Monday, October 31, 2011

Espumas de espín a partir de superficies arbitrarias

por Frank Hellman, Albert Einstein Institute, Golm, Germany

Jacek Puchta, University of Warszaw
Title: The Feynman diagramatics for the spin foam models
PDF of the talk (3MB)
Audio [.wav 35MB], Audio [.aif 3MB].


En varios artículos en el blog (p. ej. este) se ha descrito el enfoque de espumas de espín para la gravedad cuántica. Para resumirlo brevemente, el mismo describe la evolución de una red de espín a través de una superficie bidimensional que podemos pensar como representando a la red de espín evolucionando en el tiempo.

Si bien esta imagen es intuitivamente atractiva, a nivel técnico siempre ha habido diferencias de opinión respecto a que tipo de superficies bidimensionales deben ocurrir en la evolución. Este punto es particularmente crítico cuando uno trata de sumar sobre diferentes tipos de superficies. La propuesta original para esta superficie bidimensional fue hecha por Ooguri, que solo permitió un conjunto muy restrictivo de superficies, las llamadas “duales a una triangulación de una variedad”.

Una triangulación es una descomposición de una variedad en simplices (singular: simplex). Los simplices en dimensiones sucesivas se obtienen “agregando un punto y llenando”. Un simplex 0-dimensional es simplemente un punto. Un simplex unidimensional agrega un segundo punto y la recta que los une. Para dos dimensionas agregamos un tercer punto, llenando el espacio entre los tres puntos hasta formar un triangulo. En tres dimensiones obtenemos un tetraedro y en cuatro dimensiones un objeto llamado un 4-simplex.

La superficie “dual a una triangulación” se obtiene poniendo un vértice en el medio del simplex de dimensión más alta y conectándolo con una línea para cada simplex de dimensión más baja y llenando la superficie de cada simplex dos dimensiones más bajas. Un ejemplo para el caso donde el simplex de dimensión más alta es un triangulo esta dado en la figura, ahí el vértice del medio es ABC y se conecta con líneas de a rayas a los vértices cercanos.


Todos los modelos actuales de espumas de espín fueron creados con triangulaciones de este tipo en mente. De hecho muchos de los resultados cruciales del enfoque de espumas de espín descansan explícitamente en este punto algo técnico.

El precio que se paga por restringirnos a tales superficies es que no atendemos a la dinámica completa del espacio de Hilbert de la Gravedad Cuántica de Ciclos (LQG en ingles). Las redes de espín que evolucionamos siempre serán tetravalentes, esto es, siempre habrá cuatro líneas incidentes en cada nodo, mientras que en el espacio de Hilbert de LQG se tienen vértices de valencia arbitraria. Otro punto es que quizá deseemos estudiar la dinámica del modelo usando las superficies más sencillas primero para obtener una idea de que esperar de la teoría, y para algunos ejemplos interesantes, como la cosmología de espumas de espín, las superficies basadas en triangulaciones son inmediatamente bastante complicadas.
El grupo de Jerzy Lewandowski sugirió entonces generalizar las amplitudes consideradas hasta el momento a superficies bastante arbitrarias, y dar un método para construir los modelos de espuma de espín que habían sido considerados en el contexto de triangulaciones solamente, para estas superficies arbitrarias. Esto tapa el agujero entre la cinemática de LQG y la dinámica de espumas de espín. El precio es que varios de los resultados de geometricidad que se obtenían ya no valen.

Más aun, se vuelve ahora necesario lidiar con estas superficies generales. A priori existen muchísimas de ellas y algunas pueden ser muy difíciles aun de imaginar. De hecho trabajos de hace algún tiempo en cosmologías de espumas de espín ignoraron un numero grande de superficies que potencialmente podían contribuir a la amplitud. El trabajo presentado por Jacek Puchta en el seminario resuelve este problema elegantemente desarrollando un simple lenguaje diagramático que nos permite trabajar muy fácilmente con estas superficies sin tener que imaginarlas.

Esto se logra describiendo cada nodo en la amplitud a través de una red, y luego dando información adicional que nos permite reconstruir una superficie a partir de estas redes. Sin entrar en detalles, considérese una imagen como la mostrada en la siguiente figura. Las líneas solidad en la derecha son las redes que consideramos, las líneas de a rayas los datos adicionales. Cada nodode las líneas solidas representa un triangulo, cada línea solida son dos triángulos pegados a lo largo de un lado, y cada línea punteada son dos triángulos pegados cara con cara. Siguiendo esta receta obtenemos la triangulación de la izquierda. Mientras que la triangulación generada por esta prescripción puede ser complicada de visualizar en general, es fácil trabajar directamente con las redes de líneas solidas y de a rayas. Más aun no necesitamos restringirnos a redes que generen triangulaciones sino que se pueden considerar casos mucho más generales.

