Jacek Puchta, University of Warszaw
Title: The Feynman diagramatics for the spin foam models
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En varios artículos en el blog (p. ej. este) se ha descrito el enfoque de espumas de espín para la gravedad cuántica. Para resumirlo brevemente, el mismo describe la evolución de una red de espín a través de una superficie bidimensional que podemos pensar como representando a la red de espín evolucionando en el tiempo.Si bien esta imagen es intuitivamente atractiva, a nivel técnico siempre ha habido diferencias de opinión respecto a que tipo de superficies bidimensionales deben ocurrir en la evolución. Este punto es particularmente crítico cuando uno trata de sumar sobre diferentes tipos de superficies. La propuesta original para esta superficie bidimensional fue hecha por Ooguri, que solo permitió un conjunto muy restrictivo de superficies, las llamadas “duales a una triangulación de una variedad”.
Una triangulación es una descomposición de una variedad en simplices (singular: simplex). Los simplices en dimensiones sucesivas se obtienen “agregando un punto y llenando”. Un simplex 0-dimensional es simplemente un punto. Un simplex unidimensional agrega un segundo punto y la recta que los une. Para dos dimensionas agregamos un tercer punto, llenando el espacio entre los tres puntos hasta formar un triangulo. En tres dimensiones obtenemos un tetraedro y en cuatro dimensiones un objeto llamado un 4-simplex.
La superficie “dual a una triangulación” se obtiene poniendo un vértice en el medio del simplex de dimensión más alta y conectándolo con una línea para cada simplex de dimensión más baja y llenando la superficie de cada simplex dos dimensiones más bajas. Un ejemplo para el caso donde el simplex de dimensión más alta es un triangulo esta dado en la figura, ahí el vértice del medio es ABC y se conecta con líneas de a rayas a los vértices cercanos.
Todos los modelos actuales de espumas de espín fueron creados con triangulaciones de este tipo en mente. De hecho muchos de los resultados cruciales del enfoque de espumas de espín descansan explícitamente en este punto algo técnico.
El precio que se paga por restringirnos a tales superficies es que no atendemos a la dinámica completa del espacio de Hilbert de la Gravedad Cuántica de Ciclos (LQG en ingles). Las redes de espín que evolucionamos siempre serán tetravalentes, esto es, siempre habrá cuatro líneas incidentes en cada nodo, mientras que en el espacio de Hilbert de LQG se tienen vértices de valencia arbitraria. Otro punto es que quizá deseemos estudiar la dinámica del modelo usando las superficies más sencillas primero para obtener una idea de que esperar de la teoría, y para algunos ejemplos interesantes, como la cosmología de espumas de espín, las superficies basadas en triangulaciones son inmediatamente bastante complicadas.
El grupo de Jerzy Lewandowski sugirió entonces generalizar las amplitudes consideradas hasta el momento a superficies bastante arbitrarias, y dar un método para construir los modelos de espuma de espín que habían sido considerados en el contexto de triangulaciones solamente, para estas superficies arbitrarias. Esto tapa el agujero entre la cinemática de LQG y la dinámica de espumas de espín. El precio es que varios de los resultados de geometricidad que se obtenían ya no valen.
Más aun, se vuelve ahora necesario lidiar con estas superficies generales. A priori existen muchísimas de ellas y algunas pueden ser muy difíciles aun de imaginar. De hecho trabajos de hace algún tiempo en cosmologías de espumas de espín ignoraron un numero grande de superficies que potencialmente podían contribuir a la amplitud. El trabajo presentado por Jacek Puchta en el seminario resuelve este problema elegantemente desarrollando un simple lenguaje diagramático que nos permite trabajar muy fácilmente con estas superficies sin tener que imaginarlas.
Esto se logra describiendo cada nodo en la amplitud a través de una red, y luego dando información adicional que nos permite reconstruir una superficie a partir de estas redes. Sin entrar en detalles, considérese una imagen como la mostrada en la siguiente figura. Las líneas solidad en la derecha son las redes que consideramos, las líneas de a rayas los datos adicionales. Cada nodode las líneas solidas representa un triangulo, cada línea solida son dos triángulos pegados a lo largo de un lado, y cada línea punteada son dos triángulos pegados cara con cara. Siguiendo esta receta obtenemos la triangulación de la izquierda. Mientras que la triangulación generada por esta prescripción puede ser complicada de visualizar en general, es fácil trabajar directamente con las redes de líneas solidas y de a rayas. Más aun no necesitamos restringirnos a redes que generen triangulaciones sino que se pueden considerar casos mucho más generales.
Este lenguaje tiene un numero de propiedades interesantes. Por empezar estas redes nos dan inmediatamente las redes de espín que necesitamos evaluar para obtener la amplitud de la espuma de espín de la superficie que se construye a partir de dichas redes.
Mas a un es muy fácil leer de las mismas cuales son las redes de espín que forman la frontera de una superficie particular. Como una fuerte demostración de cómo este lenguaje simplifica el pensar acerca de las superficies, en la plática se demostró como todas las superficies relevantes para el contexto de cosmológica cuántica de espumas de espín, que habían sido ignoradas, se pueden fácilmente ver y enumerar con el lenguaje nuevo.
El desafío que queda es entender si los resultados obtenidos en el contexto simplicial pueden ser traducidos al lenguaje más general construido. Para los resultados de geometricidad esto parece un gran desafío. Pero de todos modos el nuevo lenguaje parece que va a ser una herramienta indispensable para estudiar espumas de espín en el futuro y para clarificar la relación entre el enfoque canónico de LQG y el covariante basado en espumas de espín.
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