Separabilidad y mecánica cuántica

Tuesday, Apr 21st
Fernando Barbero, CSIC, Madrid 
Title: Separability and quantum mechanics 
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by Juan Margalef-Bentabol, UC3M-CSIC, Madrid

Mecánica Clásica vs Mecánica Cuántica: Dos visiones del mundo

En mecánica clásica es relativamente sencillo obtener información de un sistema. Por ejemplo, si tenemos unas cuantas partículas en movimiento, podemos preguntarnos: ¿dónde está su centro de masa? ¿Cuál es la velocidad media de las partículas? ¿Cuál es la distancia entre dos de ellas? Para poder plantear y responder estas preguntas de una manera matemáticamente precisa, necesitamos conocer todas las posiciones y velocidades del sistema en cada instante; en la jerga habitual, tenemos que conocer la dinámica sobre el espacio de estados (también llamado espacio de configuraciones para las posiciones y velocidades, o espacio de fases si consideramos las posiciones y momentos). Por ejemplo, la forma adecuada para preguntar sobre el centro de masas, viene dada por la función que para cada estado específico del sistema, da la media ponderada de las posiciones de todas las partículas. Otro ejemplo sería la cantidad de movimiento total del sistema, que viene dada por la función suma de los momentos de todas las partículas individuales. Tales funciones se llaman observables de la teoría, por lo tanto, un observable se define como una función que toma todas las posiciones y momentos, y devuelve un número real. Entre todos los observables hay algunos que se pueden considerar como fundamentales. Un ejemplo bien conocido serían las posiciones y momentos generalizados, denotados por $q^i$ y $p_i$.

Sin embargo en un contexto cuántico responder, e incluso plantear, tales preguntas es mucho más complicado. Se puede justificar que los ingredientes clásicos necesarios se tienen que cambiar de manera significativa:

1. El espacio de estados es ahora mucho más complicado, en lugar de las posiciones y velocidades/momentos necesitamos un espacio vectorial complejo $\mathcal{H}$ (generalmente de dimensión infinita) dotado de un producto interior completo. Dicho espacio vectorial es un espacio de Hilbert y los vectores de $\mathcal{H}$ se denominan estados (módulo una multiplicación compleja).
2. Los observables son funciones $A$ de $\mathcal{H}$ en sí mismo que "se comportan bien" con respecto al producto interior (llamados operadores autoadjuntos). Nótese que ahora ¡los resultados obtenidos por los observables cuánticos son vectores complejos en lugar de números reales!
3. Cuando realizamos un experimento físico obtenemos números reales, por lo que de alguna manera tenemos que poder recuperarlos a partir del observable $A$ asociado con el experimento. La forma de hacerlo es a través del espectro de $A$, que consiste en un conjunto de números reales llamados valores propios asociados con algunos vectores llamados vectores propios (en realidad el número que se obtiene es una amplitud de probabilidad cuyo valor absoluto al cuadrado nos da la probabilidad de obtener como resultado de la observación un vector propio específico).

Las preguntas que surgen de forma natural son: ¿cómo elegir el espacio de Hilbert? ¿cómo introducimos observables fundamentales análogos a los de la mecánica clásica? Para responder a estas preguntas tenemos que dedicar un momento a hablar brevemente sobre el álgebra de observables.

Álgebra de Observables

Dados dos observables clásicos, podemos construir otro aplicando diferentes métodos. Entre ellos, los más importantes son:

• Sumándolos (son funciones reales) $h_1=f+g$
• Multiplicándolos $h_2=f\cdot{}g$
• Mediante un procedimiento más sofisticado llamado corchete de Poisson $h_3=\{f,g\}$

El último de ellos resulta ser fundamental en la mecánica clásica ya que juega un papel muy importante dentro de la formulación hamiltoniana de la dinámica del sistema. Un hecho fundamental es que el conjunto de observables dotado con el corchete de Poisson forma un álgebra de Lie (un espacio vectorial con una regla para obtener un elemento a partir de otros dos, que satisfacen algunas propiedades naturales). Los observables fundamentales se comportan muy bien con respecto al corchete de Poisson, a saber, satisfacen unas sencillas reglas de conmutación $\{q^i,p_j\}=\delta^i_j$ es decir, si tomamos el $i$-ésimo observable posición y lo "Poisson-multiplicamos" por el $j$-ésimo observable momento, obtenemos la función constante $1$ si $i=j$, o la función constante $0$ si $i\neq j$.

