Saturday, October 1, 2011

El parámetro de Immirzi en gravedad cuántica de espumas de espín

por Sergei Alexandrov, Universite Montpellier, Francia


James Ryan, Albert Einstein Institute
Title: Simplicity constraints and the role of the Immirzi parameter in quantum gravity
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La cuantización de espumas de espín es un enfoque a la gravedad cuántica. En primer lugar,  es “covariante”, dado que no divide al espacio-tiempo en espacio y tiempo como lo hace el enfoque “canónico” de gravedad cuántica de lazos. En segundo lugar, es "discreta" en el sentido de que supone desde el principio que el espacio-tiempo tiene una estructura granular en lugar de la estructura suave que suponen teorias "continuas" como la gravedad cuantica de lazos (LQG por sus siglas en inglés). Finalmenta, se basa en la técnica de cuantizacion conocida como “integral de camino” de Feynman en la cual uno suma probabilidades de todas las trayectorias posibles de un sistema. En el caso de la gravedad uno asigna probabilidades a todos los espacio-tiempos posibles. 

Para escribir la integral de camino en este enfoque uno usa una reformulación de la relatividad general de Einstein debida a Plebanski. Uno tambien estudia esta reformulación para espacio-tiempos discretos. Desde el principio fue considerada una pariente cercana de la gravedad cuántica de lazos  dado que los dos enfoques usan la misma imagen a nivel cualitativa del espacio-tiempo cuántico. (Sorprendentemente, si bien uno empieza con un espacio tiempo continuo en LQG, tras la cuantización emerge una estructura granular.) Sin embargo a un nivel más cuantitativo, había un desacuerdo llamativo. Primero estaba el asunto de las simetrías. Mientras que LQG involucra un conjunto de simetrías conocidas técnicamente como el grupo SU(2), los modelos de espuma de espín tenían simetrías asociadas con el grupo SO(4) o el grupo de Lorentz. Estas últimas son simetrías que emergen en espacio-tiempos mientras que la simetría SU(2) emerge naturalmente en el espacio. No es sorprendente que trabajar en un enfoque covariante lleve a que las simetrías que emergen naturalmente sean las del espacio-tiempo, mientras que trabajar en un enfoque donde el espacio está separado como en el enfoque canónico uno obtenga simetrías asociadas con el espacio. El segundo desacuerdo tiene que ver con el famoso parámetro de Immirzi, que juega un rol muy importante en LQG, pero ni siquiera aparecía en el enfoque de espumas de espín. El mismo es un parámetro que aparece en la formulación clásica que no tiene consecuencias observables en ella (es equivalente a un cambio de variables). Pero cuando uno cuantiza a la LQG, las predicciones físicas dependen del mismo, en particular el valor del cuanto de área y la entropía de los agujeros negros.

La situación cambio hace algunos años con la aparición de dos nuevos modelos de espumas de espín debidos a Engle-Pereira-Rovelli-Livine (EPRL) y Freidel-Krasnov (FK). Los nuevos modelos parecen coincidir con LQG a nivel cinemático (es decir, tienen los espacios de estados similares, pero sus dinámicas especificas puede que difieran). Más aún, incorporan el parámetro de Immirzi de manera no-trivial.

La idea básica detrás de estos modelos es la siguiente: en la formulación de Plebanski, la relatividad general es representada como una teoría topológica BF, suplementada por ciertos vínculos (“vínculos de simplicidad”). Las teorías BF son modelos topológicos muy bien estudiados (sus dinámicas son muy simples, estando limitadas a propiedades globales). Esta simplicidad en particular implica que es bien conocido como discretizar y cuantizar este tipo de teorías (por ejemplo, usando espumas de espín). El hecho de que la relatividad general pueda plantearse como una teoría BF con vínculos adicionales lleva a la idea de que la gravedad cuántica pueda ser obtenida imponiendo los vínculos de simplicidad directamente a nivel cuantico en una teoria BF.  Para este fin, usando el mapa cuantico usual de las teorías BF, los vínculos de simplicidad se vuelven operadores cuanticos que actúan sobre los estados de la teoria BF. La observación de EPRL fue que, una vez que se incluye el parámetro de Immirzi, algunos de los vínculos deben ser impuestos como identidades entre operadores, pero de un modo más débil. Esto les permitió hallar soluciones de los vínculos cuánticos que pueden ser puestas en correspondencia una-por-una con los estados cinemáticas de la LQG.

