Sunday, November 24, 2013

Los sólidos Platónicos de la gravedad cuántica

Hal Haggard, CPT Marseille
Title: Dynamical chaos and the volume gap 
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por Chris Coleman-Smith, Duke University



A la escala de Planck, se espera que la geometría del espacio se comporte cuánticamente. La gravedad cuántica de lazos provee una realización especifica de dicha expectativa. Predice una granularidad del espacio con cada grano teniendo un comportamiento cuántico. En particular el volumen del grano esta cuantizado y el sus valores posibles tienen una rica estructura (lo que se conoce como su "espectro"). Las áreas también están naturalmente cuantizadas y hay un espaciado robusto en los valores posibles del área. Así como Planck mostro que debe haber una energía mínima para el fotón, existe una mínima área espacial posible. ¿Ocurre lo mismo para los volúmenes?

Estos granos del espacio pueden visualizarse como poliedros con caras de área fija. En la teoría cuántica completa estos poliedros se desdibujan y así como no podemos pensar acerca de una partícula cuántica como una pelotita que rota no podemos pensar de estos poliedros como los Sólidos Platónicos definitivos que uno podría imaginar.

[Imagen por Wenzel Jamnitzer] 

Es interesante examinar estos poliedros a nivel clásico, donde uno puede ignorar el desdibujamiento, y ver que propiedades se pueden deducir acerca de la teoría cuántica.

El tetraedro es el poliedro más simple. Bianchi y Haggard [1] exploraron la dinámica que surge de fijar el volumen del tetraedro y dejar que los bordes evolucionen en el tiempo. Esta evolución es una manera muy natural de explorar el conjunto de poliedros de volumen constante que puede ser alcanzado por deformaciones suaves de la orientación de las caras de los poliedros. Las trayectorias resultantes en el espacio de poliedros pueden ser cuantizadas con los métodos originales de cuantización de Bohr y Einstein. La idea básica aquí es mapear algunas partes de las propiedades suaves continuas de la dinámica clásica en la cuántica seleccionando solamente esas orbitas donde el área total es un múltiplo entero de la constante de Planck. El espectro discreto de volumen resultante esta excelentemente de acuerdo con el cálculo cuántico completo. Investigaciones adicionales por Bianchi, Donna y Speziale [2] extendieron este tratamiento a poliedros más complejos.

Así como una cuenta atravesada por un alambre solo se puede mover hacia adelante o atrás por el alambre, un tetraedro de volumen y área de caras fijos solo tiene una libertad: cambiar su forma. Sistemas clásicos como este son típicamente integrables lo que quiere decir que su dinámica es bastante regular y puede ser resuelta exactamente. Sistemas con dos grados de libertad como el pentaedro son típicamente no integrables. Su dinámica puede ser simulada numéricamente pero no hay una solución exacta para su movimiento. Esto implica que el pentaedro tiene una dinámica mucho más rica que el tetraedro. ¿Es esta dinámica tan compleja como para ser caótica? Y de serlo, cuales son las implicaciones para el espectro de volumen cuantizado en este caso? El sistema ha sido explorado recientemente por Coleman-Smith [3] y Haggard [4] y de hecho fue encontrado que es caótico.

 Los sistemas caóticos son muy sensibles a las condiciones iniciales, desviaciones pequeñas de alguna trayectoria de referencia divergen rápidamente de la misma. Esto hace la dinámica de sistemas caóticos muy compleja y los dota de propiedades interesantes. La rápida dispersión de cualquier haz de trayectorias iniciales significa que sistemas caóticos son poco probables de pasar mucho tiempo “pegados” en un movimiento particular sino que rápidamente exploraran todos los movimientos posibles. Tales sistemas “olvidan” sus condiciones iniciales rápidamente y se termalizan pronto. Esta termalización rápida de granos del espacio es un resultado intrigante. Se sabe que los agujeros negros son objetos térmicos y sus propiedades térmicas se cree que son de origen fundamentalmente cuántico. La compleja dinámica clásica que observamos quizá de pistas acerca del origen microscópico de estas propiedades térmicas.

