Deformaciones cuanticas de modelos de spin foam en 4d

por Hanno Sahlmann, Center for Theoretical Physics and Physics Department, Pohang University of Science and Technology, Korea.

• Winston Fairbairn, Hamburg University

Title: Quantum deformation of 4d spin foam models
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El trabajo del que habló Winston Fairbairn es interesante porque combina una teoría de la gravedad cuántica con unos objetos matemáticos muy interesantes llamados grupos cuánticos. ¡Lo hace de modo tal que se puede relacionar con el valor no nulo de la constante cosmológica que se observa en la naturaleza! Déjenme intentar explicar que son estas cosas y como encajan entre sí.

Grupos cuánticos

Un grupo es un conjunto de objetos que se pueden multiplicar entre sí para obtener otro elemento del grupo. Así que existe una ley de producto. También hay un elemento especial, llamado la unidad, que cuando se lo multiplica con cualquier elemento del grupo da por resultado dicho elemento. Finalmente tiene que existir un inverso a cada elemento tal que si se lo multiplica por el elemento correspondiente se obtiene la unidad. Por ejemplo, los números enteros son un grupo bajo la suma y las rotaciones espaciales son un grupo bajo la composición de dos rotaciones sucesivas. Los grupos son uno de los ingredientes matemáticos más importantes de las teorías físicas porque describen las simetrías de un sistema físico. Un grupo puede actuar de distintos modos sobre un sistema físico. Cada modo es conocido como  una representación.

Los grupos han sido estudiados por matemáticos por cientos de años, así que se conoce bastante acerca de ellos. Imagínense lo emocionante que fue cuando se descubrió que existe una clase de objetos más general (y complicada) que tienen varias de las mismas propiedades de los grupos, en particular de cómo se representan matemáticamente. Estos objetos son conocidos como grupos cuánticos. Hablando en términos generales, uno puede obtener un grupo cuántico considerando funciones que actúan en un grupo. Las funciones se pueden sumar y multiplicar naturalmente. Adicionalmente, el producto de grupo, la inversión y la unidad del grupo inducen estructuras en el conjunto de funciones del grupo.

El producto de funciones es conmutativo, fg y gf dan el mismo resultado. Pero uno puede considerar objetos matemáticos que actúan sobre un grupo y no son conmutativos. Entonces estos objetos no pueden ser funciones, pero uno puede tratarlos como funciones que actúan en lugar de sobre un grupo sobre un nuevo conjunto peculiar: un grupo cuántico.
Ejemplos particulares de grupos cuánticos pueden encontrarse deformando las estructuras que uno encuentra en grupos ordinarios. En estos ejemplos existe un parámetro q que da una idea de cuan grandes son las deformaciones. q=1 corresponde a un grupo ordinario. Si q es un numero complejo con q^n=1 para algún n entero (es decir, q es una raíz de la unidad), los grupos cuánticos tienen propiedades particulares. Otra clase especial de deformaciones está dada por q siendo un número real. Ambas clases aparecen como relevantes en gravedad cuántica.