Uno de los mejores métodos para construir una teoría cuántica asociada a una clásica, es reproducir a nivel cuántico algunas características de su formulación clásica. Una forma de hacer esto es definir un álgebra de Lie para los observables cuánticos tales que algunos de esos observables imiten el comportamiento del corchete de Poisson de unos observables clásicos fundamentales. Este procedimiento (modulo algunos tecnicismos) se conoce como la búsqueda de una representación del álgebra.Para ello uno tiene que elegir:

1. Un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$.
2. Algunos observables fundamentales que reproduzcan las relaciones de conmutación canónicas cuando consideramos el conmutador de operadores.

En Mecánica cuántica estándar los observables fundamentales son las posiciones y los momentos. A primera vista puede parecer que hay una gran ambigüedad en este procedimiento, sin embargo hay un teorema central debido a Stone y von Neumann que establece que, bajo algunas hipótesis razonables, todas las representaciones son esencialmente la misma.

Separabilidad

Una de las hipótesis del teorema de Stone-von Neumann es que el espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ sea separable. Esto significa que sea posible encontrar un conjunto numerable de vectores ortonormales en $\mathcal{H}$ (llamada base de Hilbert) de tal forma que cualquier estado -vector- de $\mathcal{H}$ se puede escribir como una suma numerable apropiada de ellos. Un espacio de Hilbert separable, a pesar de ser de dimensión infinita, no es "excesivamente grande", en el sentido de que existen espacios de Hilbert con bases no numerables que son genuinamente mayores. La condición de separabilidad parece natural en mecánica cuántica estándar, pero en el caso de la teoría cuántica de campos -con infinitos grados de libertad- uno podría esperar que fueran necesarios espacios de Hilbert mucho más grandes, es decir, no separables. Sorprendentemente, la mayoría de las teorías cuánticas de campos pueden ser manejados con nuestros queridos y "simples" espacios de Hilbert separables, pero con la notable excepción de la LQG (y su derivada la LQC) donde la no separabilidad juega un papel importante. Por tanto parece relevante entender qué ocurre cuando consideramos espacios de Hilbert no separables [3] en el contexto cuántico. Una forma natural para adquirir la intuición necesaria es considerando en primer lugar la mecánica cuántica en un espacio de Hilbert no separable.

El Oscilador Armónico Polimérico

Los autores de [2,3] discuten dos representaciones no equivalentes (entre las infinitas posibles) del álgebra de observables fundamentales, que comparten una característica inusual: en una de ellas (llamada la representación de posiciones) el observable posición está bien definido pero el observable momento ni siquiera existe; en la representación de los momentos se intercambian los papeles de las posiciones y los momentos. Obsérvese que en este contexto, algunas de las características más familiares de la mecánica cuántica se pierden completamente. Por ejemplo, la fórmula de incertidumbre posición-momento de Heisenberg, no tiene sentido en absoluto, ya que es necesario que ambos observables posición y momento estén definidos.

Para mejorar la comprensión de este tipo de sistemas y sobre todo en vistas a su aplicación en LQG y LQC, los autores de [1] (re)estudian el Oscilador Armónico $1$-dimensional (OAP) en un espacio de Hilbert no separable (conocido en este contexto como espacio de Hilbert polimérico). Como el espacio es no separable, cualquier base de Hilbert será no numerable. Esto da lugar a algunos comportamientos inesperados que pueden ser utilizados para obtener representaciones exóticas del álgebra de observables fundamentales.

La motivación para el estudio del OAP es más o menos la misma de siempre: el OA, además de ser un modelo de juguete excelente, es una buena aproximación a cualquier sistema mecánico unidimensional cerca de sus puntos de equilibrio. Por otra parte, las teorías cuánticas de campos libres pueden ser consideradas como conjuntos de infinitos OA independientes. Es importante tener en cuenta que hay muchas maneras de generalizar el OA a un espacio de Hilbert no separable y también muchas formas equivalentes para realizar una representación concreta, por ejemplo mediante el uso de espacios de Hilbert basados en:

• La compactificación de Bohr de la recta real.
• Las funciones casi periódicas de Besicovitch.
• Construcciones que generalizan los espacios de Hilbert separables habituales basados en sucesiones (espacios $\ell^2(\mathbb{R})$).