El borroso mundo de la mecánica cuántica no es capaz de soportar las delicadas estructuras fractales que surgen del caos clásico. Sin embargo, sus ecos pueden encontrarse en análogos cuánticos de sistemas clásicamente caóticos. Una propiedad fundamental de los sistemas cuánticos es que pueden tomar valores de la energía discretos. El conjunto de estos niveles de energía es usualmente llamado el espectro de energías del sistema. Un resultado importante del estudio de cómo el caos clásico pasa a los sistemas cuánticos es que podemos genéricamente esperar ciertas propiedades estadísticas del espectro de tales sistemas. De hecho el espaciado entre niveles adyacentes de energía en tales sistemas se puede predecir a partir de consideraciones muy general. Para un sistema cuántico no caótico uno espera que dichos espaciados estén enteramente no correlacionados y distribuidos de acuerdo a una distribución de Poisson (similar al número de autos que pasan por un peaje en una hora) resultando que la mayoría de los niveles de energía estén muy amontonados. En sistemas caóticos los espaciados se vuelven no correlacionados y de hecho se repelen entre si así que en promedio uno esperaría que los espaciados sean grandes.

Esto es sugestivo de que puede existir una brecha de volumen robusta dado que genéricamente esperamos que los niveles discretos cuantizados del volumen que se repelan entre si. De todos modos la densidad del espectro del volumen acerca del estado fundamental tiene que ser estudiada mas cuidadosamente para hacer ese argumento más concreto. ¿Existe realmente un volumen mínimo no nulo?

El comportamiento clásico de los granos fundamentales provee una ventana fascinante al comportamiento de la muy complicada dinámica cuántica del espacio que describe la gravedad cuántica de lazos. Extender este trabajo a poliedros más complejos y a redes de poliedros acoplados será muy interesante y proveerá con certeza muchos nuevos conocimientos acerca de la estructura microscópica del espacio.

[1]: "Discreteness of the volume of space from Bohr-Sommerfeld quantization", E.Bianchi & H.Haggard. PRL 107, 011301 (2011), "Bohr-Sommerfeld Quantization of Space", E.Bianchi & H.Haggard. PRD 86, 123010 (2012)

[2]: "Polyhedra in loop quantum gravity", E.Bianchi, P.Dona & S.Speziale. PRD 83, 0440305 (2011) 

[3]: "A “Helium Atom” of Space: Dynamical Instability of the Isochoric Pentahedron", C.Coleman-Smith &B.Muller, PRD 87 044047 (2013)

[4]: "Pentahedral volume, chaos, and quantum gravity", H.Haggard, PRD 87 044020 (2013)

Sunday, November 17, 2013

Granulado grueso de teorías

Tuesday, Nov 27th. 2012
Bianca Dittrich, Perimeter Institute 
Title: Coarse graining: towards a cylindrically consistent dynamics
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por Frank Hellmann



El granulado grueso (coarse graining en inglés) es un procedimiento de la física estadística. En la mayoría de las situaciones no sabemos como se comportan todos los elementos que constituyen un sistema físico. En lugar de ello tenemos una imagen muy tosca. Por ejemplo, en lugar de saber como se mueven todos los átomos en el aire que nos rodea, típicamente somos conscientes de algunas propiedades que describen el sistema a grosso modo, como la presión, la temperatura y similares. De hecho es difícil imaginar una situación donde a uno le importe la posición de este o aquel átomo en un gas compuesto por 10^23 átomos. Así, cuando hablamos de tratar de encontrar una descripción de granulado grueso de un modelo, lo que queremos decir es que queremos descartar detalles irrelevantes y encontrar como un modelo particular se nos aparecería a nosotros.