Gravedad Cuántica

Encontrar una teoría de la gravedad cuántica es un objetivo importante de la física moderna y es a lo que se dedica la gravedad cuántica de lazos. Dado que la gravedad es una teoría del espacio-tiempo y como se combinan para formar una geometría espacio-temporal, se espera que la gravedad cuántica sea una teoría muy inusual. Una en la que cantidades como el tiempo y el espacio vienen en cantidades discretas (átomos de espacio tiempo, si se quiere) y no son medibles simultáneamente.
Una manera de pensar teorías cuánticas es en términos de lo que se conoce como “integrales de camino”. Las mismas responden a la pregunta de que probable es que un evento dado ocurra (por ejemplo que interactúen dos electrones). Para calcular la integral de camino uno debe sumar números complejos, (conocidos como amplitudes), uno por cada posible manera en que el evento en cuestión puede ocurrir. La probabilidad está dada por dicha suma. En la mayor parte de los casos las posibles maneras en las que suceda un evento son infinitas. Por ejemplo, dos electrones pueden interactuar intercambiando un fotón, dos fotones, tres, o…, el primer fotón puede ser emitido en infinitos diferentes lugares y energías, etc. Como consecuencia de esto el cálculo de integrales de camino es sutil, usualmente solo se puede hacer en forma aproximada, y puede llevar a resultados infinitos. Las integrales de camino fueron introducidas en la física por Feynman. El no solo sugirió que había que pensar las teorías cuánticas en términos de integrales de camino, sino que proveyó un ingenioso procedimiento para calcularlas en forma aproximada. A cada término en la aproximación al cálculo de la probabilidad de un proceso dado en una teoría cuántica de campos le asocio lo que ahora llamamos un diagrama de Feynman. Lo bueno de los diagramas de Feynman es que no solo tienen un significado técnico. Pueden interpretarse como una forma particular en la que un proceso puede ocurrir. Esto hace trabajar con los mismos una tarea muy intuitiva.

(Imagen de Wikipedia)
Resulta que la gravedad cuántica de lazos también puede ser formulada en términos de algo parecido a las integrales de camino. Esto suele llamarse gravedad de espuma de espín (spin foam). Las espumas de espín son análogas a los diagramas de Feynman de la teoría cuántica de campos ordinaria: Son un método técnico de aproximar la integral de camino, pero al igual que los diagramas de Feynman uno las puede ver como la historia de un proceso. En este caso el proceso es como el espacio-tiempo en si mismo va cambiando!

El asociar la amplitud a un diagrama dado usualmente involucra calcular integrales. En el caso de teorías cuánticas de campos hay una integral sobre la cantidad de movimiento de cada partícula involucrada en el proceso. En el caso de las espumas de espín, también hay integrales o sumas infinitas, pero en este caso es sobre los números que representan al grupo! Esta es la magia de la gravedad cuántica de lazos: propiedades del espacio-tiempo cuántico quedan codificadas en propiedades de los grupos. Los grupos más relevantes para la gravedad son SL(2,C), un grupo que contiene las transformaciones de Lorentz, y SU(2), un subgrupo asociado a las rotaciones espaciales.

La constante cosmológica

En algunas teorías de gravedad, el espacio vacío “tiene peso” y por ende influencia la dinámica del universo. Esta influencia está gobernada por una constante llamada la constante cosmológica. Hasta hace poco más de diez anos, la posibilidad de tener una constante cosmológica no nula no era considerada muy seriamente. Pero para sorpresa de todos, los astrónomos han encontrado evidencia solida que existe una constante cosmológica y que es positiva. El crear espacio vacío crea energía! El efecto de esto es tan grande que parece dominar la evolución cosmológica en la era presente (hay evidencia teórica a favor de la existencia de una constante cosmológica en periodos previos también). La teoría cuántica de campos de hecho predice que debería haber energía en el espacio vacío, pero la constante cosmológica observada es tremendamente más pequeña que lo que uno esperaría de la teoría cuántica de campos. Así que explicar el valor observado de la constante cosmológica presenta un importante misterio para la física.

Gravedad de espuma de espín con grupos cuánticos
Finalmente llego al tema de la plática. Como dijimos, las integrales de camino son objetos complicados, y frecuentemente resultados de los cálculos dan infinito. Muchas veces estos infinitos son debido a problemas en las aproximaciones que uno ha hecho, y algunas veces los infinitos pueden cancelarse entre si, dejando un resultado finito. Para analizar estos casos, es útil al principio considerar modificaciones de la integral de camino que eliminan los infinitos, por ejemplo restringiendo el rango en que se integra o las cantidades de términos en las sumas. Este tipo de modificación es conocido como “introducir un regulador”, y por supuesto cambia el contenido físico de la integral de camino. Sin embargo, puede ser útil para analizar la situación y re arreglar el cálculo de modo que al final el regulador puede ser removido y dejar un resultado finito. O uno quizá pueda mostrar que la presencia del regulador es irrelevante en ciertos regímenes de la teoría.

