Title: SU(2) graph invariants, Regge actions and polytopes
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Por Jorge Pullin, LSU
En el enfoque de gravedad cuántica
conocido como gravedad cuántica de lazos los estados cuánticos están dados por
redes de espín, que son grafos con intersecciones y “colores” asociados a cada
lado. Los colores son una abreviatura que caracteriza que cada lado en el grafo
esta asociado con una cantidad matemática conocida como el elemento de un
grupo. Un grupo es un tipo de conjunto matemático con una ley de composición
que es asociativa, tiene elemento neutro y tiene elemento opuesto. Por ejemplo,
los números reales son un grupo bajo la adición. Las matrices de números
también forman un grupo bajo multiplicación. Cuando los lados de una red de espín
se encuentran en una intersección, los respectivos elementos de grupo asociados
con ellos se multiplican por una entidad matemática conocida como un
“entrelazador” (“intertwiner” en ingles). Estos entrelazadores se construyen
con lo que se conoce como tensores invariantes del grupo.
Una manera de cuantizar teorías de campos
es la llamada integral de camino. En ella uno asigna probabilidades a cada
trayectoria física y suma sobre todas las trayectorias posibles. Cuando se la
aplica en el contexto de la gravedad cuántica de lazos uno obtiene trayectorias
en el tiempo de redes de espín, que dan lugar a las llamadas “espumas de espín”
(“spin foams” en ingles). La probabilidad de una trayectoria dada se cuantifica
en términos de un numero relacionado a como las redes de espín se ramifican
hacia el futuro conocido como un “vértice”. Hay varias propuestas para tales
vértices para representar la dinámica de la relatividad general, al presente no
esta claro cual de las propuestas representa la naturaleza mas precisamente. Uno
de los vértices mas estudiados es el EPRL (Engle-Pereira-Rovelli-Livine). Otros
vértices han sido propuestos que son más simples. Este seminario se ocupo de
cómo evaluar dichos vértices. Esto requiere hacer cálculos en teoría de grupos.
Estos cálculos pueden tener aplicabilidad mas amplia que en gravedad cuántica dado
que este tipo de entes matemáticos aparecen en muchos dominios de la física. Se
hicieron cálculos numéricos de los vértices y se estudiaron los comportamientos
asintóticos para alguno de los vértices simplificados. El objetivo es
extenderlos más adelante al vértice EPRL.
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