La manera técnica en que se lleva a cabo esto fue desarrollada por Kadanoff y Wilson. Dado un sistema compuesto de constituyentes simples, la idea de Kadanoff fue tomar un conjunto de constituyentes cercanos entre si y combinarlos en un único constituyente, sólo que más grande. En un segundo paso, achicamos el sistema y estudiamos el comportamiento de este nuevo constituyente granulado grueso y vemos como se compara a los constituyentes originales. Si ciertos comportamientos se refuerzan con cada paso, los llamamos relevantes, si se vuelven débiles los llamamos irrelevantes. De hecho, a medida que construimos descripciones granuladas más gruesas del sistema, sólo los comportamientos relevantes sobrevivirán.

En la gravedad cuántica de espumas de espín se enfrenta precisamente dicho problema. Queremos construir una teoría de la gravedad cuántica, esto es, una teoría que describe como se comportan el espacio y el tiempo al nivel más fundamental. Sabemos precisamente como se nos presenta la gravedad, cada observación de la misma que hemos hecho esta descrita por la teoría de la relatividad general de Einstein. Así, para ser una candidata viable a teoría de la gravedad cuántica, es crucial que la teoría granulada gruesa aparezca, al menos en los casos en que la hemos comprobado experimentalmente, como la relatividad general.

El problema que enfrentamos es que usualmente estamos mirando a bloques pequeños y grandes del espacio, pero en modelos de espuma de espín el espacio-tiempo mismo es compuesto de bloques y estos no tienen un tamaño predeterminado. Pueden ser grandes o chicos. Más aun, no podemos manejar la complejidad de hacer cálculos con tantos bloques de espacio-tiempo. Las herramientas usuales, aproximaciones y conceptos del granulado grueso no se aplican directamente a espumas de espín.

Para mí esto constituye la pregunta más importante enfrentando al enfoque de espumas de espín de la gravedad cuántica. Tenemos que asegurarnos, o, como es el caso frecuentemente en estas cosas, al menos dar evidencia de que predecimos la física conocida correctamente, antes de que podamos hablar de tener una candidata plausible a teoría de la gravedad cuántica. Hasta el momento la mayor parte de la evidencia viene del estudio de bloques individuales del espacio-tiempo, y vemos que su comportamiento tiene sentido, geométricamente hablando. Pero aún no hemos visto ningún bloque de espacio-tiempo flotando en el universo, necesitamos estudiar el granulado grueso para entender como un gran número de ellos se vería colectivamente. La esperanza es que el espacio-tiempo suave que vemos emerja como la superficie suave del agua, pese a estar compuesta de bloques (atomos), como una aproximación a un gran número de bloques discretos.

El trabajo de Dittrich trata de atacar este problema. Esto requiere importar, o reinventar en el nuevo contexto, una gran cantidad de herramientas de la física estadística. La primera pregunta es: ¿cómo combina uno distintos bloques de espumas de espín para formar un bloque más grande? Dado un procedimiento para hacer esto, ¿podemos entender como se comporta efectivamente?

La herramienta que elije Dittrich se llama la renormalización de redes tensoriales. En este esquema, el granulado grueso es hecho mirando qué aspectos del conjunto original de bloques es el más relevante directamente para la dinámica y retener los mismos. Así, combina los dos pasos, de primero hacer el granulado grueso y luego buscar los operadores en un solo paso.

Para ser un poco más técnicos, la idea es considerar mapas de la frontera de la red más gruesa a la de la red más fina. El mapeo de la dinámica de la variable fina entonces provee la dinámica efectiva de la red más gruesa. Si los mapas satisfacen la llamada condición de consistencia cilíndrica, esto es, si los mismos pueden iterarse, el mapa puede usarse para definir un límite continuo también.

En el caso clásico, el comportamiento de la teoría como función de los valores de la frontera queda codificada en la llamada función principal de Hamilton. El propósito de estudiar el flujo de la teoría bajo tales mapas es primariamente el mejorar el tipo de discretizaciones de teorías continuas que puedan usarse en simulaciones numérica.

En el caso cuántico, la función principal es reemplazada por el llamado mapa de amplitud. El mapeo de dicha amplitud da una prescripción de renormalizacion de la dinámica. Dittrich propone adaptar para ello la idea obtenida en física de materia condensada llamada renormalización de redes tensoriales.