Volvamos a la gravedad. Para el caso Euclideo (esto significa una teoría de puro espacio en lugar de un espacio-tiempo, esto es incorrecto físicamente pero simplifica algunos cálculos) de la gravedad cuántica en tres dimensiones, existe una agradable formulación de espumas de espín debida a Ponzano y Regge, pero, como es de anticiparse, da resultados infinitos en ciertas situaciones. Turaev y Viro luego se dieron cuenta que si uno reemplaza el grupo por un grupo cuantico evaluado en una raíz de la unidad, el efecto es similar a introducir un regulador. Para empezar, hace lo que un regulador se supone que hace: torna la amplitud finita. Esto es debido a que el grupo cuántico con q una raíz de la unidad es representado matemáticamente por números finitos, así que las sumas infinitas que aparecían son reemplazadas por sumas finitas. Más aun, como el grupo original fue solamente deformado, no roto, uno espera que los resultados regulados se mantengan próximos a los que se obtendrían sin regular. De hecho, algo mejor aun ocurre, resulta (trabajo de Mizoguchi y Tada) que las amplitudes en las cuales el grupo se reemplazo por su deformación a un grupo cuántico corresponden a otra teoría física bien definida, la gravedad cuántica con una constante cosmológica! El parámetro de deformación q está directamente relacionado al valor de la constante. Así que el regulador no es simplemente una herramienta técnica para hacer las amplitudes finitas. Tiene un significado físico directo.
La plática de Winston no fue acerca de gravedad en tres dimensiones sino acerca de la versión más realista en cuatro dimensiones. El considero lo que se conoce como el vértice EPRL, una nueva manera de asociar amplitudes a esponjas de espín, desarrollada por Engle, Pereira, Rovelli y Livine, que ha creado bastante entusiasmo entre la gente trabajando en gravedad cuántica de lazos. Las amplitudes obtenidas de esta manera son finitas en un número sorprendente de circunstancias, pero aun así algunos infinitos aparecen. Winston Fairbairn, junto a Catherine Meusberger (e independientemente Muxin Han), fueron capaces de escribir una nueva función de vértice en la cual el grupo es reemplazado por una deformación a un grupo cuántico. De hecho hasta desarrollaron un atractivo método grafico para hacerlo. Lo que es más, pudieron probar que da amplitudes finitas. Así, la introducción del grupo cuántico hace la tarea esperada de un regulador.
Acerca de los detalles técnicos solo diré que son fuertemente complicados. Para apreciar la complejidad de este trabajo, deberías saber que el grupo SL(2,C) involucrado es lo que se conoce como no-compacto, lo que complica las deformaciones cuánticas (intuitivamente, los conjuntos compactos tienen menos chances de producir infinitos que los no-compactos). Más aun, el vértice EPRL depende de una sutil relación de SU(2) y SL(2,C). Esta relación debe entenderse a un nivel muy abstracto para poder traducirla a grupos cuánticos. El tipo de deformación relevante en este caso es una de parámetro q real. En este caso aun hay infinitas representaciones matemáticas pero parece que en la versión cuántica la sutil relación de SU(2) y SL(2,C) mantiene las sumas finitas.

Gracias a este trabajo, tenemos ahora una pregunta muy interesante entre manos: esta la deformación cuántica de EPRL relacionada a la gravedad con constante cosmológica, como ocurría en tres dimensiones? Mucha gente apuesta a que este es el caso, y los cálculos para probarlo ya han comenzado, por ejemplo, en una pre publicación reciente de Ding y Han. Esto también abre la pregunta de hasta qué punto esta entrelazada la gravedad cuántica con los grupos cuánticos. Hubo algunas discusiones muy interesantes acerca de esto durante y después de la plática. Al presente la conexión es aun misteriosa a nivel fundamental.