Aun así, este procedimiento no tomo en cuenta que los vínculos de simplicidad no son todos los vínculos de la teoría. Deben ser suplementados por otros vínculos (“secundarios”) y en conjunto  forman lo que se llama técnicamente como sistema de vínculos de segunda clase. Estos son muy distintos de los vínculos usuales que aparecen en teorías de calibre. Mientras los últimos corresponden a simetrías de las teorías, los primeros simplemente congelan algunos grados de libertad. En particular, a nivel cuántico, tienen que ser tratados de un modo completamente distinto. Para implementarlos, uno o debe resolverlos explícitamente o usar un procedimiento elaborado llamado el corchete de Dirac. Desafortunadamente, en el enfoque de espumas de spin los vínculos secundarios habían sido completamente ignorados.

Por otro lado si uno los tiene en cuenta uno obtiene una formulación que es independiente del parámetro de Immirzi.  Más aun, dicha formulación canoníca puede ser usada para una subsiguiente cuantizacion ya sea por los métodos de lazos o espumas de espín y lleva a resultados que no dependen del parámetro. Esto cuestiona la compatibilidad del enfoque de espumas de espín con el tratamiento estándar de Dirac basado en el análisis canónico del continuo.

En este seminario James Ryan trato de iluminar este problema estudiando el análisis canónica de la formulación de Plebanski aplicada a espacio-tiempos discretos. En su trabajo con Bianca Dittrich analizo vínculos que deben ser impuestos en una teoría discreta BF para obtener una geometría discreta y como afectan la estructura de la teoría. Encontraron que los vínculos discretos necesarios están en una bonita correspondencia con los vínculos de simplicidad primarios y secundarios de la teoría continua.

Además, resulto ser que los vínculos independientes naturalmente se dividen en dos conjuntos. El primero expresa la igualdad de dos sectores de la teoría BF, lo que efectivamente reduce el grupo de simetrías SO(4) a SU(2). Y de hecho si uno explícitamente resuelve este conjunto de vínculos, uno encuentra un espacio de estados análogos a los de LQG y los del nuevo modelo de espumas de espín dependiente del parámetro de Immirzi.

Aun así, las geometrías correspondientes no pueden ser asociadas con geometrías planas de a pedazos (geometrías  que se obtienen pegando simplices planos, como uno pega triángulos planos para formar un domo geodésico).  Las  geometrías planas de a pedazos son el tipo de geometrías usualmente asociadas a las espumas de espín. En su lugar  producen la llamadas geometrías torcidas, recientemente estudiadas por Freidel y Speziale. Para obtener las genuinas geometrías discretas que aparecen, por ejemplo, en la formulación de la relatividad genera conocida como calculo de Regge, uno debe imponer un conjunto adicional de vínculos consistentes de ciertas condiciones en el pegado. Como Ryan y Dittrich mostraron, la formulación obtenida tomando en cuenta todos los vínculos es independiente del parámetro de Immirzi, como lo es la formulación clásica del continuo. Esto sugiere que la búsqueda de un modelo de espuma de espín consistente y físicamente aceptable está lejos de ser concluida y que la teoría cuántica final puede eventualmente estar libre del parámetro de Immirzi.

1 comment:

  1. hola, qué tal? Soy matemático, quiero especializarme en esta área...
    Qué significa qué el espacio tiempo sea discreto?
    Gracias.

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