Este lenguaje tiene un numero de propiedades interesantes. Por empezar estas redes nos dan inmediatamente las redes de espín que necesitamos evaluar para obtener la amplitud de la espuma de espín de la superficie que se construye a partir de dichas redes.

Mas a un es muy fácil leer de las mismas cuales son las redes de espín que forman la frontera de una superficie particular. Como una fuerte demostración de cómo este lenguaje simplifica el pensar acerca de las superficies, en la plática se demostró como todas las superficies relevantes para el contexto de cosmológica cuántica de espumas de espín, que habían sido ignoradas, se pueden fácilmente ver y enumerar con el lenguaje nuevo.

El desafío que queda es entender si los resultados obtenidos en el contexto simplicial pueden ser traducidos al lenguaje más general construido. Para los resultados de geometricidad esto parece un gran desafío. Pero de todos modos el nuevo lenguaje parece que va a ser una herramienta indispensable para estudiar espumas de espín en el futuro y para clarificar la relación entre el enfoque canónico de LQG y el covariante basado en espumas de espín.

Saturday, October 1, 2011

El parámetro de Immirzi en gravedad cuántica de espumas de espín

por Sergei Alexandrov, Universite Montpellier, Francia


James Ryan, Albert Einstein Institute
Title: Simplicity constraints and the role of the Immirzi parameter in quantum gravity
PDF of the talk (11MB)
Audio [.wav 19MB], Audio [.aif 2MB].

La cuantización de espumas de espín es un enfoque a la gravedad cuántica. En primer lugar,  es “covariante”, dado que no divide al espacio-tiempo en espacio y tiempo como lo hace el enfoque “canónico” de gravedad cuántica de lazos. En segundo lugar, es "discreta" en el sentido de que supone desde el principio que el espacio-tiempo tiene una estructura granular en lugar de la estructura suave que suponen teorias "continuas" como la gravedad cuantica de lazos (LQG por sus siglas en inglés). Finalmenta, se basa en la técnica de cuantizacion conocida como “integral de camino” de Feynman en la cual uno suma probabilidades de todas las trayectorias posibles de un sistema. En el caso de la gravedad uno asigna probabilidades a todos los espacio-tiempos posibles. 

Para escribir la integral de camino en este enfoque uno usa una reformulación de la relatividad general de Einstein debida a Plebanski. Uno tambien estudia esta reformulación para espacio-tiempos discretos. Desde el principio fue considerada una pariente cercana de la gravedad cuántica de lazos  dado que los dos enfoques usan la misma imagen a nivel cualitativa del espacio-tiempo cuántico. (Sorprendentemente, si bien uno empieza con un espacio tiempo continuo en LQG, tras la cuantización emerge una estructura granular.) Sin embargo a un nivel más cuantitativo, había un desacuerdo llamativo. Primero estaba el asunto de las simetrías. Mientras que LQG involucra un conjunto de simetrías conocidas técnicamente como el grupo SU(2), los modelos de espuma de espín tenían simetrías asociadas con el grupo SO(4) o el grupo de Lorentz. Estas últimas son simetrías que emergen en espacio-tiempos mientras que la simetría SU(2) emerge naturalmente en el espacio. No es sorprendente que trabajar en un enfoque covariante lleve a que las simetrías que emergen naturalmente sean las del espacio-tiempo, mientras que trabajar en un enfoque donde el espacio está separado como en el enfoque canónico uno obtenga simetrías asociadas con el espacio. El segundo desacuerdo tiene que ver con el famoso parámetro de Immirzi, que juega un rol muy importante en LQG, pero ni siquiera aparecía en el enfoque de espumas de espín. El mismo es un parámetro que aparece en la formulación clásica que no tiene consecuencias observables en ella (es equivalente a un cambio de variables). Pero cuando uno cuantiza a la LQG, las predicciones físicas dependen del mismo, en particular el valor del cuanto de área y la entropía de los agujeros negros.

La situación cambio hace algunos años con la aparición de dos nuevos modelos de espumas de espín debidos a Engle-Pereira-Rovelli-Livine (EPRL) y Freidel-Krasnov (FK). Los nuevos modelos parecen coincidir con LQG a nivel cinemático (es decir, tienen los espacios de estados similares, pero sus dinámicas especificas puede que difieran). Más aún, incorporan el parámetro de Immirzi de manera no-trivial.