Para elegir que grados de liberta mapear de la frontera gruesa a la final, la idea es evaluar la amplitud, diagonalizarla y mantener los autoestados correspondientes a los n autovalores más grandes.

En cada paso uno obtiene una dinámica refinada que no crece en complejidad y uno puede iterar el procedimiento para obtener dinámicas efectivas para variables muy gruesas que han sido elegidas por la teoría, en lugar de una elección inicial de escala, y una descomposición en modos de alta y baja energía.

Es demasiado temprano para decir si estos métodos nos permitirán entender si los modelos de espuma de espín reproducen lo que conocemos acerca de la gravedad, pero ya han producido una serie de nuevas aproximaciones y perspectivas acerca de cómo este tipo de modelos funciona, y como se comportan para un gran número de bloques constitutivos.









Monday, May 6, 2013

Espacio tiempos de Bianchi en cosmología cuántica de lazos

Brajesh Gupt, LSU 
Title: Bianchi I LQC, Kasner transitions and inflation
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by Edward Wilson-Ewing

Los espacio-tiempos de Bianchi son una generalización de los modelos más simples de Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW). Mientras que los espacio-tiempos FLRW son homogéneos (no hay puntos preferenciales en el espacio-tiempo) e isótropos (no hay direcciones preferenciales), en los modelos Bianchi el requerimiento de isotropía es eliminado. Una de las principales consecuencias de esta generalización es que en una cosmología de Bianchi, el espacio-tiempo puede expandirse a distintos ritmos en las tres dimensiones espaciales. Dicho de otra manera, existe una tasa de expansión de Hubble en FLRW, pero hay tres en cosmologías de Bianchi, una para cada dimensión espacial.

Por ejemplo, la métrica de Bianchi más simple es la llamada Bianchi I, cuya métrica está dada por:

ds2 = - dt2 + a1(t)2 (dx1)2 +  a2(t)2 (dx2)2 +  a3(t)2 (dx3)2,


Donde ai(t) son los tres factores de escala. Esto contrasta con los modelos FLRW donde hay un solo factor de escala. Es posible encontrar la forma exacta de los factores de escala resolviendo las ecuaciones de Einstein. En vacio, o con un campo escalar sin masa, resulta ser que el factor de escala i-ésimo esta simplemente dado por el tiempo elevado a una potencia ki: ai(t)=tki, donde los ki son constantes y se conocen como exponentes de Kasner. Existen ciertas ecuaciones relacionando los exponentes de Kasner que deben satisfacerse, así que una vez elegido el contenido de materia, uno puede elegir un exponente de Kasner entre -1 y 1 y los otros dos quedan determinados.

Además de permitir más grados de libertad que los modelos FLRW, los espacio-tiempos de Bianchi son importantes dado el rol central que juegan en la llamada conjetura de Belinsky-Khalatnikov-Lifshitz (BKL). De acuerdo a la misma, cuando uno se aproxima a una singularidad espacial genérica en relatividad general, las derivadas temporales dominan sobre las espaciales (con la excepción de algunos  “picos” que ignoraremos aquí) y los puntos del espacio se desacoplan entre si. Esencialmente, a medida que las derivadas espaciales se vuelven despreciables, las complicadas ecuaciones a derivadas parciales de la relatividad general se reducen a más simples ecuaciones diferenciales ordinarias cerca de la singularidad. Aunque esta conjetura no ha sido probada aún, existe una abundancia de evidencia numérica que la apoya.
Si la conjetura BKL es correcta, y las ecuaciones diferenciales ordinarias son confiables, entonces la solución en cada punto es un espacio-tiempo homogéneo. Dado que los espacio-tiempos homogéneos más generales están dados por los modelos Bianchi, se sigue que cuando uno se aproxima a una singularidad, la geometría de cada punto está bien aproximada por un modelo Bianchi.

