Granulado grueso de teorías

Tuesday, Nov 27th. 2012
Bianca Dittrich, Perimeter Institute 
Title: Coarse graining: towards a cylindrically consistent dynamics
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por Frank Hellmann

El granulado grueso (coarse graining en inglés) es un procedimiento de la física estadística. En la mayoría de las situaciones no sabemos como se comportan todos los elementos que constituyen un sistema físico. En lugar de ello tenemos una imagen muy tosca. Por ejemplo, en lugar de saber como se mueven todos los átomos en el aire que nos rodea, típicamente somos conscientes de algunas propiedades que describen el sistema a grosso modo, como la presión, la temperatura y similares. De hecho es difícil imaginar una situación donde a uno le importe la posición de este o aquel átomo en un gas compuesto por 10^23 átomos. Así, cuando hablamos de tratar de encontrar una descripción de granulado grueso de un modelo, lo que queremos decir es que queremos descartar detalles irrelevantes y encontrar como un modelo particular se nos aparecería a nosotros.

La manera técnica en que se lleva a cabo esto fue desarrollada por Kadanoff y Wilson. Dado un sistema compuesto de constituyentes simples, la idea de Kadanoff fue tomar un conjunto de constituyentes cercanos entre si y combinarlos en un único constituyente, sólo que más grande. En un segundo paso, achicamos el sistema y estudiamos el comportamiento de este nuevo constituyente granulado grueso y vemos como se compara a los constituyentes originales. Si ciertos comportamientos se refuerzan con cada paso, los llamamos relevantes, si se vuelven débiles los llamamos irrelevantes. De hecho, a medida que construimos descripciones granuladas más gruesas del sistema, sólo los comportamientos relevantes sobrevivirán.

En la gravedad cuántica de espumas de espín se enfrenta precisamente dicho problema. Queremos construir una teoría de la gravedad cuántica, esto es, una teoría que describe como se comportan el espacio y el tiempo al nivel más fundamental. Sabemos precisamente como se nos presenta la gravedad, cada observación de la misma que hemos hecho esta descrita por la teoría de la relatividad general de Einstein. Así, para ser una candidata viable a teoría de la gravedad cuántica, es crucial que la teoría granulada gruesa aparezca, al menos en los casos en que la hemos comprobado experimentalmente, como la relatividad general.

El problema que enfrentamos es que usualmente estamos mirando a bloques pequeños y grandes del espacio, pero en modelos de espuma de espín el espacio-tiempo mismo es compuesto de bloques y estos no tienen un tamaño predeterminado. Pueden ser grandes o chicos. Más aun, no podemos manejar la complejidad de hacer cálculos con tantos bloques de espacio-tiempo. Las herramientas usuales, aproximaciones y conceptos del granulado grueso no se aplican directamente a espumas de espín.

Para mí esto constituye la pregunta más importante enfrentando al enfoque de espumas de espín de la gravedad cuántica. Tenemos que asegurarnos, o, como es el caso frecuentemente en estas cosas, al menos dar evidencia de que predecimos la física conocida correctamente, antes de que podamos hablar de tener una candidata plausible a teoría de la gravedad cuántica. Hasta el momento la mayor parte de la evidencia viene del estudio de bloques individuales del espacio-tiempo, y vemos que su comportamiento tiene sentido, geométricamente hablando. Pero aún no hemos visto ningún bloque de espacio-tiempo flotando en el universo, necesitamos estudiar el granulado grueso para entender como un gran número de ellos se vería colectivamente. La esperanza es que el espacio-tiempo suave que vemos emerja como la superficie suave del agua, pese a estar compuesta de bloques (atomos), como una aproximación a un gran número de bloques discretos.

El trabajo de Dittrich trata de atacar este problema. Esto requiere importar, o reinventar en el nuevo contexto, una gran cantidad de herramientas de la física estadística. La primera pregunta es: ¿cómo combina uno distintos bloques de espumas de espín para formar un bloque más grande? Dado un procedimiento para hacer esto, ¿podemos entender como se comporta efectivamente?

La herramienta que elije Dittrich se llama la renormalización de redes tensoriales. En este esquema, el granulado grueso es hecho mirando qué aspectos del conjunto original de bloques es el más relevante directamente para la dinámica y retener los mismos. Así, combina los dos pasos, de primero hacer el granulado grueso y luego buscar los operadores en un solo paso.

Para ser un poco más técnicos, la idea es considerar mapas de la frontera de la red más gruesa a la de la red más fina. El mapeo de la dinámica de la variable fina entonces provee la dinámica efectiva de la red más gruesa. Si los mapas satisfacen la llamada condición de consistencia cilíndrica, esto es, si los mismos pueden iterarse, el mapa puede usarse para definir un límite continuo también.

En el caso clásico, el comportamiento de la teoría como función de los valores de la frontera queda codificada en la llamada función principal de Hamilton. El propósito de estudiar el flujo de la teoría bajo tales mapas es primariamente el mejorar el tipo de discretizaciones de teorías continuas que puedan usarse en simulaciones numérica.

En el caso cuántico, la función principal es reemplazada por el llamado mapa de amplitud. El mapeo de dicha amplitud da una prescripción de renormalizacion de la dinámica. Dittrich propone adaptar para ello la idea obtenida en física de materia condensada llamada renormalización de redes tensoriales.

Para elegir que grados de liberta mapear de la frontera gruesa a la final, la idea es evaluar la amplitud, diagonalizarla y mantener los autoestados correspondientes a los n autovalores más grandes.

En cada paso uno obtiene una dinámica refinada que no crece en complejidad y uno puede iterar el procedimiento para obtener dinámicas efectivas para variables muy gruesas que han sido elegidas por la teoría, en lugar de una elección inicial de escala, y una descomposición en modos de alta y baja energía.

Es demasiado temprano para decir si estos métodos nos permitirán entender si los modelos de espuma de espín reproducen lo que conocemos acerca de la gravedad, pero ya han producido una serie de nuevas aproximaciones y perspectivas acerca de cómo este tipo de modelos funciona, y como se comportan para un gran número de bloques constitutivos.