariante bajo rotaciones bidimensionales alrededor del centro del potencial. Como consecuencia de ello se conserva el momento angular. La velocidad angular alrededor del origen es una constante de movimiento y la única variable dinámica “verdadera” es la coordenada radial de la partícula. Si uno va al espacio de fases (el espacio de posiciones y momentos de la teoría), el mismo puede ser parametrizado por las coordenadas radiales y angulares con el correspondiente momento, pero la simetría fuerza al momento asociado con la coordenada angular a permanecer conservado. El espacio de fases reducido asociado a tal sistema esta parametrizado por la coordenada y el momento radial a partir de los cuales, dadas las condiciones iniciales, la trayectoria completa de la partícula en el plano puede ser reconstruida.  La cuantización del espacio de fases reducido es en general más fácil que la que se hace en el espacio completo y esta es la razón principal por la cual esta técnica se suele usar en enfoques de la gravedad cuántica, cuya formulación final todavía nos evade. Por ejemplo, el análisis canónico de modelos homogéneos (cosmología cuántica de lazos) y de sistemas esféricamente simétricos (agujeros negros cuánticos) en la gravedad cuántica de lazos se ha llevado a cabo primariamente reduciendo el espacio de fases y cuantizando el sistema resultante (lo que se conoce técnicamente como cuantización reducida). La idea básica de nuestro enfoque es invertir el orden de “reducción” y “cuantización”. La motivación viene directamente de nuestro análisis y, en particular, del fracaso de la cuantización reducida en proveer una dinámica sensata para las extensiones inhomogeneas del modelo anisotropico pero homogéneo de Bianchi I. Como consecuencia seguiremos un camino distinto definiendo una reducción “cuántica” del espacio de Hilbert de estados cuánticos de la teoría completa a un subespacio que captura los grados de libertad relevantes. Este procedimiento nos permitirá tratar el sistema Bianchi I inhomogéneo directamente a nivel cuántico en una teoría donde se pueden hacer cálculos explícitos con todos los ingredientes de la gravedad cuántica de lazos (sólo que simplificados debido a la reducción cuántica.
Para proceder, revisemos un poco las características principales de la gravedad cuántica de lazos.

Gravedad cuántica de lazos
La gravedad cuántica de lazos es uno de los enfoques más prometedores para la cuantización del campo gravitatorio. Su formulación es canoníca y por ende está basada en hacer una descomposición 3+1 del espacio-tiempo. El espacio de fases esta parametrizado por las conexiones de Ashtekar-Barbero y sus momentos asociados, a partir de los cuales se puede calcular la métrica del espacio. Un punto central de esta reformulación es la existencia de una simetría de calibre (conocida técnicamente como simetría de calibre SU(2)), que juntamente a la independencia de estructuras geométricas preexistentes (estructuras de fondo), llevan a los vínculos conocidos como vínculos cinematicos de la teoría (cada vez que hay una simetría en una teoría aparece un vinculo asociado indicando que las variables no son independientes y uno tiene que aislar los grados de libertad genuinos). El procedimiento de cuantización está inspirado en los enfoques desarrollados en la década del 70 para describir teorías de calibre en el retículo en el límite de campo fuerte. En particular los estados están dados en términos de redes de espín, que son grafos con “colores” en las líneas que conectan intersecciones. Un ingrediente esencial de la gravedad cuántica de lazos es la independencia de estructuras preexistentes. La manera en la que se implementa esta simetría es un logro completamente nuevo en gravedad cuántica y permite encontrar una expresión regularizada (sin infinitos) del operador asociado al vinculo Hamiltoniano que dicta la dinámica de la teoría. Gracias a un procedimiento introducido por Thiemann, el vinculo Hamiltoniano puede ser aproximado mediante una triangulación del espacio. El límite en el que la triangulación se vuelve cada vez más fina nos da la expresión clásica y está bien definida a nivel cuántico sobre nudos-s (clases de redes de espín relacionadas por deformaciones suaves). La razón es que los nudos-s son invariantes bajo difeomorfismos y por ende no dependen de la longitud característica de la triangulación. Esto quiere decir que el vinculo Hamiltoniano puede ser regularizado consistentemente y, dicho sea de paso, el algebra asociada no tiene anomalías. Desafortunadamente, la expresión resultante no puede ser calculada en forma analítica, debido a la presencia del operador de volumen. Este obstáculo parece ser una obstrucción técnica más que una obstrucción teórica y por esa razón nuestro objetivo es superarlo en un modelo simple, como los cosmológicos.