La conjetura es muy importante desde el punto de vista de la gravedad cuántica, dado que los efectos de la misma se espera que se vuelvan importantes precisamente cuando la curvatura del espacio-tiempo toma la escala de Planck. Esto quiere decir que esperamos que los efectos de la gravedad cuántica sean importantes cerca de las singularidades. Lo que la conjetura BKL nos dice es que entender los efectos de la gravedad cuántica en los modelos Bianchi, que corresponden a espacio-tiempos bastante sencillos, puede echar significativa luz acerca del problema de las singularidades en gravitación.

De hecho, estudios de la dinámica BKL muestran que para largos periodos de tiempo, la geometría de cualquier punto está dada por la métrica de Bianchi I y durante este periodo la geometría está completamente determinada por los tres exponentes de Kasner que discutimos. Ahora, la solución Bianchi I no vale eternamente, más bien ocurren transiciones entre distintas soluciones de Bianchi I llamadas transiciones de Kasner o Taub. Durante una transición de Kasner, los tres exponentes de Kasner cambian rápidamente de valor y luego se vuelven constantes por un periodo largo. Dado que el modelo de Bianchi I provee una excelente aproximación por periodos largos, entender su dinámica , especialmente a curvaturas grandes donde los efectos de la gravedad cuántica no pueden ser ignorados puede llevarnos a entender el comportamiento de singularidades genéricas cuando uno incluye efectos de la gravedad cuántica.

En la cosmología cuántica de lazos (LQC por sus siglas en ingles), para todos los espacio-tiempos estudiados hasta ahora, incluyendo Bianchi I, la singularidad del Big Bang es resuelta por efectos de la geometría cuántica. El hecho de que la singularidad inicial del modelo Bianchi I se resuelve en LQC, junto a la conjetura BKL, da cierta esperanza de que todas las singularidades del espacio tiempo sean resueltas en la gravedad cuántica de lazos. Si bien el resultado es esperanzador, existen aun preguntas sin respuesta acerca de la evolución específica del espacio tiempo de Bianchi I en LQC cuando efectos de la geometría cuántica son importantes.

Uno de los principales objetivos del seminario de Brajesh Gupt es atacar precisamente ese punto. Usando las ecuaciones efectivas, que proveen una aproximación excelente a la dinámica completa de los modelos de FLRW en LQC y se espera que hagan lo mismo para los modelos Bianchi, es posible estudiar como los efectos de la gravedad cuántica que aparecen en cosmología cuántica de lazos modifican la dinámica clásica cuando la curvatura del espacio tiempo se vuelve grande y el Big Bang se reemplaza por un rebote. En particular, Brajesh Gupt describe la manera precisa en la que los exponentes de Kasner  -que son constantes clásicamente- evolucionan determinísticamente mientras atraviesan el rebote, los detalles están en la charla.

La segunda parte del seminario considera la inflación en cosmologías cuánticas de lazos tipo Bianchi I. La inflación es un periodo de expansión exponencial del universo temprano que se introdujo para resolver los problemas del horizonte y la planitud. Uno de los resultados más importantes de la inflación es que genera pequeñas perturbaciones que son exactamente de la forma  de las que se observan en las pequeñas variaciones de temperatura del fondo de radiación de microondas cósmico. Para más información acerca de inflación, véanse los seminarios internacionales anteriores de William Nelson, Iván Agullo, Gianluca Calcagni y David Sloan, así como los artículos en el blog que los acompañan.

Si bien la inflación es comúnmente considerada en el contexto de modelos isotrópicos, es importante recordar que en presencia de campos materiales como la radiación y la materia oscura fría, espacio-tiempos anisotropicos se vuelven isotrópicos en épocas tardías. Por ende, que el universo aparezca isotrópico hoy no significa que lo fuera hace 13.800 millones de años. Debido a esto, es necesario entender como la dinámica de la inflación cambia cuando hay anisotropías presentes. Como mencionamos al principio, existe considerablemente más libertad en los modelos Bianchi que en los espacio-tiempos de FLRW, así que las expectativas provenientes de modelos isotrópicas pueden ser erróneas en la situación más general anisótropa.