La idea básica detrás de estos modelos es la siguiente: en la formulación de Plebanski, la relatividad general es representada como una teoría topológica BF, suplementada por ciertos vínculos (“vínculos de simplicidad”). Las teorías BF son modelos topológicos muy bien estudiados (sus dinámicas son muy simples, estando limitadas a propiedades globales). Esta simplicidad en particular implica que es bien conocido como discretizar y cuantizar este tipo de teorías (por ejemplo, usando espumas de espín). El hecho de que la relatividad general pueda plantearse como una teoría BF con vínculos adicionales lleva a la idea de que la gravedad cuántica pueda ser obtenida imponiendo los vínculos de simplicidad directamente a nivel cuantico en una teoria BF.  Para este fin, usando el mapa cuantico usual de las teorías BF, los vínculos de simplicidad se vuelven operadores cuanticos que actúan sobre los estados de la teoria BF. La observación de EPRL fue que, una vez que se incluye el parámetro de Immirzi, algunos de los vínculos deben ser impuestos como identidades entre operadores, pero de un modo más débil. Esto les permitió hallar soluciones de los vínculos cuánticos que pueden ser puestas en correspondencia una-por-una con los estados cinemáticas de la LQG.

Aun así, este procedimiento no tomo en cuenta que los vínculos de simplicidad no son todos los vínculos de la teoría. Deben ser suplementados por otros vínculos (“secundarios”) y en conjunto  forman lo que se llama técnicamente como sistema de vínculos de segunda clase. Estos son muy distintos de los vínculos usuales que aparecen en teorías de calibre. Mientras los últimos corresponden a simetrías de las teorías, los primeros simplemente congelan algunos grados de libertad. En particular, a nivel cuántico, tienen que ser tratados de un modo completamente distinto. Para implementarlos, uno o debe resolverlos explícitamente o usar un procedimiento elaborado llamado el corchete de Dirac. Desafortunadamente, en el enfoque de espumas de spin los vínculos secundarios habían sido completamente ignorados.

Por otro lado si uno los tiene en cuenta uno obtiene una formulación que es independiente del parámetro de Immirzi.  Más aun, dicha formulación canoníca puede ser usada para una subsiguiente cuantizacion ya sea por los métodos de lazos o espumas de espín y lleva a resultados que no dependen del parámetro. Esto cuestiona la compatibilidad del enfoque de espumas de espín con el tratamiento estándar de Dirac basado en el análisis canónico del continuo.

En este seminario James Ryan trato de iluminar este problema estudiando el análisis canónica de la formulación de Plebanski aplicada a espacio-tiempos discretos. En su trabajo con Bianca Dittrich analizo vínculos que deben ser impuestos en una teoría discreta BF para obtener una geometría discreta y como afectan la estructura de la teoría. Encontraron que los vínculos discretos necesarios están en una bonita correspondencia con los vínculos de simplicidad primarios y secundarios de la teoría continua.

Además, resulto ser que los vínculos independientes naturalmente se dividen en dos conjuntos. El primero expresa la igualdad de dos sectores de la teoría BF, lo que efectivamente reduce el grupo de simetrías SO(4) a SU(2). Y de hecho si uno explícitamente resuelve este conjunto de vínculos, uno encuentra un espacio de estados análogos a los de LQG y los del nuevo modelo de espumas de espín dependiente del parámetro de Immirzi.

Aun así, las geometrías correspondientes no pueden ser asociadas con geometrías planas de a pedazos (geometrías  que se obtienen pegando simplices planos, como uno pega triángulos planos para formar un domo geodésico).  Las  geometrías planas de a pedazos son el tipo de geometrías usualmente asociadas a las espumas de espín. En su lugar  producen la llamadas geometrías torcidas, recientemente estudiadas por Freidel y Speziale. Para obtener las genuinas geometrías discretas que aparecen, por ejemplo, en la formulación de la relatividad genera conocida como calculo de Regge, uno debe imponer un conjunto adicional de vínculos consistentes de ciertas condiciones en el pegado. Como Ryan y Dittrich mostraron, la formulación obtenida tomando en cuenta todos los vínculos es independiente del parámetro de Immirzi, como lo es la formulación clásica del continuo. Esto sugiere que la búsqueda de un modelo de espuma de espín consistente y físicamente aceptable está lejos de ser concluida y que la teoría cuántica final puede eventualmente estar libre del parámetro de Immirzi.