Cosmología cuántica de lazos
La cosmología cuántica de lazos es la mejor teoría de la que disponemos para tratar cosmologías homogéneas. Se basa en una cuantización en el espacio de fase reducido, lo que implica que la reducción asociada a la simetría ocurre a nivel enteramente clásico. Una vez hecha la reducción, uno procede a cuantizar los grados de libertad con técnicas de gravedad cuántica de lazos. Sabemos que nuestro universo experimenta una fase altamente isotrópica y homogénea a escalas de más de 100 megaparsecs. La descripción cosmológica mas simpe es la del modelo de Friedman-Robertson-Walker (FRW), en la cual uno tiene un elemento de línea homogéneo e isótropo, descripto por una sola variable, el factor de escala. Una generalización se puede hacer considerando extensiones anisotropicas, los llamados modelos de Bianchi, en los que hay tres factores de escala definidos a lo largo de tres direcciones fiduciarias. En la cosmología cuántica de lazos uno fija la geometría a FRW o a modelos Bianchi y cuantiza las variables dinámicas. A pesar de esto, una deducción directa a partir de la gravedad cuántica de lazos aun no se conoce y es difícil en este contexto acomodar inhomogeneidades porque la teoría está definida en un espacio homogéneo.

Extensiones inhomogéneas de los modelos Bianchi
Queremos definir un nuevo modelo cosmológico que retenga todos los aspectos positivos de la gravedad cuántica de lazos, en particular un tipo de independencia de estructuras preexistentes a través de la cual la regularización del vínculo Hamiltoniano se pueda llevar a cabo como en la teoría completa. Para ello consideramos el modelo Bianchi más sencillo, llamado tipo I (un espacio homogéneo pero anisotropico), y definimos una extensión inhomogénea caracterizada por factores de escala que dependen del espacio. La extensión contiene como caso limite la fase homogénea en una parametrizacion arbitraria. La virtud de estos modelos es que son invariantes bajo lo que llamamos difemorfismos reducidos, que es la invariancia bajo una clase restringida de difeomorfismos que preservan las direcciones fiduciales de las anisotropías del modelo de Bianchi I. ¡Este es precisamente el tipo de simetría que buscábamos! De hecho, una vez que uno basa estados cuánticos sobre los grafos reducidos, cuyas líneas yacen a lo largo de las direcciones fiduciarias, podemos definir nudos-s reducidos, que no dependerán de la longitud de la cubulación del espacio (hablamos de cubulacion porque los grafos reducidos admiten cubulaciones y no triangulaciones). Como consecuencia, solo tenemos que repetir la construcción de Thiemann para una cubulación en lugar de una triangulación. Pero, ¿termina dando una buena expresión para el vinculo Hamiltoniano? La respuesta es negativa y la razón es que existe una simetría adicional en el espacio de fase reducido que nos impide repetir la construcción de Thiemann para el vinculo Hamitoniano. Por ende, el problema dinámico no puede ser atendido con las técnicas usuales de gravedad cuántica de lazos en la cuantización reducida.

Gravedad cuántica de lazos reducida
¿Qué nos falta en la cuantización reducida? La idea es que hemos reducido la simetría de calibre demasiado y esto es lo que nos impide construir el Hamiltoniano. Por ende volvemos hacia atrás y no reducimos la simetría y procedemos a cuantizar primero. Entonces podemos imponer la reducción de la simetría a nivel cuántico. Así, la expresión del vinculo Hamiltoniano del modelo de Bianchi I puede ser cuantizado de acuerdo al procedimiento de Thiemann. Más aun, los elementos de matriz asociados pueden ser calculados analíticamente dado que el operador de volumen toma una forma simplificada en el nuevo espacio de Hilbert. Así, tenemos una descripción cuántica del modelo inhomogéneo de Bianchi I in la que todas las técnicas de la gravedad cuántica de lazos pueden ser aplicadas y los cálculos completados analíticamente. Esto quiere decir que por primera vez tenemos un modelo en el que podemos probar explícitamente varios aspectos de la cuantización de lazos: el Hamiltoniano original de Thiemann que cambia grafos, el programa del vínculo maestro, la cuantización algebraica o el nuevo enfoque de deparametrización con campos de materia. Todos pueden ser examinados. El modelo es un retículo cuboidal, cuyos lados tienen números cuánticos y con relaciones reducidas entre esos números en los vértices. En dos palabras tenesmo una especie de “cosmología cuántica de lazos” hibrida a lo largo de los lados con relaciones de gravedad cuántica de lazos en los vértices, pero con una estructura de grafos y ¡operador de volumen diagonal! Esto significa que tenemos un modelo tratable analíticamente más cercano a la gravedad cuántica de lazos que la cosmología cuántica de lazos y potencialmente capaz de tratar inhomogeneidades e anisotropías al mismo tiempo. ¿Es significativo este modelo? Lo que nos resta hacer es “solamente”  física: como primera prueba tratar de estudiar el limite semiclasico. Si este modelo da la relatividad general en el régimen clásico, entonces podemos pasar a comparar sus predicciones con las de la cosmología cuántica de lazos en el régimen cuántico, insertando campos de materia y analizando su rol, discutiendo el comportamiento de las inhomogeneidades y todo eso. Veremos…