Existen varios aspectos interesantes que considerar en este contexto, y en este seminario el foco fue en dos preguntas en particular. Primero, ¿es más o menos fácil obtener las condiciones iniciales necesarias para inflación? Dicho de otra manera, hace falta más o menos sintonía fina en las condiciones iniciales? Resulta que la presencia de anisotropías hace más fácil que tenga lugar una cantidad adecuada de inflación. El segundo problema es determinar cómo los efectos de la geometría cuántica de la cosmología cuántica de lazos cambian los resultados que uno esperaría a partir de la teoría clásica. La principal modificación encontrada aquí tiene que ver con la cantidad de anisotropía presente en el espacio-tiempo (la cual se puede cuantificar de un modo preciso) y la cantidad de inflación que tiene lugar. Mientras que en la teoría clásica existe una relación monótona entre ambas cantidades, esto deja de ser cierto en cosmología cuántica de lazos. En lugar de ello hay una cantidad específica de anisotropía que maximiza la cantidad de inflación que tiene lugar y más allá se ve un efecto inverso. Los detalles de ambos resultados están en el seminario. 

Tuesday, March 26, 2013

Gravedad cuántica de lazos reducida.


Tuesday, Mar 12th.
Emanuele Alesci, Francesco Cianfrani
Title: Quantum reduced loop gravity
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Por Emanuele Alesci, Universidad de Varsovia and  Francesco Cianfrani, Universidad de Breslau


Proponemos un nuevo paradigma para la cuantización de lazos de sectores reducidos por simetría de la relatividad general, que llamamos gravedad cuántica de lazos reducida, y aplicamos este esquema a la extensión inhomogénea de los modelos cosmológicos del tipo Bianchi I (una cosmología que es homogénea pero no isótropa). Para explicar el significado de esta frase necesitaremos varios ingredientes que presentaremos en las secciones siguientes. Enfoquémonos primero en el significado de “reducción por simetría”: este proceso simplemente significa que si un sistema físico tiene algún tipo de simetría, podemos usarla para reducir el número de variables independientes necesarias para describirlo. La simetría entonces nos permite en general reducir las variables de una teoría a los grados de libertad verdaderamente independientes. Por ejemplo, consideremos una partícula puntual sin espín que se mueve en un plano bajo la influencia de un potencial central. El sistema es invariante bajo rotaciones bidimensionales alrededor del centro del potencial. Como consecuencia de ello se conserva el momento angular. La velocidad angular alrededor del origen es una constante de movimiento y la única variable dinámica “verdadera” es la coordenada radial de la partícula. Si uno va al espacio de fases (el espacio de posiciones y momentos de la teoría), el mismo puede ser parametrizado por las coordenadas radiales y angulares con el correspondiente momento, pero la simetría fuerza al momento asociado con la coordenada angular a permanecer conservado. El espacio de fases reducido asociado a tal sistema esta parametrizado por la coordenada y el momento radial a partir de los cuales, dadas las condiciones iniciales, la trayectoria completa de la partícula en el plano puede ser reconstruida.  La cuantización del espacio de fases reducido es en general más fácil que la que se hace en el espacio completo y esta es la razón principal por la cual esta técnica se suele usar en enfoques de la gravedad cuántica, cuya formulación final todavía nos evade. Por ejemplo, el análisis canónico de modelos homogéneos (cosmología cuántica de lazos) y de sistemas esféricamente simétricos (agujeros negros cuánticos) en la gravedad cuántica de lazos se ha llevado a cabo primariamente reduciendo el espacio de fases y cuantizando el sistema resultante (lo que se conoce técnicamente como cuantización reducida). La idea básica de nuestro enfoque es invertir el orden de “reducción” y “cuantización”. La motivación viene directamente de nuestro análisis y, en particular, del fracaso de la cuantización reducida en proveer una dinámica sensata para las extensiones inhomogeneas del modelo anisotropico pero homogéneo de Bianchi I. Como consecuencia seguiremos un camino distinto definiendo una reducción “cuántica” del espacio de Hilbert de estados cuánticos de la teoría completa a un subespacio que captura los grados de libertad relevantes. Este procedimiento nos permitirá tratar el sistema Bianchi I inhomogéneo directamente a nivel cuántico en una teoría donde se pueden hacer cálculos explícitos con todos los ingredientes de la gravedad cuántica de lazos (sólo que simplificados debido a la reducción cuántica.
Para proceder, revisemos un poco las características principales de la gravedad cuántica de lazos.

