Sunday, November 24, 2013

Los sólidos Platónicos de la gravedad cuántica

Hal Haggard, CPT Marseille
Title: Dynamical chaos and the volume gap 
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por Chris Coleman-Smith, Duke University



A la escala de Planck, se espera que la geometría del espacio se comporte cuánticamente. La gravedad cuántica de lazos provee una realización especifica de dicha expectativa. Predice una granularidad del espacio con cada grano teniendo un comportamiento cuántico. En particular el volumen del grano esta cuantizado y el sus valores posibles tienen una rica estructura (lo que se conoce como su "espectro"). Las áreas también están naturalmente cuantizadas y hay un espaciado robusto en los valores posibles del área. Así como Planck mostro que debe haber una energía mínima para el fotón, existe una mínima área espacial posible. ¿Ocurre lo mismo para los volúmenes?

Estos granos del espacio pueden visualizarse como poliedros con caras de área fija. En la teoría cuántica completa estos poliedros se desdibujan y así como no podemos pensar acerca de una partícula cuántica como una pelotita que rota no podemos pensar de estos poliedros como los Sólidos Platónicos definitivos que uno podría imaginar.

[Imagen por Wenzel Jamnitzer] 

Es interesante examinar estos poliedros a nivel clásico, donde uno puede ignorar el desdibujamiento, y ver que propiedades se pueden deducir acerca de la teoría cuántica.

El tetraedro es el poliedro más simple. Bianchi y Haggard [1] exploraron la dinámica que surge de fijar el volumen del tetraedro y dejar que los bordes evolucionen en el tiempo. Esta evolución es una manera muy natural de explorar el conjunto de poliedros de volumen constante que puede ser alcanzado por deformaciones suaves de la orientación de las caras de los poliedros. Las trayectorias resultantes en el espacio de poliedros pueden ser cuantizadas con los métodos originales de cuantización de Bohr y Einstein. La idea básica aquí es mapear algunas partes de las propiedades suaves continuas de la dinámica clásica en la cuántica seleccionando solamente esas orbitas donde el área total es un múltiplo entero de la constante de Planck. El espectro discreto de volumen resultante esta excelentemente de acuerdo con el cálculo cuántico completo. Investigaciones adicionales por Bianchi, Donna y Speziale [2] extendieron este tratamiento a poliedros más complejos.

Así como una cuenta atravesada por un alambre solo se puede mover hacia adelante o atrás por el alambre, un tetraedro de volumen y área de caras fijos solo tiene una libertad: cambiar su forma. Sistemas clásicos como este son típicamente integrables lo que quiere decir que su dinámica es bastante regular y puede ser resuelta exactamente. Sistemas con dos grados de libertad como el pentaedro son típicamente no integrables. Su dinámica puede ser simulada numéricamente pero no hay una solución exacta para su movimiento. Esto implica que el pentaedro tiene una dinámica mucho más rica que el tetraedro. ¿Es esta dinámica tan compleja como para ser caótica? Y de serlo, cuales son las implicaciones para el espectro de volumen cuantizado en este caso? El sistema ha sido explorado recientemente por Coleman-Smith [3] y Haggard [4] y de hecho fue encontrado que es caótico.

 Los sistemas caóticos son muy sensibles a las condiciones iniciales, desviaciones pequeñas de alguna trayectoria de referencia divergen rápidamente de la misma. Esto hace la dinámica de sistemas caóticos muy compleja y los dota de propiedades interesantes. La rápida dispersión de cualquier haz de trayectorias iniciales significa que sistemas caóticos son poco probables de pasar mucho tiempo “pegados” en un movimiento particular sino que rápidamente exploraran todos los movimientos posibles. Tales sistemas “olvidan” sus condiciones iniciales rápidamente y se termalizan pronto. Esta termalización rápida de granos del espacio es un resultado intrigante. Se sabe que los agujeros negros son objetos térmicos y sus propiedades térmicas se cree que son de origen fundamentalmente cuántico. La compleja dinámica clásica que observamos quizá de pistas acerca del origen microscópico de estas propiedades térmicas.

El borroso mundo de la mecánica cuántica no es capaz de soportar las delicadas estructuras fractales que surgen del caos clásico. Sin embargo, sus ecos pueden encontrarse en análogos cuánticos de sistemas clásicamente caóticos. Una propiedad fundamental de los sistemas cuánticos es que pueden tomar valores de la energía discretos. El conjunto de estos niveles de energía es usualmente llamado el espectro de energías del sistema. Un resultado importante del estudio de cómo el caos clásico pasa a los sistemas cuánticos es que podemos genéricamente esperar ciertas propiedades estadísticas del espectro de tales sistemas. De hecho el espaciado entre niveles adyacentes de energía en tales sistemas se puede predecir a partir de consideraciones muy general. Para un sistema cuántico no caótico uno espera que dichos espaciados estén enteramente no correlacionados y distribuidos de acuerdo a una distribución de Poisson (similar al número de autos que pasan por un peaje en una hora) resultando que la mayoría de los niveles de energía estén muy amontonados. En sistemas caóticos los espaciados se vuelven no correlacionados y de hecho se repelen entre si así que en promedio uno esperaría que los espaciados sean grandes.

Esto es sugestivo de que puede existir una brecha de volumen robusta dado que genéricamente esperamos que los niveles discretos cuantizados del volumen que se repelan entre si. De todos modos la densidad del espectro del volumen acerca del estado fundamental tiene que ser estudiada mas cuidadosamente para hacer ese argumento más concreto. ¿Existe realmente un volumen mínimo no nulo?

El comportamiento clásico de los granos fundamentales provee una ventana fascinante al comportamiento de la muy complicada dinámica cuántica del espacio que describe la gravedad cuántica de lazos. Extender este trabajo a poliedros más complejos y a redes de poliedros acoplados será muy interesante y proveerá con certeza muchos nuevos conocimientos acerca de la estructura microscópica del espacio.

[1]: "Discreteness of the volume of space from Bohr-Sommerfeld quantization", E.Bianchi & H.Haggard. PRL 107, 011301 (2011), "Bohr-Sommerfeld Quantization of Space", E.Bianchi & H.Haggard. PRD 86, 123010 (2012)

[2]: "Polyhedra in loop quantum gravity", E.Bianchi, P.Dona & S.Speziale. PRD 83, 0440305 (2011) 

[3]: "A “Helium Atom” of Space: Dynamical Instability of the Isochoric Pentahedron", C.Coleman-Smith &B.Muller, PRD 87 044047 (2013)

[4]: "Pentahedral volume, chaos, and quantum gravity", H.Haggard, PRD 87 044020 (2013)

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