La ecuación para los valores propios de estos espacios toman diferentes formas: en algunos de ellos son ecuaciones en diferencias, mientras que en otros tienen la forma de la ecuación de Schrödinger estándar con un potencial periódico. Es importante notar, sin embargo, que la escritura de observables hamiltonianos en este contexto resulta muy complicada ya que sólo uno de los observables (posición o momento) puede ser estrictamente representado. Esto significa que para el otro, es necesario confiar en algún tipo de aproximación (que se puede obtener mediante la introducción de una escala arbitraria) y la elección de un potencial periódico con mínimos correspondiente al del operador cuadrático. La enorme ambigüedad en este procedimiento ha sido destacada por Corichi, Zapata, Vukašinac y colaboradores. La elección estándar conduce a una ecuación conocida como la ecuación de Mathieu pero otras alternativas simples han sido explorados, como la que se muestra en la figura

Valores propios de la energía (bandas) de un oscilador armónico polimérico. El eje horizontal muestra la posición (o el momento en función de la representación escogida), el eje vertical es la energía y la línea roja representa la extensión periódica particular del potencial utilizado para aproximar el potencial cuadrático habitual del OA. Las otras líneas trazadas en este gráfico corresponden a funciones auxiliares que se pueden utilizar para localizar los bordes de las bandas que definen el espectro puntual en este ejemplo concreto.

Como ya hemos mencionado, las bases ortonormales en espacios no separables de Hilbert son no numerables. Como consecuencia se obtiene el hecho de que la base ortonormal asociada a los estados propios del hamiltoniano debe ser no numerable, es decir, el hamiltoniano debe tener una cantidad infinita no numerable de valores propios (contados con multiplicidad). Un resultado algo inesperado que puede probarse mediante el uso de teoremas clásicos de análisis funcional en espacios de Hilbert no separables, es el hecho de que estos valores propios se agrupan en bandas. Es importante señalar aquí que, aunque sería esperable que el espectro polimérico reproduzca razonablemente bien el espectro del OA, ello únicamente ocurre para la parte baja del espectro. Además es importante tener en cuenta la gran diferencia que persiste: incluso las bandas más estrechas contienen un continuo de valores propios.

Algunas consecuencias físicas

El hecho de que el espectro del oscilador armónico polimérico esté estructurado en bandas es relevante para algunas aplicaciones de la mecánica cuántica polimérica. Dos aspectos relevantes fueron mencionados durante la charla. Por un lado la mecánica estadística de los sistemas poliméricos deben manipularse con el debido cuidado. Debido a las características del espectro, el recuento de los estados propios de energía necesario para calcular la entropía en la colectividad microcanónica está mal definida. Un problema similar surge cuando se calcula la función de partición de la colectividad canónica. Estos problemas probablemente puedan eludirse mediante una regularización adecuada y también apoyándose en algunas reglas de superselección que eliminen todos los estados propios de energía del sistema menos un subconjunto numerable.

 Un contexto en el que algo similar se puede llevar a cabo es en la cuantización polimérica del campo escalar (ya considerada por Husain, Pawłowski y colaboradores). Como este sistema se puede considerar como un conjunto infinito de osciladores armónicos, las características específicas de su cuantización (polimérica) jugarán un papel importante. Una manera de evitar algunas dificultades aquí también se basa en la eliminación de los valores propios de la energía no deseados mediante la imposición de normas de superselección, siempre y cuando puedan justificarse físicamente.

Bibliography

[1] J.F. Barbero G., J. Prieto and E.J.S. Villaseñor, Band structure in the polymer quantization of the harmonic oscillator, Class. Quantum Grav. 30 (2013) 165011.
[2] W. Chojnacki, Spectral analysis of Schrodinger operators in non-separable Hilbert spaces, Rend. Circ. Mat. Palermo (2), Suppl. 17 (1987) 135–51.
[3] H. Halvorson, Complementarity of representations in quantum mechanics, Stud. Hist. Phil. Mod. Phys. 35 (2004) 45-56.