Gravedad cuántica de lazos
La gravedad cuántica de lazos es uno de los enfoques más prometedores para la cuantización del campo gravitatorio. Su formulación es canoníca y por ende está basada en hacer una descomposición 3+1 del espacio-tiempo. El espacio de fases esta parametrizado por las conexiones de Ashtekar-Barbero y sus momentos asociados, a partir de los cuales se puede calcular la métrica del espacio. Un punto central de esta reformulación es la existencia de una simetría de calibre (conocida técnicamente como simetría de calibre SU(2)), que juntamente a la independencia de estructuras geométricas preexistentes (estructuras de fondo), llevan a los vínculos conocidos como vínculos cinematicos de la teoría (cada vez que hay una simetría en una teoría aparece un vinculo asociado indicando que las variables no son independientes y uno tiene que aislar los grados de libertad genuinos). El procedimiento de cuantización está inspirado en los enfoques desarrollados en la década del 70 para describir teorías de calibre en el retículo en el límite de campo fuerte. En particular los estados están dados en términos de redes de espín, que son grafos con “colores” en las líneas que conectan intersecciones. Un ingrediente esencial de la gravedad cuántica de lazos es la independencia de estructuras preexistentes. La manera en la que se implementa esta simetría es un logro completamente nuevo en gravedad cuántica y permite encontrar una expresión regularizada (sin infinitos) del operador asociado al vinculo Hamiltoniano que dicta la dinámica de la teoría. Gracias a un procedimiento introducido por Thiemann, el vinculo Hamiltoniano puede ser aproximado mediante una triangulación del espacio. El límite en el que la triangulación se vuelve cada vez más fina nos da la expresión clásica y está bien definida a nivel cuántico sobre nudos-s (clases de redes de espín relacionadas por deformaciones suaves). La razón es que los nudos-s son invariantes bajo difeomorfismos y por ende no dependen de la longitud característica de la triangulación. Esto quiere decir que el vinculo Hamiltoniano puede ser regularizado consistentemente y, dicho sea de paso, el algebra asociada no tiene anomalías. Desafortunadamente, la expresión resultante no puede ser calculada en forma analítica, debido a la presencia del operador de volumen. Este obstáculo parece ser una obstrucción técnica más que una obstrucción teórica y por esa razón nuestro objetivo es superarlo en un modelo simple, como los cosmológicos.

Cosmología cuántica de lazos
La cosmología cuántica de lazos es la mejor teoría de la que disponemos para tratar cosmologías homogéneas. Se basa en una cuantización en el espacio de fase reducido, lo que implica que la reducción asociada a la simetría ocurre a nivel enteramente clásico. Una vez hecha la reducción, uno procede a cuantizar los grados de libertad con técnicas de gravedad cuántica de lazos. Sabemos que nuestro universo experimenta una fase altamente isotrópica y homogénea a escalas de más de 100 megaparsecs. La descripción cosmológica mas simpe es la del modelo de Friedman-Robertson-Walker (FRW), en la cual uno tiene un elemento de línea homogéneo e isótropo, descripto por una sola variable, el factor de escala. Una generalización se puede hacer considerando extensiones anisotropicas, los llamados modelos de Bianchi, en los que hay tres factores de escala definidos a lo largo de tres direcciones fiduciarias. En la cosmología cuántica de lazos uno fija la geometría a FRW o a modelos Bianchi y cuantiza las variables dinámicas. A pesar de esto, una deducción directa a partir de la gravedad cuántica de lazos aun no se conoce y es difícil en este contexto acomodar inhomogeneidades porque la teoría está definida en un espacio homogéneo.

Extensiones inhomogéneas de los modelos Bianchi
Queremos definir un nuevo modelo cosmológico que retenga todos los aspectos positivos de la gravedad cuántica de lazos, en particular un tipo de independencia de estructuras preexistentes a través de la cual la regularización del vínculo Hamiltoniano se pueda llevar a cabo como en la teoría completa. Para ello consideramos el modelo Bianchi más sencillo, llamado tipo I (un espacio homogéneo pero anisotropico), y definimos una extensión inhomogénea caracterizada por factores de escala que dependen del espacio. La extensión contiene como caso limite la fase homogénea en una parametrizacion arbitraria. La virtud de estos modelos es que son invariantes bajo lo que llamamos difemorfismos reducidos, que es la invariancia bajo una clase restringida de difeomorfismos que preservan las direcciones fiduciales de las anisotropías del modelo de Bianchi I. ¡Este es precisamente el tipo de simetría que buscábamos! De hecho, una vez que uno basa estados cuánticos sobre los grafos reducidos, cuyas líneas yacen a lo largo de las direcciones fiduciarias, podemos definir nudos-s reducidos, que no dependerán de la longitud de la cubulación del espacio (hablamos de cubulacion porque los grafos reducidos admiten cubulaciones y no triangulaciones). Como consecuencia, solo tenemos que repetir la construcción de Thiemann para una cubulación en lugar de una triangulación. Pero, ¿termina dando una buena expresión para el vinculo Hamiltoniano? La respuesta es negativa y la razón es que existe una simetría adicional en el espacio de fase reducido que nos impide repetir la construcción de Thiemann para el vinculo Hamitoniano. Por ende, el problema dinámico no puede ser atendido con las técnicas usuales de gravedad cuántica de lazos en la cuantización reducida.

Gravedad cuántica de lazos reducida
¿Qué nos falta en la cuantización reducida? La idea es que hemos reducido la simetría de calibre demasiado y esto es lo que nos impide construir el Hamiltoniano. Por ende volvemos hacia atrás y no reducimos la simetría y procedemos a cuantizar primero. Entonces podemos imponer la reducción de la simetría a nivel cuántico. Así, la expresión del vinculo Hamiltoniano del modelo de Bianchi I puede ser cuantizado de acuerdo al procedimiento de Thiemann. Más aun, los elementos de matriz asociados pueden ser calculados analíticamente dado que el operador de volumen toma una forma simplificada en el nuevo espacio de Hilbert. Así, tenemos una descripción cuántica del modelo inhomogéneo de Bianchi I in la que todas las técnicas de la gravedad cuántica de lazos pueden ser aplicadas y los cálculos completados analíticamente. Esto quiere decir que por primera vez tenemos un modelo en el que podemos probar explícitamente varios aspectos de la cuantización de lazos: el Hamiltoniano original de Thiemann que cambia grafos, el programa del vínculo maestro, la cuantización algebraica o el nuevo enfoque de deparametrización con campos de materia. Todos pueden ser examinados. El modelo es un retículo cuboidal, cuyos lados tienen números cuánticos y con relaciones reducidas entre esos números en los vértices. En dos palabras tenesmo una especie de “cosmología cuántica de lazos” hibrida a lo largo de los lados con relaciones de gravedad cuántica de lazos en los vértices, pero con una estructura de grafos y ¡operador de volumen diagonal! Esto significa que tenemos un modelo tratable analíticamente más cercano a la gravedad cuántica de lazos que la cosmología cuántica de lazos y potencialmente capaz de tratar inhomogeneidades e anisotropías al mismo tiempo. ¿Es significativo este modelo? Lo que nos resta hacer es “solamente”  física: como primera prueba tratar de estudiar el limite semiclasico. Si este modelo da la relatividad general en el régimen clásico, entonces podemos pasar a comparar sus predicciones con las de la cosmología cuántica de lazos en el régimen cuántico, insertando campos de materia y analizando su rol, discutiendo el comportamiento de las inhomogeneidades y todo eso. Veremos…